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黄冈中学2015届高三上期末考试数学


黄冈中学 2015 届高三(上)期末考试数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.直线 2 x ? (m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 mx ? 3 y ? 2 ? 0 平行,则 m ? ( A. 2 B. ?3 C. 2 或 ?3 D. ?2 或 ?3 ) )



2.设全集 U =R, A ? x x ? 1 ? 1 , B ? ? x ? A. ? ?2,0 ? B. ? ?2, ?1?

?

?

? ?1? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ,则图中阴影部分所表示的集合( ? ? ? ?2? ?
x

C. (?1, 0] )
2

D. (?1, 0)

U

3.下列有关命题的说法正确的是(

B

A

A.命题“若 x2 ? 1, 则x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则x ? 1 ”; B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件;
2

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题;
2 D.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0,则?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 .

2? 的单位向量, 若 a ? 3e1 , 则向量 b 在 a 方向的投影为 ( ) b ? e1 ? e2 , 3 3 1 1 A. B. C. ? D. 1 2 2 2 1 5.已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2014 ,公比为 q ? ,记 bn ? a1a2 a3 an ,则 bn 达到最大值时, 2
4. 设向量 e1 , e2 是夹角为

n 的值为(



A. 10 B. 11 C. 12 D.不存在 6.在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0), (2,1,1),(2,2,2). 给出编号为① ,② ,③ ,④ 的四个图,则该四面体的侧视图和俯视图分别为( )

图① A.① 和② B.① 和③

图② C.③ 和②
2

图③ D.④ 和②
o

图④
o o

7.已知在 ?ABC 中,边 a 、 b 、 c 的对角为 A 、 B 、 C , A ? 30 , b ? 6 , C ?[60 ,120 ] ,则 此三角形中边 a 的取值使得函数 f ( x) ? lg(ax ? ax ? 1) 的值域为 R 的概率为( A. )

1 4

B.

1 2

C.

1 3

D.
共4页

2 3

高三数学(理)

第 1 页

8.近期由于雨雪天气,路况不好,某人驾车遇到紧急情况而刹车,以速度 v ? t ? ? 7 ? 3t ? 时间单位 s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位; m )是( A. 1 ? 25ln 5 9.已知双曲线 B. 4 ? 25ln 5 C. 8 ? 25ln )

25 (t 为 1? t

11 3

D. 4 ? 50ln 2

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若双曲线右支上存在一点 P ,使 a2 b2 得 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( )
A. 1 ? e ?

2 3 3

B. e ?

2 3 3

C. e ?

3

D. 1 ? e ?

3

10.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,若 x, y 满足 f ( x ? 1) ? f ( y ) ? 0 ,则 x2 ? y 2 ? 2x ? 1 的取值 范围( ) B. [2,10] C. ( 2, 10) D. [ 2, ??]

A. (2,10)

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡 ... 对应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. .... (一)必考题(11—14 题) 11.复平面内与复数 z ?

2i 所对应的点关于实轴对称的点为 A ,则 A 对应的复数为_______. 1? i

12.设 (1 ? x) 8 ? a0 ? a1 x ? ? ? a7 x 7 ? a8 x 8 ,则 a1 ?

? a7 ? a8 ?

. .

2 2 2 13.已知实数 x, y, z 满足 2 x ? y ? 3z ? 32 ,则 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? z 的最小值为

14.定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 满足:① 当 x ? [1,3) 时, f ( x ) ? 1? | x ? 2 | ;② f (3x ) ? 3 f ( x ) .设关于
? a 的 零 点 从 小 到 大 依 次 为 x1 , x2 , x3 , x 的 函 数 F ( x) ? f ( x)

, xn

. 若 a ? 1 , 则 x1 ? x2 ? x3 ?

________ ;若 a ? (1,3) ,则 x1 ? x2 ?

x2n ? ________________.

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序 号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. (选修4-1:几何证明选讲)如右图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆的切线 l , 过A作直线 l 的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为 .

高三数学(理)

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? ?x ? ? 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?
的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ?

2 t 2 (其中 t 为参数) ,圆 c 2 t?4 2 2


?
4

) ,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (2 cos ? x, 2), b ? (2 cos(? x ? 的图象与直线 y ? ?2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为 ? . (I)求函数 f ( x ) 在 [0, 2? ] 上的单调递增区间; (II) 将函数 f ( x ) 的图象向右平移

?
6

), 0)(? ? 0) ,函数 f ( x) ? a b

? 个单位, 得到函数 y ? g ( x) 的图象. 若 y ? g ( x) 在 [0, b](b ? 0) 12

上至少含有 6 个零点,求 b 的最小值.

? 18. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 满足: an ?1 ? an n ? N , a1 ? 1 ,该数列的前三项分别

?

?

(I)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (II)设 Tn ?

加上 1、1、3 后顺次成为等比数列 ?bn ? 的前三项.

2n ? 3 1 a a1 a2 ? ? ??? ? n ? n ? N * ? , 若 Tn ? n ? ? c ? c ? Z ? 恒成立,求 c 的最小值. 2 n b1 b2 bn

19. (本小题满分 12 分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该 提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了 机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人,将调查情 况进行整理后制成下表: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 赞成人数 5 4 10 6 15 9 10 6 5 3 5 4

(Ⅰ )完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ )若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查 者中各随机选取 2 人进行追踪调查,求恰有 2 人不 赞成的概率; (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,再记选中的 4 人中不 . 赞成 “车辆限行”的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布 .. 列和数学期望.

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AD ? AB , AB ? BC ? 2 AD ? 4 , AD // BC , 20. (本小题满分 12 分)如图 1 所示, 直角梯形 ABCD , E 、 F 为线段 AB 、 CD 上的点,且 EF // BC ,设 AE ? x ,沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD ? 平面 EBCF (如图 2 所示) . (Ⅰ )若以 B 、 C 、 D 、 F 为顶点的三棱锥体积记为 f ( x ) ,求 f ( x ) 的最大值及取最大值时 E 的 位置; (Ⅱ )在(1)的条件下,试在线段 EF 上的确定一点 G 使得 CG ? BD ,并求直线 GD 与平面 BCD 所成的角 ? 的正弦值. A D A E D F

E B

F

C

B

C

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为 顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q ) . (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设点 P 是直线 x ? ?4 与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M , N 两点,当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 斜率的取值范围.

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) ln( x ? 1) 图像上的点 (e ? 1, f (e ? 1)) 处的切线与 直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直 (e ? 2.71828 ???) . (Ⅰ )求 f ( x) 的单调区间;
2 2

3 (Ⅱ )求函数 y ? 2 f ( x ? 1) 与 y ? x ? mx (m ? 1) 的图象在区间 [ , e] 上交点的个数;

1 e

(Ⅲ )证明:当 m ? n ? 0 时, (1 ? em )e ? (1 ? en )e .

n

m

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期末考试参考答案
1-5:C D C A B 15.4 ; 16. 2 6 6.解: 因为当 x ? R 时,函数 f ? x ? ? a 始终满足 0 ? f ? x ? ? 1 . ,所以 0<a<1,则当 x>0 时,函
x

6-10:C D B B A

11. 1 ? i ; 12.255 ; 13. 2 14 ;

14. 14, 6(3n ? 1) ;

数 y ? log a

1 ? ? log a x ,显然此时单调函数单调递增,则选 B. x
4? 25 25 ? ? 0 ,则 t ? 4 。汽车刹车的距 ? ? 7 ? 3t ? ? dt ? 4 ? 25ln 5 ,故选 0 1? t 1? t ? ?

8.解:令 v ? t ? ? 7 ? 3t ? B。

12.解:令 x ? 0 得 a1 ? 1 ,令 x ? ?1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?

? a7 ? a8 ? 28 ? 256 ,所以所求为 255.

14. 解: 定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 满足: ①当 x ? [1,3) 时,f ( x) ? 1? | x ? 2 | ; ② f (3x) ? 3 f ( x) , 所以 f ( x ) 的构成规律是: 对于任意 的整数 k ,f ( x ) 在每一个区间 [3k ,3k ?1 ) ,f ( x) ? 3k ? | x ? 2 3k | ,

x ?[3k ,3k ?1 ) ,且在此区间 f ( x) 满足 0 ? f ( x) ? 3k ;当 a ? 1 时,
F ( x) ? f ( x) ? a 的零点从大到小依次满足:x1 ? x2 ? 4 ? 3 ,x3 ? x4 ? 4 ? 32 , … x2n? x n ? 4 ? 3n , 1 ?2
所以 x1 ? x2 ?

4 ? 3(1 ? 3n ) x2 n ? ? 6(3n ? 1) 。 1? 3

15.解:连接 OC,BE,如下图所示: 则∵ 圆 O 的直径 AB=8,BC=4,∴ △ OBC 为等边三角形,∠ COB=60° 又∵ 直线 l 是过 C 的切线,故 OC⊥ 直线 l 又∵ AD⊥ 直线 l∴ AD∥ OC 故在 Rt△ ABE 中∠ A=∠ COB=60° ∴ AE= 17.解: (I) f ( x) ? 2 cos(2? x ?

?
6

1 AB=4 2

) ? 3 ,………………………2 分

由题意得 T ? ? ,所以 ? ? 1 ,所以 f ( x) ? 2 cos(2 x ? 所以单增区间满足: 2 x ?

?
6

)? 3, 7? ? , k? ? ] ,……4 分 12 12
……………6 分

?

6 5? 11? 17? 23? , ] 和 x ?[ , ]; 又 x ? [0, 2? ] ,所以 x ? [ 12 12 12 12

? [2k? ? ? , 2k? ] ,解得 x ? [k? ?

(II)由题意得 y ? g ( x) ? 2cos 2x ? 3 ,令 g ( x) ? 0 得 x ? k? ?

5? 7? 或 x ? k? ? ,……8 分 12 12

每个周期恰有 2 个零点,要恰有 6 个零点,则 b 不小于 6 个零点的横坐标即可, 即 bmin ? 2? ?

7? 31? ? 。…………………………………………………………………12 分 12 12
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18. (I) an ? 2n ? 1, (II)错位相减法得 Tn ? 3 ?

………… 3 分

bn ? 2n …………6 分

2n ? 3 …………………………………………………………10 分 2n 2n ? 3 1 1 1 ? ? c ? c ? Z ? 恒成立,则 3 ? ? 3 恒成立,又 3 ? 单调递增, 要 Tn ? n 2 n n n 1 得 3 ? ? [2,3) ,所以最小的整数 c ? 3 ………………………………………………12 分 n

19.

(Ⅱ )由表知年龄在[15,25)内的有 5 人,不赞成的有 1 人,年龄在[25,35) 内的有 10 人,不赞成的 有 4 人,恰有 2 人不赞成的概率为:

p ?? ? 2 ? ?

(Ⅲ) ? 的所有可能取值为:0,1,2,3……………6 分

1 1 1 2 2 C4 ? C6 C4 C4 C4 4 24 6 6 66 22 ? ? ? ? ? ? ? ? = , ……………………7 分 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75

p ?? ? 0 ? ? p ?? ? 1? ? p ?? ? 3? ?

2 2 C6 C4 6 15 45 15 ? ? ? ? = , 2 2 C5 C10 10 45 225 75 2 1 1 1 2 C6 C4 ? C6 C4 C4 4 15 6 24 102 34 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 1 2 C4 C4 4 6 12 4 ? ? ? ? = , 2 2 C5 C10 10 45 225 75

所以 ? 的分布列是:

?

p
6 . 5

0 15 75

1
34 75

2
22 75

3 4 75

…………………………………………………10 分 所以 ? 的数学期望 E? ? ……………………………………………………12 分

20.解: (1)由题意知,平面 AEFD ? 平面 EBCF , AE ? EF ,所以 AE ? 面 BCF ,……2 分 以 B 、 C 、 D 、 F 为顶点的三棱锥底面为 ?BCF ,高为 AE ,

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共4页

1 1 2 2 8 x (4 ? x) 4 ? x(4 ? x) ? ? ( x ? 2) 2 ? ,………………………………4 分 3 2 3 3 3 8 当 x ? 2 时, f ( x ) max ? ,此时对应的点 E 为 AB 的中点。……………………………6 分 3 (Ⅱ )由(1)中知 EA 、 EF 、 EB 两两互相垂直,以 E 为原点, 以 EA 为 x 轴、 EF 为 y 轴、 EB 为 z 轴建立空间直角坐标系, E (0,0,0), B(2,0,0), C (2, 4,0), D(0, 2, 2) ,设 G(0, yo ,0) ,
所以 f ( x) ? 由 CG ? BD 得 GC BD ? (2, 4 ? yo ,0) (?2, 2, 2) ? 0 ,解得 yo ? 2 。…………………………8 分 所以 GD ? (0,0, 2) ,设平面 BCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 ? 可取 n ? (1, 0,1) ,所以 sin ? ?| cos ? n, GD ?|?|

?n BD ? 0 ?

?? x ? y ? z ? 0 ?? , y ? 0 n BC ? 0 ? ? ?

2 2 即为所求。…………………………12 分 | 22 2 x2 y 2 21. 解: (Ⅰ )依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0),焦距为 2c , a b 1 2 x2 y2 2 ? 由题设条件知, a2 ? 8, b ? c ,所以 b ? a ? 4 故椭圆 C 的方程为 =1…………4 分 2 8 4
(Ⅱ )椭圆 C 的左准线方程为 x=-4,所以点 P 的坐标为(-4,0) , 显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线的方程为 y=k(x+4). 如图,设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 MN 的 中点为 G(x0,y0),

得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0 2 2 由 ) -4(1+2k2)(32k2-8)>0 解得 ?

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 y2 ?1 ? ? 4 ?8

① …………………6 分

2 2 <k< 2 2



…………………7 分

16k 2 , 1 ? 2k 2 x ? x2 4k 8k 2 于是 x0= 1 =? ,y0=k(x0+4)= 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 8k 2 ∵ x0= ? ≤0,所以点 G 不可能在 y 轴的右边. 1 ? 2k 2
因为 x1,x2 是方程① 的两根,所以 x1+x2=又直线 F1B2,F1B1 方程分别为 y=x+2,y=-x-2 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为

…………………9 分

? 4k 8k 2 ? ? ?2 ? ? y 0 ? x0 ? 2 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k 2 即? ? 2 ? y 0 ? ? x0 ? 2 ? 4k ? 8k ? 2 2 ? 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k
解得 ? 分

………………………………11 分

3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ≤k≤ ,此时② 也成立.故直线 l 斜率的取值范围是[ ? , ].……13 2 2 2 2

1 ? a[ln( x ? 1) ? 1] ,-----1 分 x ?1 2 2 由于 f ( x) 在点 (e ? 1, f (e ? 1)) 处的切线与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,
22.解析:(1) f '( x) ? a ln( x ? 1) ? a ln( x ? 1) ?
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所以 f '(e2 ?1) ? a(ln e2 ? 1) ? 3,? a ? 1 , f ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) , f '( x) ? ln( x ? 1) ? 1 .……2 分

1 1 1 ? 1; f '( x) ? 0 ? x ? ? 1; f '( x) ? 0 ? ?1 ? x ? ? 1. e e e 1 1 故 f ( x) 的单调递减区间为 [?1, ] ,单调递增区间为 ( ? 1, ??) …………4 分 e e 1 3 (Ⅱ )函数 y ? f ( x ? 1) 与 y ? mx ? x 的图象在区间 [ , e] 上有两个不同的交点 e 1 ? 方程 2 x ln x ? x3 ? mx 在区间 [ , e] 上有两个不同的实数解 e 1 ? 方程 m ? x 2 ? 2ln x 在区间 [ , e] 上有两个不同的实数解. e 1 2 ? 函数 y ? m 与 g ( x) ? x ? 2ln x 图象在区间 [ , e ] 上有两个不同的 e
令 f '( x) ? 0 ? x ? 交点.- ………………………………………………………………6 分

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? ? 0( x ? 0) , x ? 1 ;当 x ? (0,1) 时, x x 1 g '(x ) ? 0, 当 x ? (1, ??) 时, g '( x ) ? 0, 故 g ( x) 在 [ ,1] 上是减函数, e 1 1 1 2 在 [1, e] 是 增 函 数 ; 在 区 间 [ ,e ]上 g ( x)min ? g (1) ? 1 , g ( ) ? 2 ? 2 ? 3 ? g (e) ? e ? 2 , e e e …………………………8 分 g ( x)max ? g (e) ? e2 ? 2 ,其大致图象如右图: g '( x) ? 2 x ?
由图象可知, 当 m 的取值范围是 (1, 2 ? 的交点; 当 m ? 2? 点 分 (Ⅲ)令 u ? e , v ? e ,
m n

1 1 ] 时,函数 y ? f ( x ? 1) 与 y ? mx ? x3 的图象在区间 [ , e] 上有两个不同 2 e e

1 1 ? 1 )与 y ? mx ? x3 的 图 象 在 区 间 [ , e] 上 有 1 个 交 时 , 函 数 y ? f( x 2 e e
……………………………………………………………… 9

m ? n ? 0,?u ? v ? 0 ,

要证 (1 ? e )

m en

? (1 ? en )e ,只需证 v ln(1 ? u) ? u ln(1 ? v) ,这等价于

m

ln(1 ? u) ln(1 ? v) , ? u v

x ? ln(1 ? x) x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ln(1 ? x) 1 ? x ? 令 h( x ) ? ( x ? 0) , h '( x) ? 2 x x 2 ( x ? 1) x
令 k ( x) ? x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ( x ? 0) , k ’ '( x) ? 1 ? ln( x ? 1) ?1 ? ? ln( x ? 1) ? 0( x ? 0, x ? 1 ? 1) , 故 k ( x) 在 (0, ??) 单调递减, 所以 k ( x) ? k (0) ? 0 ,故 h '( x ) ? 0 ,故 h( x) ?

ln(1 ? x) ( x ? 0) 是减函数, x ln(1 ? u) ln(1 ? v) , u ? v ? 0,? h(u) ? h(v) ,即 ? u v
n m

就是 (1 ? em )e ? (1 ? en )e 成立.

…………………………………………………14 分
第 8 页 共4页

高三数学(理)


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