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数列的极限与数学归纳法


高考复习补充例题

每天都有好心情^_^

数 列 的 极 限
1、数列极限的运算性质 如果 lim an =A, lim bn =B,那么
n ?? n ??

(1) lim(an ? bn ) = lim an ? lim bn = A ? B ;
n ?? n ?? n ??

/>
(2) lim (an ? bn ) = lim an ? lim bn = A?B;
n ?? n ?? n ??

(3) lim

lim an A an = n ? ? = (B≠0,bn≠0) n?? b lim bn B n
n??

2、几个常用数列极限 (1) lim C ? C (C 为常数);
n ??

(2) lim

1 =0; n ?? n
(4) lim(1 ? ) n =e
n ??

(3) lim q n =0
n??

( | q | <1)

1 n

3、数列极限运算的几种基本类型: (1) 关于 n 的分式型 (2) 关于 n 的指数型 (3) 无穷多项的和与积 (4) 无穷递缩等比数列 1.求下列数列的极限: (1) lim

3n 2 ? 2n ? 6 n ?? 5n 2 ? 7 n ? 9

(2) lim

(?2)n ? 3n n ?? (?2) n ?1 ? 3n ?1

(3) lim(1 ?
n ??

1 1 1 1 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) 2 2 3 4 n
2 1 2 1 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ) 2 5 5 5 5 5

(4) lim( ?
n ??

1 5

(5) lim[ ?
n ??

1 1 1 1 ? ? ? ? ( ?1) n ?1 ? n ] 3 9 27 3

(6) lim n ( n ? 1 ? n)
n ??

(7) lim

1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ?1 n ?? 3n ? a n ?1

(8) lim[
n ??

1 2 3 n ? ? ?? ? ] 2! 3! 4! (n ? 1)!

(9) lim

a n ?1 (a,b>0) n ?? a n ? b n

1

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2. (1) 已知 lim(
n ??

2n 2 ? na) ? b, 求 a, b. n?2

(2) 已知 lim

bn ? c an2 ? cn an 2 ? bn ? c ? 3 , 求: lim 2 ? 2 , lim 。 n ?? cn ? a n ?? bn 2 ? c n ?? cn ? an ? b

a 2 n ? 4n ?1 3 ? , 求 a. (3) 已知: lim n ? 2 n ?? 3 ? 22 n ?1 8

3.(1)在等比数列 {an}中,a1>1,且前 n 项和 Sn 满足 lim Sn ?
n ??

1 ,求 a1 的取值范围。 a1

(2) 数列{an}, {bn}均是公差不为 0 的等差数列,且 lim

an b ? b ? ? ? bn 。 ? 3 ,求 lim 1 2 n ?? n ?? b na2 n n

4. 已知数列{an}前 n 项和为 Sn, 此无穷数列对于不小于 2 的正整数 n, 满足 1-Sn=an-1-an. (1) 求 a1, a2, a3. (2) 证明{an}为等比数列。 (3) 设 bn ? (

1 2 ? ) ? a n ,求 lim (b1+b2+……+bn)的值。 n? ? log2 a 2 n?3 log2 a 2 n?1

5. 已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠-1),前 n 项和为 Sn,求 lim

Sn n ?? S 2n

6. 已知数列 ?an ? 前 n 项和 Sn ? 1 ? kan ? k ? 1? 。 ⑴ 用 n、k 写出 an 的表达式;⑵ 若 lim S n ? 1 ,求 k 的取值范围。
n ??

2

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7. 已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 都是等差数列, a1 ? 3, b1 ? 2 , b2 是 a2 , a3 的等差中项, lim

an 1 ? 。 n ?? b 2 n

求 lim ?

? 1 1 1 ? ? ??? ? 的值。 n ?? a b anbn ? ? 1 1 a2b2

8. 已知 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 An ; ?bn ? 是首项为 1,公差为 q q ? 1 的等比 数列,其前 n 项和为 Bn 。设 Sn ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ,若 lim ?
n ??

?

?

? An ? ? Sn ? ? 1 ,求 d 和 q。 ? n ?

9. 如图所示,已知 x 轴上的点 An (an ,0) 中的 an 是首项为 p、公差为 1 的等差数列,过 A2k ?1 , A2k , A2k ?1 作 x 轴的 垂线 l2k ?1 , l2 k , l2k ?1 交函数 f ?x ? ? a x (常数 a 满足 0 ? a ? 1) 的图像于点 B2 k ?1 , B2 k , B2 k ?1 ,过 B2 k 作 x 轴的平行线交

l2k ?1 及 l2k ?1 于 点 C2 k ?1 , C2 k ?1 , 记 直 角 梯 形 A2k ?1 A2k B2k B2k ?1 与 A2k A2k ?1B2k ?1B2k 的 面 积 之 和 为 bk , 矩 形 A2k ?1 A2k ?1C2k ?1C2k ?1 的面积为 c k 。
(1)求证: {bn } 和 ?ck ? 都是等比数列; (2)求证:对任意的 k ? N 都有 bk ? ck ; (3)若 a ?

1 ,求使得 lim(b1 ? b2 ? ...? bn ) ? 36 成立的最大整数 p 的值。 n ?? 2

3

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数 学 归 纳 法
1? S1 ? 2 ? S2 ? ? ? nSn 1 1 1 1 1、设 Sn ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N * ) ,证明: ? Sn ?1 ? 。 2 3 n 1? 2 ? 3 ??? n 2

2、证明: 4 ? 6n ? 5n ?1 ? 9(n ? N * ) 能被 20 整除。

3、在 1~9 之间插入 2n-1 个正数 a1 , a2 ,?, a2 n ?1 ,使 1, a1 , a2 ,?, a2 n ?1 ,9 成等比数列;在 1~9 之间又插入 2n-1 个正数
b1 , b2 ,?, b2 n ?1 ,使 1, b1 , b2 ,?, b2 n ?1 ,9 成等差数列;

设 f (n) ? a1a2 ? a2 n ?1 , g (n) ? b1 ? b2 ? ? ? b2 n ?1 , n ? N * (1)求 f (n), g (n) ; (2)设 F (n) ? 9 f (n) ? 4 g (n) ? 17 ,是否存在最大自然数 m,使得对 n∈N*,都有 F(n)被 m 整除。

4、已知 f (n) ? 2n ? 1, g (n) ? ?

(n ? 1) ?3 ,求 g (n) f ( g (n ? 1)) (n ? 2, n ? N ) ?

5、已知数列 {an } , an ? 0 ,前 n 项和 S n ? ( an ?

1 2

1 ), an

(1)求 a1 , a2 , a3 ;(2)猜想 a n ,并用数学归纳法证明。

4


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