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新课程标准数学选修1-2第二章课后习题解答[唐金制]


新课程标准数学选修 1—2 第二章课后习题解答
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 练习(P30) 1、由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1,猜想 an ? 1 . 2、相邻两行数之间的关系是:每一行首尾的数都是 1,其他的数都等于上一行中与之相邻 的两个数的和. 3、设 VO?PQ1R1 和 VO?P2Q2R2 分别是四面体 O ? PQ1R1

和 O ? P Q2 R2 的体积, 1 2 1 则

VO ? PQ1R1 1 VO ? P2Q2 R2

?

OP OQ1 OR1 1 ? ? . OP2 OQ2 OR2

4、略.

练习(P33) 1、略. 2、因为通项公式为 an 的数列 {an } , 若

an ?1 ? p , p 是非零常数,则 {an } 是等比数列; ??????????大前提 an

又因为 cq ? 0 ,则 q 是非零常数,则

an ?1 cq n?1 ? ? q ; ????????小前提 an cq n
????????结论

所以,通项公式为 an ? cqn (cq ? 0) 的数列 {an } 是等比数列.

3、由 AD ?BD ,得到 ?ACD ? ?BCD 的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一 个三角形中,大边对大角” ,小前提是“ AD ? BD ” ,而 AD 与 BD 不在同一个三角形中. 4、略. 习题 2.1 A 组(P35) 1、 (n2 ?1) ( n 是质数,且 n ? 5 )是 24 的倍数. 2、 an ?

2 (n ? N ? ) . n ?1

3、 F ? V ? E ? 2 .

4、 n ? 6 时,2n?1 ? (n ? 1)2 ; n ? 7 时,2n?1 ? (n ? 1)2 ; n ? 8 时,2n?1 ? (n ? 1)2 (n ? N ? ) . 当 当 当

1 1 1 n2 5、 ? ( n ? 2 ,且 n ? N ? ). ? ?? ? A1 A2 An (n ? 2)?
6、 b1b2 ?bn ? b1b2 ?b17?n ( n ? 17 ,且 n ? N ? ). 7、如图,作 DE ∥ AB 交 BC 于 E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 又因为 AD ∥ BE , AB ∥ DE . 所以四边形 ABED 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.

A

D

B

E
(第 7 题)

C

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又因为四边形 ABED 是平行四边形. 所以 AB ? DE . 因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等, 又因为 AB ? DE , AB ? DC , 所以 DE ? DC 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△ DEC 是等腰三角形, 所以 ?DEC ? ?C 因为平行线的同位角相等 又因为 ?DEC 与 ? B 是平行线 AB 和 DE 的同位角, 所以 ?DEC ? ?B 因为等于同角的两个角是相等的, 又因为 ?DEC ? ?C , ?DEC ? ?B , 所以 ?B ? ?C 习题 2.1 B 组(P35) 2 3 4 5 6 n ?1 1、由 S1 ? ? , S 2 ? ? , S3 ? ? , S 4 ? ? , S5 ? ? ,猜想 S n ? ? . 3 4 5 6 7 n?2 2、略. 3、略. 2.2 直接证明与间接证明 练习(P42) 1、因为 cos4 ? ? sin 4 ? ? (cos2 ? ? sin 2 ? )(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? cos 2? ,所以,命题得证. 2、要证 6 ? 7 ? 2 2 ? 5 ,只需证 ( 6 ? 7)2 ? (2 2 ? 5)2 , 即证 13 ? 2 42 ? 13 ? 4 10 ,即证 42 ? 2 10 , 只需要 ( 42)2 ? (2 10)2 ,即证 42 ? 40 ,这是显然成立的. 所以,原命题得证. 3、因为 (a2 ? b2 )2 ? (a ? b)2 (a ? b)2 ? (2sin ? )2 (2 tan ? )2 ? 16sin 2 ? tan 2 ? , 又因为 16ab ? 16(tan ? ? sin ? )(tan ? ? sin ? ) ? 16

sin ? (1 ? cos ? ) sin ? (1 ? cos ? ) ? cos ? cos ?

? 16

2 2 sin 2 ? (1 ? cos 2? ) sin ? sin ? ? 16 ? 16sin 2 ? tan 2 ? , 2 2 cos ? cos ?

从而 (a2 ? b2 )2 ? 16ab ,所以,命题成立. 说明:进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点. 练习(P43) 1、假设 ? B 不是锐角,则 ?B ? 90? . 因此 ?C ? ?B ? 90? ? 90? ? 180? . 这与三角形的内角和等于 180°矛盾. 所以,假设不成立. 从而, ? B 一定是锐角. 2、假设 2 , 3 , 5 成等差数列,则 2 3 ? 2 ? 5 . 所以 (2 3)2 ? ( 2 ? 5)2 ,化简得 5 ? 2 10 ,从而 52 ? (2 10)2 ,即 25 ? 40 , 这是不可能的. 所以,假设不成立. 从而, 2 , 3 , 5 不可能成等差数列. 说明:进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题 2.2 A 组(P44) 1、因为 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2
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展开得 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 ,即 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B . cos A cos B ? sin A sin B cos( A ? B) ? 0 ,即 ?0 假设 1 ? tan A tan B ? 0 ,则 cos A cos B cos A cos B 所以 cos( A ? B) ? 0 . 因为 A , B 都是锐角,所以 0 ? A ? B ? ? ,从而 A ? B ? 因此 1 ? tan A tan B ? 0 . tan A ? tan B ? 1 , 即 tan( A ? B) ? 1 . ①式变形得 1 ? tan A tan B . 4 说明:本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为 PD ? 平面 ABC ,所以 PD ? AB . 因为 AC ? BC ,所以 ?ABC 是等腰三角形. 因此 ?ABC 底边上的中线 CD 也是底边上的高, 因而 CD ? AB 所以 AB ? 平面 PDC . 因此 AB ? PC . 2 1 1 3、因为 a, b, c 的倒数成等差数列,所以 ? ? . b a c 假设 B ? 又因为 0 ? A ? B ? ? ,所以 A ? B ?



?
2

,与已知矛盾.

?

?

2

不成立,即 B ?

?

2

,则 B 是 ?ABC 的最大内角,

所以 b ? a, b ? c (在三角形中,大角对大边) , 从而

1 1 1 1 2 2 1 1 ? ? ? ? . 这与 ? ? 矛盾. a c b b b b a c

所以,假设不成立,因此, B ?

?

2

.

习题 2.2 B 组(P44) 1 ? tan ? ? 1 ,所以 1 ? 2 tan ? ? 0 ,从而 2sin ? ? cos ? ? 0 . 1、因为 2 ? tan ? 另一方面,要证 3sin 2? ? ?4cos 2? , 只要证 6sin ? cos ? ? ?4(cos2 ? ? sin 2 ? ) 即证 即证

2sin 2 ? ? 3sin ? cos ? ? 2cos2 ? ? 0 , ( 2 s i? ? n c? s o ) ?s i n (?

? ?os ) 2c

0

由 2sin ? ? cos ? ? 0 可得, (2sin ? ? cos ? )(sin ? ? 2cos ? ) ? 0 ,于是命题得证. 说明:本题可以单独使用综合法或分析法进行证明,但把综合法和分析法结合使用进行证 明的思路更清晰. 2、由已知条件得 b2 ? ac ① ②

2x ? a? b 2y ? b ? c ,

新课程标准数学选修 1—2 第二章课后习题解答 (第 3 页共 5 页)

要证

a c ? ? 2 ,只要证 ay ? cx ? 2 xy ,只要证 2ay ? 2cx ? 4 xy x y

由①②,得 2ay ? 2cx ? a(b ? c) ? c(a ? b) ? ab ? 2ac ? bc ,
2 4x y? ( a? b ( b c ? a ? ) ? ) b

b?

a? c

bc ?

?b 2 a

,c ? a

bc

所以, 2ay ? 2cx ? 4 xy ,于是命题得证.

第二章 复习参考题 A 组(P46)
1、图略,共有 n(n ? 1) ? 1 ( n ? N ? )个圆圈.
n ?个 ? ? 2、 33?3 ( n ? N ? ).

3、因为 f (2) ? f (1)2 ? 4 ,所以 f (1) ? 2 , f (3) ? f (2) f (1) ? 8 , f (4) ? f (3) f (1) ? 16 ?? 猜想 f (n) ? 2n . 4、如图,设 O 是四面体 A ? BCD 内任意一点,连结 AO , BO , CO , DO 并延长交对面 于 A? , B? , C ? , D ? ,则 A ? ? ? OA OB OC O?D ? ? ? 1 ? ? ? ? AA BB CC D?D 用“体积法”证明: C' ? ? ? OA OB OC O?D ? ? ? D' ? ? ? AA BB CC D?D B'

?

VO ? B C D V ? VA? B C D V VA ? B C D ?1 VA ? B C D

?O ?B

V V CDA
CDA

?

? ?

O C

V V DAB?
DAB?

?

O D

ABC ABC

B A' C
(第 4 题)

D

?

5、要证 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2

只需证 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 A n a t 即证 t a n ? t aB ? ?1 tA n B a n 5 由 A ? B ? ? ,得 tan( A ? B) ? 1 . ① 4 ? tan A ? tan B ? 1 ,变形即得①式. 又因为 A ? B ? k? ? ,所以 2 1 ? tan A tan B

所以,命题得证.

第二章 复习参考题 B 组(P47)
1、 (1)25 条线段,16 部分; (2) n2 条线段; (3)

n2 ? n ? 2 部分. 2

2、因为 ?BSC ? 90? ,所以 ?BSC 是直角三角形.
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在 Rt ?BSC 中,有 BC 2 ? SB 2 ? SC 2 . 类似地,得 AC 2 ? SA2 ? SC 2 , AB2 ? SB2 ? SA2 在 ?ABC 中,根据余弦定理得

cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 SA2 ? ?0 2 AB ? AC AB ? AC AB 2 ? BC 2 ? AC 2 SB 2 ? ?0 2 AB ? BC AB ? BC

cos B ?

BC 2 ? AC 2 ? AB 2 SC 2 cos C ? ? ?0 2 BC ? AC BC ? AC
因此, A, B, C 均为锐角,从而 ?ABC 是锐角三角形. 3、要证 cos 4? ? 4cos 4? ? 3 因为 cos 4? ? 4cos 4? ? cos(2 ? 2? ) ? 4cos(2 ? 2? )

? 1 ? 2sin 2 2? ? 4 ? (1 ? 2sin 2 2? ) ? 1 ? 8 s i2 n ? ? 1 ? 8 s i2 n ? c2o s ? ?4 ? 1 28 s i n 2 ? c o s ? ( ? ( 1 2s? n ? )? 4 ? [ 12 ?8 s i ? ? i n
2

)

?1 sin (

)]

只需证 1 ? 8sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 4 ?[1 ? 8sin 2 ? (1 ? sin 2 ? )] ? 3 由已知条件,得 sin ? ?

sin ? ? cos ? , sin 2 ? ? sin ? cos? , 2

代入上式的左端,得 1 ? 8sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 4 ?[1 ? 8sin 2 ? (1 ? sin 2 ? )]

? ?3 ? 8sin ? cos? (1 ? sin ? cos? ) ? 32sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? ?3 ? 8sin ? cos? ? 8sin 2 ? cos2 ? ? 2(1 ? 2sin ? cos? )(3 ? 2sin? cos? )
? ? ?8 s i?n 3
?3
因此, cos 4? ? 4cos 4? ? 3

c? s? o

2

8 sin2 ? os ? ? c?

2 6 ? 8 s 2i n ? c o s? ?

8 sin ?

cos

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