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2015届广东省惠州市第一中学(惠州市)高三第一次调研考试数学文试题(解析版)


广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试 数学试题(文科)
【试卷综评】本试卷特点(1)注重基础知识,基本技能的考查,符合新课程标准和命题的 意图及宗旨。考查的都是基本概念和基本方法,关注学生基本能力的考查的同时,仍然紧扣 双基。总体感 觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点,对教师的教和学生的学检测到 位,同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励。 (2)注重能

力考查,更注重数学思想 的考查。试卷对数学思想和数学能力的考查较为突出。 (3)在考查基本知 识、基本技能的 条件下,适当兼顾了对学生综合能力的考查。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求.) 1.复数 Z ? A. ?

1 2

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 ( 1? i 1 1 B. i C. 2 2

) D. ?

1 i 2

【知识点】虚数的概念;虚数除法的运算法则. 【答案解析】C 解析 :解:化简得 z ?

1 1 1 ? i ,则虚部为 ,故选 C . 2 2 2

【思路点拨】分式上下同时乘以分子的共轭复数再化简整理即可. 2.已知集合 A ? x y ? lg ? x ? 3? , B ? x x ? 2 ,则 A B ? ( A. ( ?3, 2] B. ( ?3, ??) C. [2, ??)

?

?

?

?



D. [?3, ??)

【知识点】对数不等式的解法;交集的概念. 【答案解析】C 解析 :解 : 以A

A ? x y ? lg ? x ? 3? ? ? x x ? ?3? , B ? ? x x ? 2? ,所

?

?

B ? [2, ??) ,故选 C.

【思路点拨】先通过解对数不等式求出集合 A,再求交集即可. 3.下列函数在定义域内为奇函数的是( ) A. y ? x ?

1 x

B. y ? x sin x

C. y ? x ? 1

D. y ? cos x

【知识点】奇函数的定义.奇偶性的判断方法. 【答案解析】A 解析 :解:根据奇函数的定义可知:

1 1 f ( x) = x + , f (- x) = - x + = - f ( x), 故选 A. x -x
【思路点拨】利用奇偶性的判断方法直接判断即可得出结论. 4.命题“ 若x ? 1, 则-1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(
2



A. 若x ? 1, 则x ? 1, 或x ? ?1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

C.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

【知识点】四种命题;逆 否命题.
2 【答案解析】D 解析 :解:由逆否命题的变换可知,命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ” 的

逆否命题是“若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1 ” ,故选 D.
2

【思路点拨】根据逆否命题的变换可得选项. 5.若向量 BA ? (1,2), CA ? (4,5), 则 BC ? A. (5, 7) B. (?3, ?3) C. (3,3) D. (?5, ?7)

【知识点】相反向量;向量的四则运算. 【答案解析】B 解析 :解:因为 CA ? (4, 5),AC = (- 4,- 5),所以

BC ? BA ? AC ? ? ?3, ?3? ,故选 B.【思路点拨】由相反向量的定义得 AC = (- 4, - 5) ,再
结合向量的加法运算即可. 6.若函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,得数据如下:

f (1) ? ?2

f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984

f (1.375) ? ?0.260

f (1.4375) ? 0.162

f (1.40625) ? ?0.054
) D. 1.5

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个最接近的近似根为( A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 【知识点】零 点 的 判 断 方 法 .

【答案解析】C 解析 :解:因为 f ?1.40625? ? -0.054 ? 0 , f ?1.4375? ? 0.162 ? 0 , 由零点存在定理知,最接近的近似根为 1.4 . 【思路点拨】由 表 格 找 出 最 大 的 零 点 区 间 即 可 . 7.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 7 ,则输出的 s 的值为( A. 22 B. 16 C. 15 D. 11



y 2

-

π 3

O

5π 12

x

(7 题)

(8 题)

【知识点】循环结构的程序框图. 【答案解析】B 解析 :解 : 程序执行过程中, i, s 的值依次为 i ? 1, s ? 1 ; s ? 1, i ? 2 ;

s ? 1 ? 1, i ? 3 ;

s ? 1 ? 1 ? 2, i ? 4 ; s ? 1 ? 1 ? 2 ? 3, i ? 5 ;
s ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, i ? 6 ;

s ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5, i ? 7 ,输出 s 的值为 16.
【典型总结】依次取 i,s 的值,可知当 i=7 时可得结果 . 8.函数 f ( x) ? 别是 ( A. 2, ? )

2 sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值分

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

? 3

【知识点】函 数 y=Asin ( ω x+ φ ) 的 图 象 变 换 . 【答案解析】 A 解析 : 解:由图知 f ( x ) 在 x ?

5 π 时取到最大值 2 ,且最小正周期 T 满 12 2 sin(2 ? 5π ?? ) ? 2 12




3 5 π T ? π+ . 4 12 3



A ? 2,

3 2π ? ? 3π,? ? 2, 4 ?

sin(

5π 5π π π π ? ? ) ? 1, ? ? ? 2kπ ? ,? ? 2kπ ? , k ? f ( x) ? 2 sin(2 x ? ). 6 3 6 2 3 Z .所以

5 π f ( π) ? 2 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ). 3 或由 12 逐个检验知
【典型总结】根 据 图 象 的 两 个 点 A 、 B 的 横 坐 标 , 得 到 四 分 之 三 个 周 期 的 值 , 得 到周期的值,做出ω 的值,把图象所过的一个点的 坐标代入方程做出初相,写 出解析式,代入数值得到结果. 9.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为( a 2 b2
B. ? 2 C. ?



A. ?2

1 2

D. ?

2 2

【知识点】双曲线的离心率的概念;渐近线方程.

c a2 ? b 2 b2 ? 1 ? 2 ? 3 ,所以 【答案解析】 B 解析 :解 : 双曲线的离心率 e ? ? a a a

b b ? 2 ,其渐近线的方程为 y ? ? x ,其斜率为 ? 2 ,故选 B. a a b 【典型总结】先由双曲线的离心率转化出 ? 2 ,然后去求渐进线的斜率即可. a
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 ,若f (?a) ? f (a) ? 2 f (1), 则实数 a 的取值范围是 10.已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0

A. ? ?1,0?

B. ?0,1?

C. ??1,1?

D. ? ?2, 2?

【知识点】函数的奇偶性;函数的单调性;绝对值不等式的解法. 【答案解析】C 解析 :解:由偶函数定义可得 f ( x ) 是偶函数,故 f (?a) ? f (a) ,原不等 式等价于 f (a) ? f (1) , 又根据偶函数定义, f (a) ? f ( a ) ? f (1) , 函数 f ( x ) 在 (0, ??) 单 调递增, a ? 1 , a ?[?1,1] .或利用图象求 a 范围.选 C. 【思路点拨】由函数 f ( x ) 是偶函数可得 f | a | ? 1 ,进而解 a ? 1 即可. 二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(11~13 题) 11. 计算 log3 18 ? log3 2 ? 【知识点】对 数 的 运 算 性 质 . 【答案解析】2 解析 :解: log 3 18 ? log 3 2 ? log 3 .

( )

18 ? log3 9 ? 2 2

【思路点拨】利 用 对 数 的 换 底 公 式 和 运 算 法 则 直 接 求 解 .

?2x ? y ? 2 ?x ? 2y ? 2 ? 12. 变量 x 、y 满足线性约束条件 ? , 则目标函数 z ? x ? y 的最大值为 x ? 0 ? ? ?y ? 0
【知识点】简 单 的 线 性 规 划 .

.

?2x ? y ? 2 ?x ? 2y ? 2 4 ? 【答案解析】 解析 :解:作出不等式组 ? 所表示的可行 3 ?x ? 0 ? ?y ? 0
域如图所示, 联立 ?

y
2 1

?2 x ? y ? 2 ?2 2? 得 A ? , ? ,作直线 l : z ? x ? y ,则 z 为直线 l 在 x ?3 3? ?x ? 2 y ? 2
2 2 4 ? ? ? . 3 3 3

2x + y = 2 A x+2y=2 x 1 l : z =2 x+y

轴上的截距,当直线 l 经过可行域上的点 A 时,直线 l 在 x 轴上的截距 最大,此时 z 取最大值,即 zmax

O

【思路点拨】 先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域 ,再 利 用 几 何 意 义 求 最

值 , 只 需 求 出 直 线 z=x+y 过 点 A ?

?2 2? , ?时,z 最大值即可. ?3 3?
C

13.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于 【知识点】由 三 视 图 求 体 积 . 【答案解析】24 解析 :解 : 由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了

D

1 1 1 一小三棱锥得到的,如图 V ? ? 3 ? 4 ? 5 ? ( ? 3 ? 4) ? 3 ? 24 2 3 2

4
A O

3 3 2
B

3 2 3 4 第 13 题图

正视图 3 俯视图

侧视图

【思路点拨】先 根 据 三 视 图 判 断 几 何 体 的 形 状 , 再 利 用 体 积 公 式 计 算 即 可 . (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 14 . (坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的参数方程为:

? x ? 3 ? 3cos ? ? , ( ? 为参 数) , 以 Ox 为极 轴建 立极坐标 系,直线 极坐 标方程为 : ? ? ? y ? 1 ? 3sin ?

? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 0 ,则圆 C 截直线所得弦长为 6?

.

【知识点】参 数 方 程 化 成 普 通 方 程 ; 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 . 【答案解析】 4 2 解析 :解 : 圆 C : ?

? ? x ? 3 ? 3cos ? ( ? 为参数)表示的曲线是以点 ? ? y ? 1 ? 3sin ?

?

?? ? 3,1 为圆心,以 3 为半径的圆,将直线 ? cos ? ? ? ? ? 0 的方程化为直角坐标方程为 6? ?

?

3x ? y ? 0 ,圆心

?

3,1 到直线 3x ? y ? 0 的距离 d ?

?

3 ? 3 ?1

? 3?

2

? 1,

?1

2

故圆 C 截直线所得弦长 2 32 ?12 ? 4 2 . 【思路点拨】首 先 把 参 数 方 程 和 极 坐 标 方 程 化 为 普 通 方 程 , 再 利 用 圆 心 到 直 线 的 距离公式即可求出. 15. (几何证明选讲选做题) 如图, AB 是圆 O 的直径,BC 是圆 O 的切线, 切点为 B ,OC 平行于弦 AD ,

若 OB ? 3 , OC ? 5 ,则 CD ?

.

【知识点】与 圆 有 关 的 比 例 线 段 . 【答案解析】 4 解析 :解 : 由于 OC //AD , ??BOC ? ?BAD ,而 OD ? OA ,因此 ?ODA ? ? BAD , ??ODA ? ?BOC , OC //AD , ??COD ? ?ODA , ??COD ? ?BOC , OD ? OB , OC ? OC ,??BOC ? ?DOC ,故 CD ? BC , 由于 BC 切圆 O 于点 B ,易知 OB ? BC , 由勾股定理可得 BC ? OC 2 ? OB2 ? 52 ? 32 ? 4 ,因此 CD ? BC ? 4 . 【思路点拨】利 用 圆 的 切 线 的 性 质 和 勾 股 定 理 可 得 BC ,再 利 用 平 行 线 的 性 质 和 全 等 三 角 形 的 性 质 可 得 CD=CB . 即 可 得 出 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

3 1 cos x ? sin x ? 1 2 2

( 1)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ) 的值. ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? 5 6 3 3 5? ? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) . 6 6

【知识点】三角函数的值域;三角函数的单调区间;三角函数求值. 【答案解析】 (1) 函数 f ( x) 的值域是 ? 0, 2? ; 单调增区间为 [? (2) -

24 . 25

解析 :解:依题意 f ( x) ?

? 3 1 cos x ? sin x ? 1 ? sin( x ? ) ? 1 3 2 2
???4 分

???2 分

(1) 函数 f ( x) 的值域是 ? 0, 2? ; 令?

?
2

? 2k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,解得 ?

5? ? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) . ???8 分 6 6 ? 4 ? 9 (2)由 f (? ) ? sin(? ? ) ?1 ? , 得 sin(? ? ) ? , 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? 3 , 所以 ? ? ? ? ? , 得 cos(? ? ) ? ? , 因为 ? ? ? ???10 分 6 3 2 3 3 5 24 ? ? 4 3 2? ? sin(2? + ) ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ?2 ? ? ? ? ???12 分 25 3 3 5 5 3 3
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [? 【 思 路点 拨】 ( 1 )把原式化简直接求值域与单调区间即可; ( 2 ) 先 由已 知 条件 得到

5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k? 6 6

???7 分

? 4 sin(? ? ) ? ,再利用二倍角的正弦公式即可 . 3 5
17.(本题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有 关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联 表:

喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

(1)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人? (2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率. 【知识点】分 层 抽 样 的 方 法 ; 列 举 法 计 算 基 本 事 件 数 及 事 件 发 生 的 概 率 . 【答案解析】(1)4(2) P ?

8 15 6 1 ? 30 5

解析 :解:(1)在喜欢打蓝球的学生中抽6人,则抽取比例为 ∴男生应该抽取 20 ?

1 ? 4 人 ??????????4分[来源:Z&xx&k.Com] 5

(2)在上述抽取的 6 名学生中, 女生的有 2 人,男生 4 人。女生 2 人记 A, B ;男生 4 人为

c, d , e, f , 则从 6 名学生任取 2 名的所有情况为: ( A, B) 、 ( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) 、 (c, d ) 、 (c, e) 、 (c, f ) 、 ( d , e) 、 (d , f ) 、 (e, f ) 共
15 种情况,????????8 分 其中恰有 1 名女生情况有: ( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、

( B, f ) ,共 8 种情况,

??????????10 分

故上述抽取的6人中选2人,恰有一名女生的概率概率为 P ?

8 . ???????12 分 15

【思路点拨】( 1 )根 据 分 层 抽 样 的 方 法 ,在 喜 欢 打 蓝 球 的 学 生 中 抽 6 人 ,先 计 算 了抽取比例,再根据比例即可求出男生应该抽取人数. ( 2 ) 在 上 述 抽 取 的 6 名 学 生 中 , 女 生 的 有 2 人 , 男 生 4 人 . 女 生 2 人 记 A, B ; 男 生 4 人 为 c, d , e, f ,列 出 其 一 切 可 能 的 结 果 组 成 的 基 本 事 件 个 数 , 通 过 列 举 得 到满足条件事件数,求出概率. 18. (本小题满分 14 分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形, ED ? 面 ABCD , ?BAD ? (1)求证: 平面BCF / /平面AED . (2)若 BF ? BD ? a, 求四棱锥A ? BDEF的体积。 【知识点】棱锥的体积;平 面 与 平 面 平 行 的 性 质 .
D A B E F

?
3



C

3 2 a 【答案解析】(1)见解析(2) 6

解析 :解: 1)由 ABCD 是菱形

? BC / / A D

BC ? 面ADE , AD ? 面ADE
由 BDEF 是矩形? BF / / DE

? BC / /面ADE ??3 分

BF ? 面ADE , DE ? 面ADE

? BF / /面ADE

BC ? 面BCF , BF ? 面BCF , BC
(2)连接 AC , AC

BF ? B ???6 分
由 ABCD 是菱形,

BD ? O

? AC ? BD

由 ED ? 面 ABCD , AC ? 面ABCD

? ED ? A C

ED , BD ? 面BDEF , ED
?
3

BD ? D

? AO ? 面BDEF ,???10 分

则 AO 为四棱锥 A ? BDEF 的高 由 ABCD 是菱形, ?BAD ? ,则 ? A BD 为等边三角形,

由 BF ? BD ? a ;则 AD ? a, AO ?

3 a S BDEF ? a 2 , 2 ,

1 3 3 3 VA? BDEF ? ? a 2 ? a? a 3 2 6

???????????????14 分

【思路点拨】(1)证 明 FB ∥ 平 面 AED , BC ∥ 平 面 AED , 利 用 面 面 平 行 的 判 定 定 理可得结论; (2)找出棱锥的高以及底面积,然后利用棱锥的体积公式计算即可. 19. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1, 公差 d ? 0, 且 a2 , a5 , a14 分别是等比数列 ?bn ? 的 b2 , b3 , b4 . (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;[来源:Z.xx.k.Com] (2)设数列 ?cn ? 对任意正整数 n 均有 值.[来源:Z+xx+k.Com] 【知识点】等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 综 合 ; 数 列 的 求 和 . 【答案解析】(1) a n = 2n - 1,bn = 3
n- 1

c1 c2 ? ? b1 b2

?

cn ? an?1 成立,求 c1 ? c2 ? bn

? c2014 的

(2) bn = 3

2014

解析 :解:(1)∵ a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列,
2 ∴ (1 ? 4d ) ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ,即 d ? 2 ,

?????2 分

∴ an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1.

????????4 分
n?1

又∵ b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 , ∴ q ? 3 , b1 ? 1, bn ? 3 . ??????6 分

(2)∵

c1 c2 ? ? b1 b2

cn ? an?1 , bn





c1 c c ? a2 ,即 c1 ? b1a2 ? 3 ,又 1 ? 2 ? b1 b1 b2 cn ? an?1 ? an ? 2 bn

cn?1 ? an (n ? 2) , bn?1



① ? ②得

?????????????????9 分

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ? 2) ,∴ cn ? ? 则 c1 ? c2 ?

(n ? 1) ?3 ,????????????11 分 n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)

? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ?

? 2 ? 32014?1 ? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ?

? 32013 )

? 3 ? 2?

3(1 ? 32013 ) ? 32014. ??????14 分 1? 3

【思路点拨】(1)利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 将 a2 , a5 , a14 用 {a n } 的 首 项 与 公 差 表 示 , 再 据 此 三 项 成 等 比 数 列 ,列 出 方 程 ,求 出 公 差 ,利 用 等 差 数 列 及 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 出 数 列 ?an ? 与 ?bn ? 的 通 项 公 式 . ( 2) 利 用 数 列 的 第 n 项 等 于 前 n 项 和 减 去 前 n-1 项 的 和 求 出 利用错位相减法求和. 20.(本题满分 14 分) 已 知 椭 圆 C1 :

cn , 进 一 步 求 出 cn, bn

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? , 过 C1 的 左 焦 点 F 1 的直线 2 a b 3

l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? r 2 (r ? 0) 截得的弦长为 2 2 .
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 C1 的右焦点为 F2 ,在圆 C2 上是否存在点 P ,满足 PF1 ? 有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由. 【知识点】直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 ; 椭 圆 的 标 准 方 程 .

a2 PF2 ,若存在,指出 b2

a2 x2 y2 P ? ? 1(2)圆 C2 上存在两个不同点 ,满足 PF1 ? 2 PF2 . 【答案解析】 (1)C1 : 6 2 b
解析 :解:因为直线 l 的方程为 l : x ? y ? 2 ? 0 ,

令 y ? 0 ,得 x ? ?2 ,即 F1 (?2,0) ????????????????1 分 ∴ c ? 2 ,又∵ e ?

c 6 2 2 2 2 ,∴ a ? 6 , b ? a ? c ? 2 [来源:学.科.网 Z.X.X.K] ? a 3
x2 y2 ? ? 1 .???????????????4分 6 2

∴ 椭圆 C1 的方程为 C1 :

a2 (2)存在点 P,满足 PF1 ? 2 PF2 b
∵ 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

3?3? 2 2

? 2,

又直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : x2 ? y 2 ? 6x ? 6 y ? 3m ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 2 , ∴由垂径定理得 r ?

l d 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2

故圆 C2 的方程为 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 .????????????8分 设圆 C2 上存在点 P( x, y ) ,满足 PF1 ? 且 F1 , F2 的坐标为 F 1 (?2,0), F2 (2,0) ,
2 2 2 2 则 ( x ? 2) ? y ? 3 ( x ? 2) ? y ,

a2 PF2 即 PF1 ? 3 PF2 , b2

整理得 ( x ? ) ? y ?
2 2

5 2

5 3 9 ,它表示圆心在 C ( , 0) ,半径是 的圆。 2 2 4
2

∴ CC2 ? (3 ? ) ? (3 ? 0) ?
2

5 2

37 ???????????????12分 2

故有 2 ?

3 3 ? CC2 ? 2 ? ,即圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点。 2 2

∴圆 C2 上存在两个不同点 P ,满足 PF1 ?

a2 PF2 .?????????14分 b2

【思路点拨】( 1 ) 由 a 2 =b 2 +c 2 , e ?

6 及 F1 的 坐 标 满 足 直 线 l 的 方 程 , 联 立 此 3

三 个 方 程 , 即 得 a2, b2, 从 而 得 椭 圆 方 程 ; ( 2) 根 据 弦 长 , 利 用 垂 径 定 理 与 勾 股定理得方程, 可 求 得 圆 的 半 径 r, 从而确定圆的方程, 再 由 条 件 PF1 ?

a2 PF2 , b2

将 点 P 满 足 的 关 系 式 列 出 , 通 过 此 关 系 式 与 已 知 圆 C2 的 方 程 联 系 , 再 探 求 点 P 的存在性. 【典型总结】本 题 采 用 交 集 思 想 巧 妙 地 处 理 了 点 P 的 存 在 性 .本 解 法 是 用 圆 特 有 的 方 式 判 断 两 圆 的 公 共 点 个 数 , 若 联 立 两 曲 线 的 方 程 , 消 去 x 或 y, 用 判 别 式 来判断也可以,其适用范围更广,但计算量相对大一些. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

【知识点】利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ; 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 . 【答案解析】(1) y = x + ln 2 (2)当 a≤ 0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x) 在 (1, +∞)

1 时 , 函数 f(x) 在 (0, + ∞) 上单调递减 , 当 2 1 1 1 0 ? a ? 时,函数 f(x)在 (0,1), ( -1, ? ?) 上单调递减, 函数 f(x)在 (1, -1) 上单调 2 a a
上单调递增 , 当 a ?

递增.

1, x ? (0, ??) 解析 :解:(1)当 a ? -1 时, f ( x) ? ln x ? x ? - f ' ( x) ? 1 2 ? 1 ? 2 , f (2) ? ln 2 ? 2, f ' (2) ? 1, 所以切线方程为:y ? x ? ln 2 x x
????????????6 分 (2)因为 f ( x) ? ln x ? ax ?

2 x

1? a ? 1, x

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a 所以 f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x x2

x ? (0,??) ,

2 令 g ( x) ? ax ? x ? 1 ? a, x ? (0,??), ????????8 分

(i)当 a=0 时, g ( x) ? -x ? 1, x ? (0, ??)
' 所以当 x ? (0,1) 时 g(x)>0, f ( x) ? 0 此时函数 f ( x ) 单调递减,

x∈(1 ,∞)时,g(x)<0, f ( x) ? 0 此时函数 f (x)单调递增。
'
,

(ii)当 a ? 0 时,由 f ( x)=0 ,解得: x1 ? 1, x2 ? 1- ????????10 分

1 a

1 ,函数 f(x)在 (0,+?) 上单调递减,????????11 分 2 1 1 1 ? ?) 单调递减,在 (1, -1) 上单调递增. ②若 0 ? a ? ,在 (0,1), ( -1, 2 a a
①若 a ?

③ 当 a<0 时,由于 1/a-1<0, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f ' ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递减; x∈(1 ,∞)时,g(x)<0 , f ' ( x) ? 0 ,此时函数 f ( x ) 单调递增。 综上所述: 当 a≤ 0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减;函数 f(x)在 (1, +∞) 上单调递增

1 时,函数 f(x)在(0, + ∞)上单调递减 2 1 1 ? ?) 上单调递减; 当 0 ? a ? 时,函数 f(x)在 (0,1), ( -1, 2 a 1 函数 f(x)在 (1, -1) 上单调递增;???14 分 a
当a ? 【思路点拨】(1)欲 求 出 切 线 方 程 , 只 须 求 出 其 斜 率 即 可 , 故 先 利 用 导 数 求 出 在 x=2 处 的 导 函 数 值 , 再 结 合 导 数 的 几 何 意 义 即 可 求 出 切 线 的 斜 率 . 从 而 问 题 解 决. (2)利 用 导 数 来 讨 论 函 数 的 单 调 性 即 可 ,具 体 的 步 骤 是 :确 定 f( x )的 定 义 域 ; 求 导 数 fˊ ( x) ; 在 函 数 的 定 义 域 内 解 不 等 式 fˊ ( x) > 0 和 fˊ ( x) < 0; 确定函数的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论. 【典型总结】本 小 题 主 要 考 查 导 数 的 概 念 、利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 、导 数 的 几 何 意 义 和 利 用 导 数 研 究 函 数 性 质 的 能 力 ,考 查 分 类 讨 论 思 想 、数 形 结 合 思 想 和 等价变换思想.


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