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用传统方法证明立体几何


用传统方法证明立体几何

刘玉环

常用结论
? 证明直线与直线的平行的思考途径:(1)转化为判 定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三 条直线平行;(3)转化为线面平行;(4)转化为 线面垂直;(5)转化为面面平行. ? 证明直线与平面的平行的思考途径:(1)转化为直 线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3) 转

化为面面平行. ? 证明平面与平面平行的思考途径:(1)转化为判定 二平面无公共点;(2)转化为线面平行;(3)转 化为线面垂直.
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? 证明直线与直线的垂直的思考途径:(1)转化为 相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)转化为线 与另一线的射影垂直;(4)转化为线与形成射影 的斜线垂直. ?证明直线与平面垂直的思考途径:(1)转化为该 直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线 与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与 平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于 另一个平行平面;(5)转化为该直线与两个垂直 平面的交线垂直. ? 证明平面与平面的垂直的思考途径:(1)转化为 判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.
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? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线线 ? ∥? 面面 ∥? 线面 ? ∥ ? ? 判 定 性 质 ??线线 ? ⊥? 面面?? ?? ⊥? 线面 ? ⊥?? ? ? 线线 ? ⊥? 面面 ∥? 线面 ? ∥ ? ?

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考点(距离、角度、长度)
? 点到平面的距离:求点到平面的距离就是求点到平面

的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足
,当然别忘了转化法与等体积法的应用.

? 异面直线的距离:此类题目主要考查异面直线的距离
的概念及其求法,考纲只要求掌握已给出公垂线段的

异面直线的距离.
? 直线到平面的距离:此类题目再加上平行平面间的距

离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化.
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? 异面直线所成的角:此类题目一般是按定义作出 异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角.异 面直线所成的角是高考考查的重点. ? 二面角:此类题主要是如何确定二面角的平面角 ,并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合 适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点,应 重视.

? 不论是求空间距离还是空间角,都要按照 “一作,二证,三算”的步骤来完成。
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如图,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别是棱 BC , CC1 1 上的点, CF (1) (2) (3)

? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2: 4

求异面直线 EF 与 A D 所成角的余弦值; 1 证明 AF

? 平面 A1ED

求二面角 A ? ED ? F 的正弦值。 1

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