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23个深度几何专题


23 个深度的几何专题

23 个具有深度的几何类专题
1、 如图已知 ?ABC 中,BC ? a ,CA ? b , AB ? c , D 是 BC 边 上的中点,中线 AD ? ma ,求 ma ? ma (a, b, c ) 的解析式.
B D A C A

2 、如图已知 ?ABC 中, BC ? a , CA

? b , AB ? c , AD 是
?BAC 的平分线, AD ? ta ,求 ta ? ta (a , b, c ) 的解析式.
B

D A

C

3、 如图已知 ?ABC 中,BC ? a ,CA ? b , AB ? c , AD 是 BC 的高, AD ? ha ,求 ha ? ha (a, b, c ) 的解析式.
B

D A

C

4、如图已知 ?ABC 中,BC ? a ,CA ? b , AB ? c , D 是 BC 边上的点, AD ? y , BD ? x ,求 y ? y( x ) 的解析式.
B D

C

5、如图已知,在直角坐标系 xOy 中, A, B, C , D 点的 坐标分别为: A(?a, 0 ) , B(0, ?b) , C (c, 0) , D(0 , d ) . 求证: (a ? c )(b ? d ) ?
(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (a 2 ? d 2 )(b 2 ? c 2 )

D A

O B

C

6、 如图已知 ?ABC 中, BC ? a , CA ? b , AB ? c ,
CD 1 ? ,求 BF ? ? DB 2

AE ? 3, EC

C E D F A B



1



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7、如图已知 ?ABC 的三个边长为 BC ? a ,CA ? b ,
AB ? c ,P 是 ?ABC 的任意内点,连接 AP 延线

A E F P B D C

交 BC 于 D ,连接 BP 延线交 CA 于 E ,连接 CP 延线交 AB 于 F . 求证:⑴
AF BD CE AP BP CP ? ? ? 1 ;⑵ ? ? ?2 FB DC EA AD BE CF

8、 如图已知锐角 ?ABC 的三个边长为 BC ? a ,CA ? b ,
AB ? c , D, E , F

A F B D
A

分别是 BC , CA, AB 边上的点,求:

E

?DEF 的周长 S ? DE ? EF ? FD 的最小值.

C

9、如图已知锐角 ?ABC 的三个边长为 BC ? a ,CA ? b ,
AB ? c , P 是 ?ABC 的内点,求 P 点到 ?ABC 三个顶

点的距离之和 L ? PA ? PB ? PC 的最小值.
B

P C

10、如图已知, G 为 ?ABC 的重心, GA ? 3 ,
GB ? 4 , GC ? 5 ,求 ?ABC 的面积.

A G C B

11 、如图已知, P 是等边 ?ABC 的一个内点,满足
PA ? 3 , PB ? 4 , PC ? 5 ,求 ?ABC 的周长.

A

P B
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C

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12、如图已知正方形 ABCD 内有一点 P ,若 PA ? a ,
PB ? 2a , PC ? 3a ,求正方形 ABCD 的周长.

D

C

P A B

13、 如图已知正方形 ABCD 内有一点 P , 若 P 到 A, B, C 三点的距离之和有最小值,当最小值为 时,求此正方形 ABCD 的周长
2? 6

D

C

P A B

14、设等边 ?ABC 的外接圆圆心为 O ,圆半径为
R , P 是圆外一点,OP ? D ? R ,求由线段 PA , PB , PC 所构成的三角形的面积 S ? ?

A P O B C

15、 如图已知, 半径为 R ?

2 的圆 O 其圆心在原点,

C E F A B

圆 O 与 x 轴相交于 A, B , 与 y 轴相交于 CD . 过 A 的 任意 一直线 交圆 O 于 E , 交 y 轴于 F , 求
AE ? AF ? ?

D A

16 、如图已知 ?ABC 的三个边长为 BC ? a , CA ? b ,
AB ? c , 其 三 个 内 角 平 分 线 长 分 别 为 AD ? ta
BE ? tb , CF ? t c ,求证: ta tb tc ? abc

F

E


B D C



3



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17 、 如 图 所 示 , P 是 ?ABC 的 一 个 内 点 . 延 长
AP , BP , CP 分别与对边相交于 D, E , F ,设 AP ? a ,

A F E

BP ? b



CP ? c

, 而

PD ? PE ? PF ? d

. 已 知
B

P

a ? b ? c ? 43 , d ? 3 ,求 abc ? ?

D C E P D

C

18、已知 ?ABC 的三个边长分别为 BC ? 3 , CA ? 4 ,
AB ? 5 , P 为 ?ABC 的一个内点,设 P 到这三边

的距离 PD ? x , 求这三数乘积 xyz PE ? y , PF ? z , 的最大值. 19、已知 P 是 ?ABC 的一个内点,在 ?ABC 的周界上 求找一点 Q ,使得折线 APQ 平分 ?ABC 的面积 . 如何找到 Q 点.
A A F

B

C Q P B C E P A F B D

20、如图已知 P 是 ?ABC 的一个内点, D, E , F 分别 是 P 到 BC , CA, AB 所引垂线的垂足,若 P 点使
S? BC CA AB 为最小值,求这个最小值. ? ? PD PE PF

A

21、设 O , I 分别为 ?ABC 的外心与内心,R, r 分别是 ?ABC 外接圆与内切圆的半径, 外 心 与 内 心 之 距 记 为 OI ? d , 求 证 :
d 2 ? R2 ? 2Rr

I O B C



4



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22、如图所示,从圆 O 外的一点 A ,引两 条圆 O 的切线 AB 、 AC ,其中, A, B 为 切点,连结 BC . 从 A 引圆 O 的任意一 条割线交圆 O 于 P , Q ,交 BC 于 R . 求 证:
2 1 1 ? ? AR AP AQ

B A P E R O Q

F

C

23、如图所示,设 O 为 ?ABC 的外心,外接圆半 径为 R . 若
AO, BO, CO

A F O B D C E

的延长线分别交

BC , CA, AB 于点 D, E , F .

求证:

1 1 1 2 ? ? ? AD BE CF R

23 个具有深度的几何类专题解析
1、如图已知 ?ABC 中, BC ? a , CA ? b , AB ? c , D 是 BC 边 上的中点,中线 AD ? ma ,求 ma ? ma (a, b, c ) 的解析式. 解析:⑴本几何题作辅助线的方法: “三角形中有中线,延长中线等中线.” 将 AD 延长至 E ,使 DE ? AD . 连结 BE , CE . 如图 1-2 ⑵依据平行四边形判定法则: “三对一组平分线” 三对:两组对边分别平行; 两组对边分别相等; 两组对角分别相等.
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A

B

D

C

A

B

D

C

E

图 1-2

23 个深度的几何专题

一组:一组对边平行且相等. 平分线:对角线互相平分. 满足上述条件之一的四边形为平行四边形. 本题,BD ? DC ( D 是 BC 的中点),DE ? AD ,满足对角线互相平分,所以, 四边形 ABEC 是平行四边形. 故: AB ? CE , AC ? BE , ?BAC ? ?ACE ? 180 o 则: cos ?BAC ? cos ?ACE ? 0 ⑶对 ?ABC ,由余弦定理得: BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2AB ? AC ? cos ?BAC 对 ?ACE ,由余弦定理得:
AE 2 ? AC 2 ? CE 2 ? 2AC ? CE ? cos ?ACE



? AC 2 ? AB 2 ? 2 AC ? AB ? cos ?ACE



由①+②得:
BC 2 ? AE 2 ? 2 AB 2 ? 2 AC 2 ? 2 AB ? AC (cos ?BAC ? cos ?ACE ) ? 2 AB 2 ? 2 AC 2

即: a 2 ? ( 2ma )2 ? 2b 2 ? 2c 2



③式表明:平行四边形两条对角线的平方和等于其四条边的平方和. 由③得: ma2 ? ( 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 ) 即: ma ?
1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2 1 4

这就是三角形的中线长定理.

本题使用余弦定理即可解题,属中学数学范畴. 2、 如图已知 ?ABC 中, BC ? a , CA ? b , AB ? c , AD 是 ?BAC 的平分线, AD ? ta ,求 ta ? ta (a , b, c ) 的解析式. 解析:⑴几何题作辅助线确定
BD ,方法: DC
B D C A



6



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“图中有角平分线,垂线、对称、平行线” A> 垂线 过 D 点分别作 AB 、 AC 的垂线,垂足为 E , F .则: DE ? DF
1 S?ABD 2 ? AB ? DE AB 于是: ① ? ? S?ADC 1 AC ? AC ? DF 2 1 S?ABD 2 ? BD ? AD ? sin ?ADB BD 又: ? ? S?ADC 1 DC ? DC ? AD ? sin ?ADC 2
A

E



B

D

F C

由①②得:

BD AB ? DC AC



③式就是三角形的角平分线定理. B> 平行线 过 B 点作 BG / / AC ,交 AD 得延长线于 G . 则: ?BGD ∽ ?ADC 于是: ?BCD ? ?CAD ? ?BAD ,则: BG ? AB ,
BD BG AB 同样得到③式 ? ? DC AC AC
A

⑵在 ?ABD 中,由余弦定理得:
AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2AD ? BD ? cos ?ADB

B

D

C

G

即:
AB 2 ? DC ? AD2 ? DC ? BD2 ? DC ? 2AD ? BD ? DC ? cos ?ADB



在 ?ACD 中,由余弦定理得: AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos ?ADC 即: AC 2 ? BD ? AD2 ? BD ? DC 2 ? BD ? 2AD ? BD ? DC ? cos ?ADC 由④+⑤及 cos ?ADB ? cos ?ADC ? 0 得:
AB 2 ? DC ? AC 2 ? BD ? AD2 ? DC ? BD2 ? DC ? AD2 ? BD ? DC 2 ? BD ? AD2 ? BC ? BD ? DC ? BC
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该式称为斯特瓦尔特定理. 故: AD 2 ? AB 2 ? 由③式得: 及:
DC BD ? AC 2 ? ? BD ? DC BC BC



BD AB BD AB ,即: ? ? DC ? BD AC ? AB BC AC ? AB

BD ? DC AB ? AC DC AC ,即: ? ? DC AC BC AB ? AC

代入⑥式后化简得:
AD2 ? AB ? AC ? BD ? DC



⑦式是角平分线定理的一个推论, 或者说是角平分线定理另一种形式.叫做 斯库顿定理. 于是:
AD2 ? AB ? AC ? BD ? DC ? AB ? AC ?

AB ? BC AC ? BC ? AB ? AC AB ? AC

? ? BC ? 2 ? ? a2 ? ? bc 1 ? ? AB ? AC ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? (b ? c ) ? ? ? AB ? AC ? ? ? ?

故: ta ? bc ?1 ? ? (b ? c )2
? ?

?

a2

?

这就是角平分线长的公式. 本题解法属中学内容. 3、 如图已知 ?ABC 中,BC ? a ,CA ? b , AB ? c , AD 是 BC 的 高, AD ? ha ,求 ha ? ha (a , b, c ) 的解析式. 解析: ⑴已知三边的面积由海伦公式得出. 首先推导海伦 公式. 由余弦定理得: 2ab cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 平方后得: 4a 2 b 2 cos 2 C ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )2 ,即: 4a 2 b2 (1 ? sin2 C ) ? (a 2 ? b2 ? c 2 )2 则: 4a 2 b2 sin2 C ? 4a 2 b2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 )2
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A

B

D

C

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? [ 2ab ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )][ 2ab ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )] ? [c 2 ? (a ? b)2 ][(a ? b)2 ? c 2 ]

? [c ? a ? b][c ? a ? b][a ? b ? c][a ? b ? c]

于是: a 2 b 2 sin 2 C ? [
?[

1 4

c?a?b c?a?b a?b?c a?b?c ][ ][ ][ ] 2 2 2 2

c?a?b c?b?a a?b?c a?b?c ? b][ ? a ][ ][ ? c] 2 2 2 2

? ( p ? b)( p ? a ) p( p ? c )

上式中, p ?

a?b?c ,为三角形的半周长. 2 1 2

上式开平方并代入 S?ABC ? ab sin C 得:
S?ABC ? 1 ab sin C ? 2 p( p ? a )( p ? b)( p ? c )



这就是计算三角形面积的海伦公式. ⑵由三角形面积 S?ABC ? a ? ha 得: ha ? 将①式代入得: ha ?
2S?ABC 2 ? a a

1 2

2S?ABC a

p( p ? a )( p ? b)( p ? c )

本题由海伦公式得到答案,海伦公式由余弦定理推出. 4、如图已知 ?ABC 中,BC ? a ,CA ? b , AB ? c , D 是 BC 边 上的点, AD ? y , BD ? x ,求 y ? y( x ) 的解析式. 解析:对 ?ABD 应用余弦定理得:
AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2AD ? BD ? cos ?ADB
B C A

D

两边同乘以 DC 得:
AB 2 ? DC ? AD2 ? DC ? BD2 ? DC ? 2AD ? BD ? DC ? cos ?ADB





9



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对 ?ACD 应用余弦定理得: AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos ?ADC 两边同乘以 BD 得:
AC 2 ? BD ? AD2 ? BD ? DC 2 ? BD ? 2AD ? DC ? BD ? cos ?ADC



由于 ?ADB ? ?ADC ? 180 o ,所以 cos ?ADB ? cos ?ADC ? 0 由①+②得:
AB 2 ? DC ? AC 2 ? BD ? AD2 ? DC ? BD 2 ? DC ? 2AD ? BD ? DC ? cos ?ADB ? AD2 ? BD ? DC 2 ? BD ? 2AD ? DC ? BD ? cos ?ADC
? AD 2 ( DC ? BD) ? BD 2 ? DC ? DC 2 ? BD ? AD 2 ( DC ? BD) ? BD ? DC ( BD ? DC )

? AD2 ? BC ? BD ? DC ? BC

该式称为斯特瓦尔特定理. 所以:
AD 2 ? AB 2 ? DC BD ? AC 2 ? ? BD ? DC BC BC

? AB 2 ?

BC ? BD BD ? AC 2 ? ? BD ? ( BC ? BD ) BC BC
2

2 BD 2 BD 2 BD 2 BD ? AB ? AB ? ? AC ? ? BC ? ? BC ? BC BC BC BC 2 2

? AB 2 ? ( AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ) ?

BD BD 2 ? BC 2 ? BC BC 2 x2 a2

故: y 2 ? c 2 ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? ? a 2 ?
y ? c 2 ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? x x2 ? a2 ? 2 a a

x a

当 x ? 0 时, y ? c ,就是 AB 边长;



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当 x ? a 时, y ?

1 2

1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 ,就是中线长; 2

当 x ? a 时, y ? b ,就是 AC 边长. 本题是上面 3 题的一个普遍解. 5、 如图已知, 在直角坐标系 xOy 中,A, B, C , D 点的坐标分别为:A(?a, 0 ) ,B(0, ?b) ,
C (c, 0 ) , D(0 , d ) .

求证:(a ? c )(b ? d ) ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (a 2 ? d 2 )(b 2 ? c 2 ) 证明:⑴首先对 A, B, C , D 四点共圆的情况 过 A 点作直线 AE 交纵轴于 E (如图 5-1),使得
?BAE ? ?CAD .
A

D

O B

C

此时因 ?ABE ? ?ACD (同弧上的圆周角) 所以 ?ABE ∽ ?ACD 则:
BE AB ? CD AC

D A

(对应边成比例) ①

O

E B

C
图 5-1

即: BE ? AC ? AB ? CD 且: 即:

AD AC (对应边成比例) ? AE AB AD AE ,而: ?BAE ? ?CAD ? AC AB

故: ?AED ∽ ?ABC (两边夹一角) 相似三角形判定五法则: “相似图形要判定,边成比例角相等” “直线平行于一边,构成相似三角形” “两角对应各相等,三组对边比相同” “两组对边比不足,还要夹角也相等”
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上面最后一行就是“两边夹一角” 那么,
BC AC ,即: ED ? AC ? BC ? AD ? ED AD



由①+②得:
AC ? ( BE ? ED) ? AB ? CD ? BC ? AD



对于 A, B, C , D 四点共圆,有 BE ? ED ? BD 则③式为: AC ? BD ? AB ? CD ? BC ? AD 这就是托勒密定理的一个特例. ⑵对于一般情况,有 BE ? ED ? BD 则: AC ? BD ? AC ? ( BE ? ED) ? AB ? CD ? BC ? AD ④

AB ? a 2 ? b 2 , CD ? c 2 ? d 2 , BC ? b 2 ? c 2 , 对于本题,AC ? a ? c , BD ? b ? d , AD ? a 2 ? d 2 ,代入④式,本题得证.

本题就是广义托勒密定理的一个特例. 6、如图已知 ?ABC 中,BC ? a ,CA ? b , AB ? c ,
CD 1 ? ,求 BF ? ? DB 2

AE ? 3, EC

C E D F A B

解析:过 B 点作 BG / / AC 交 EF 于 G ,如图 6-1. 则: ?EDC ∽ ?GDB 于是:
BD BG ? DC CE



C E D G F A B
图 6-1

同样,因为 BG / / AC ,则: ?BFG ∽ ?AFE 于是:
AF AE ? BF BG



①②两式相乘得:
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BD AF BG AE AE ? ? ? ? DC BF CE BG CE

即:

BD CE AF ? ? ?1 DC AE BF



直线与三角形的三边相交,所分割的三边比例的乘积是 1. ③式就是梅捏劳斯定理. 由③式得: 故:
BF BD CE BF BD ? CE ,即: ? ? ? AF DC AE AB ? BF DC ? AE

BF BD ? CE 1 ? ? AB DC ? AE ? BD ? CE DC AE ? ?1 BD CE AB c ? ? 2c DC AE 1 ? ?1 ?3?1 BD CE 2

即: BF ?

7、如图已知 ?ABC 的三个边长为 BC ? a , CA ? b ,
AB ? c ,P 是 ?ABC 的任意内点,连接 AP 延线交 BC 于 D ,连接 BP 延线交 CA 于 E ,连接 CP 延线
F P B D C A E

交 AB 于 F . 求证:⑴
AF BD CE AP BP CP ? ? ? 1 ;⑵ ? ? ?2 FB DC EA AD BE CF

证明:⑴将边长比换成面积比
AF S?CAF S?PAF S?CAF ? S?PAF S?CAP ? ? ? ? FB S?CFB S?PFB S?CFB ? S ?PFB S ?CPB BD S?ABD S?PBD S?ABD ? S?PBD S?ABP ? ? ? ? DC S?ADC S?PDC S?ADC ? S ?PDC S ?APC CE S?BCE S?PCE S?BCE ? S?PCE S?BPC ? ? ? ? EA S?BEA S?PEA S?BEA ? S?PEA S?BPA

① ② ③

将①②③三式相乘得:
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AF BD CE S?CAP S?ABP S?BPC ? ? ? ? ? ?1 FB DC EA S?CPB S ?APC S ?BPA

该式就是赛瓦定理. ⑵同样将边长比换成面积比
AP S?ABP S?ACP S?ABP ? S?ACP S?ABP ? S?ACP ? ? ? ? AD S?ABD S?ACD S?ABD ? S?ACD S?ABC BP S?BCP S?ABP S?BCP ? S?ABP S?BCP ? S?ABP ? ? ? ? BD S?BCE S?ABE S?BCE ? S?ABE S?ABC CP S?BCP S?ACP S?BCP ? S?ACP S?BCP ? S?ACP ? ? ? ? CF S?BCF S?ACF S?BCF ? S?ACF S?ABC

上面三式相加得:
AP BP CP ? ? AD BE CF
? S?ABP ? S?ACP S?BCP ? S?ABP S?BCP ? S?ACP ? ? S?ABC S?ABC S?ABC S?ABP ? S?ACP ? S?BCP S?ABP ? S?BCP ? S?ACP ? S?ABC S?ABC
S?ABC S?ABC ? ?2 S?ABC S?ABC

?

?

证毕. 采用面积的方法是几何中最常用的方法之一. 8、如图已知锐角 ?ABC 的三个边长为 BC ? a , CA ? b ,
AB ? c , D, E , F 分别是 BC , CA, AB 边上的点,求:

A F B D E

S ? DE ? EF ? FD 的最小值.

解析:⑴首先以 AB, AC 为对称轴做对称图形如下: B’,H 分别是 B,D 关于 AC 的对称点; C’,G 分别是 C,D 关于 AB 的对称点. 则: GF ? FD , EH ? EC ①
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C

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?BFD ? ?GFB ? ?AFE ? ?3 ?DEC ? ?CEH ? ?FEA ? ?2

A C’ F G B D C E

B’ H

同理: ?BDF ? ?EDC ? ?1 当 G , F , E , H 四点共线时, S 值最小. ⑵在 ?AFE 中,三角形的内角和:

A C’ F G B
?2 ? ? 3 ? A ? 180 o

B’
?2

?1

?3

E
?2
?3

H C

?3

?2

?1

?1

D
③ ④



在 ?BDF 中: ?1 ? ?3 ? B ? 180 o 在 ?CED 中: ?1 ? ?2 ? C ? 180 o

以及 ?DEF 的内角和 ??DEF ? 180o ; 于是: ?BDC ? 2?1 ? ?FDE ? 180o ,
?CEA ? 2?2 ? ?DEF ? 180 o , ?AFB ? 2?3 ? ?EFD ? 180 o

将上面三式相加得: 2?1 ? 2?2 ? 2?3 ? ??DEF ? 3 ? 180 o 故: ?1 ? ?2 ? ?3 ? 180 o ⑤

由②⑤得: ?1 ? A ;由③⑤得: ?2 ? B ;由④⑤得: ?3 ? C
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所以: ?AFE ∽ ?BDF ∽ ?CED ∽ ?ABC ⑶设 BD ? x , CE ? y , AF ? z . 则由相似三角形对应边成比例得: 由 ?BDF ∽ ?ABC 得: 即:
BF BD ? BC AB

( ?1 ? A 对应边之比= ?3 ? C 对应边之比)

c?z x ? ,即: ax ? cz ? c 2 a c a? x y ? ,即: by ? ax ? a 2 b a b? y z ? ,即: cz ? by ? b 2 c b

同理得: 同理得:

将上面三式代入余弦定理: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得:
by ? ax ? cz ? by ? ax ? cz ? 2bc cos A ,即: z ? b cos A

⑥ ⑦ ⑧

将上面三式代入余弦定理: b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得: x ? c cos B 将上面三式代入余弦定理: c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C 得: y ? a cos C 由⑥⑦⑧三式结合图形知: D, E , F 是 ?ABC 三条高线的垂足. ⑷现在来求 S ? DE ? EF ? FD 的最小值 前面已经求出 G , F , E , H 四点共线时的各个角度.

现在,连接 AD 、 AG 、 AH ,由对称性知: AG ? AD , AH ? AD , 故: AG ? AH ? h (设 AD ? h ) 且因为 AD ? BC ,所以 AG ? BC ' , AH ? B ' C 因此 ?AGB ≌ ?AHB ' ,则 ?GAH ? 2A 则在 ?AGH 中,由余弦定理得:
GH 2 ? AH 2 ? AG 2 ? 2 AH ? AG ? cos( 2 A) ? 2h2 ? 2h2 cos( 2 A)

即: GH 2 ? 2h2 (1 ? cos 2 A) ? 2h2 ? 2 sin2 A ? ( 2h sin A)2 故: GH ? 2h sin A ,即 S ? DE ? EF ? FD 的最小值是 2h sin A
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由三角形的面积公式:
S?ABC ? 2S?ABC 2S 1 1 , h ? ?ABC bc sin A 和 S?ABC ? ah 得: sin A ? 2 2 bc a a?b?c ) 2

以及 S?ABC ? p( p ? a )( p ? b)( p ? c ) (海伦公式 p ? 代入可得 S ? DE ? EF ? FD 的最小值 GH :
2 2S?ABC 2S?ABC 8S? ABC GH ? 2h sin A ? 2 ? ? ? a bc abc

本题思路是沿对称线展开使 ?DEF 的三边处于同一条直线上,达到周长最 短. 9、如图已知锐角 ?ABC 的三个边长为 BC ? a , CA ? b ,
AB ? c ,P 是 ?ABC 的内点,求 P 点到 ?ABC 三个顶点
A

的距离之和 L ? PA ? PB ? PC 的最小值.
P

解析:⑴将 ?ABP 绕 A 点顺时针旋转 60 得到的图象如图 9-1.

o

B

C

则: B 转到 D , P 转到 E , AP 转到 AE , BP 转 到 ED .则: PB ? DE 那么, ?APE 是正三角形, ?ABD 是正三角形. 连结 DC ,则 PA ? EP ? AE , AB ? AD ? BD 于是: L ? PA ? PB ? PC ? EP ? DE ? PC ? DC ①

D E

A

P B
图 9-1

C

当 E , P 两点都在直线 DC 上时, L ? DC 达到最小值. 此时的 P 点称为费马点. ⑵当 D, E , P , C 四点共线时:
?APC ? 180 o ? ?APE ? 180 o ? 60 o ? 120 o
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?APB ? ?AED ? 180 o ? ?AEP ? 180 o ? 60 o ? 120 o ?BPC ? 360 o ? ?APC ? ?APB ? 120 o

即,当 PA, PB, PC 互成 120 o 时,D, E , P , C 四点共线,此时 L ? PA ? PB ? PC 达到 最小值. 费马点 P 与三个顶点的连线平分 P 点的角度. ⑶在 ?ABC 中,由余弦定理得:
BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A

D E

A

即: c 2 ? b2 ? a 2 ? 2bc cos A
cos A ?

② ③ ④

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2 AB ? AC 2bc

P B
图 9-1

C

由 ?ABC 的面积公式得: sin A ?

2S?ABC bc

其中 S?ABC 是 ?ABC 的面积,由海伦公式可求. 在 ?ADC 中,由余弦定理得:
DC 2 ? AD2 ? AC 2 ? 2 AD ? AC ? cos ?DAC
? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos(?DAB ? ?BAC ) ? c 2 ? b 2 ? 2bc cos(60 o ? A)

将②式代入上式得:
DC 2 ? a 2 ? 2bc cos A ? 2bc cos(60 o ? A) ? a 2 ? 2bc[cos A ? cos(60 o ? A)] ? a 2 ? 2bc[2 sin 30 o sin( 30 o ? A)] ? a 2 ? 2bc(sin 30 o cos A ? cos 30 o sin A) ? a 2 ? bc cos A ? 3bc sin A

故: DC ? a 2 ? bc cos A ? 3bc sin A



将③和④两式代入⑤式,得到结果.
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本题采用旋转方法使所求的线段处于一条直线上,即四点共线法求最小值. 10、如图已知, G 为 ?ABC 的重心, GA ? 3 , GB ? 4 ,
GC ? 5 ,求 ?ABC 的面积.
A G C B

解析:延长 CG 到 CD ? 2CG ,连结 AD 、BD ,则 G 为 CD 中点.

因为 GA ? 3 , 满足勾股定理, 所以 ?AGB 为直角三角形, GB ? 4 , GC ? 5 , AGBD 为矩形. 故: S?ACG ? S?AGD ? S AGBD
S?CGB ? S?BDG ? 1 ? S AGBD 2 1 S 2 AGBD 1 2

A G C

D B

S?AGB

图 10-1

这三者之和就是 ?ABC 的面积. 故: S?ABC ? S?ACG ? S?CGB ? S?AGB ? S AGBD ? ? 3 ? 4 ? 18 本题利用“勾三股四”构成直角三角形,以及中线平分三角形面积来计算出 答案. 另:根据重心的性质,重心与三角形顶点的连线平分三角形的面积 .由此可 知: S?ACG =S?CGB =S?AGB = S?ABC ,进而得到答案. 11、 如图已知,P 是等边 ?ABC 的一个内点, 满足 PA ? 3 ,
PB ? 4 , PC ? 5 ,求 ?ABC 的周长.
P B C
1 3

3 2

3 2

A

解析:⑴设 P 关于 AB, BC , CA 的对称点为 E , F , G ,

如图 11-1,连结 EF , FG, GE ,连结 AE , EB, BF , FC , CG, GA, 由于对称性可知:
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EA ? PA ? GA , EB ? PB ? FB , FC ? PC ? GC

同样由于对称性:
?EAG ? 2?A , ?FBE ? 2?B , ?GCF ? 2?C ,

?AEB ? ?APB , ?BFC ? ?BPC , ?CGA ? ?CPA

⑵在 ?AEG 中,由余弦定理得:
EG 2 ? EA2 ? GA2 ? 2EA ? GA ? cos ?EAG
? 2PA2 ? 2PA2 cos( 2 A) ? 2PA2 [1 ? cos( 2 A)]

A G E P B F C
图 11-1

? 2PA2 ? 2 sin 2 A

故: EG ? 2PA sin A

① ② ③

同样,在 ?BFE 中,由余弦定理得: FE ? 2PB sin B 同样,在 ?CGF 中,由余弦定理得: GF ? 2PC sin C ⑶由于 ?ABC 是等边三角形,所以有: A ? B ? C ? 60 o 于是由①②③式得:
EG : FE : GF ? PA : PB : PC ? 3 : 4 : 5



所以 ?EFG 是直角三角形.即: ?GEF ? 90 o ⑷在 ?AEG 中,
?AEG ? 1 1 (180 o ? ?EAG ) ? (180 o ? 2?A) ? 90 o ? ?A ? 90 o ? 60 o ? 30 o 2 2

在 ?BFE 中,
?BEF ? 1 1 (180 o ? ?FBE ) ? (180 o ? 2?B ) ? 90 o ? ?B ? 90 o ? 60 o ? 30 o 2 2

所以: ?APB ? ?AEB ? ?AEG ? ?GEF ? ?BEF ? 30 o ? 90 o ? 30 o ? 150o 故: ?APB ? 150 o
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⑸在 ?APB 中,由余弦定理得:
AB 2 ? EA2 ? EB 2 ? 2EA ? EB ? cos ?AEB ? PA2 ? PB 2 ? 2PA ? PB ? cos ?APB ? 32 ? 4 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? cos 150 o
? 25 ? 24 ? ( ?
? 25 ? 12 3

3 ) 2

故: AB ? 25 ? 12 3 所以, ?ABC 的周长为: AB ? BC ? CA ? 3 AB ? 3 25 ? 12 3 本题找 P 点对三边的对称点,由此构成的三角形. 12、如图已知正方形 ABCD 内有一点 P ,若 PA ? a ,
PB ? 2a , PC ? 3a ,求正方形 ABCD 的周长.
D C

解析: “正三角形正方形,几何变换有旋转” 对于具有等边共点性质得图形,如正三角形正
A

P B

方形,作辅助线的方法是“几何变换”. 几何变换包括: “平移” 、 “对称” 、 “旋转” 、 “相似” 、 “位似”. 将 ?APB 绕 B 点顺时针旋转 90 o 后,得到图 形图 12-1. 其中 A 点转到 C 点, P 点转到 T 点. 故: ?APB ≌ ?CTB 则: TC ? PA ? a , TB ? PB ? 2a , ?PBT ? 90 o

D

C

T P

A 图 12-1

B

于是, ?PBT 是一个等腰直角三角形, PT ? 2PB ? 2 2a , ?PTB ? 45 o .
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在 ?PTC 中, PC ? 3a , TC ? a , PT ? 2 2a ,则 PC , TC , PT 满足勾股定理,所 以 ?PTC 是直角三角形, ?PTC ? 90 o ,于是 ?BTC ? 90 o ? 45 o ? 135 o . 在 ?BTC 中,由余弦定理得:
BC 2 ? TC 2 ? TB 2 ? 2TC ? TB ? cos ?BTC ? PA2 ? PB 2 ? 2PA ? PB ? cos 135 o
? a 2 ? 4a 2 ? 2 ? a ? 2a ? ( ? 2 ) 2

? 5a 2 ? 2 2a 2

所以,正方形 ABCD 的边长为: BC ? 5 ? 2 2 a
AB ? BC ? CD ? DA ? 4BC ? 4 5 ? 2 2 a

本题采用了几何变换法,即旋转,利用勾股定理和余弦定理得到答案. 13、 如图已知正方形 ABCD 内有一点 P , 若 P 到 A, B, C 三点的距离之和 L 有最小值,当最小值为 2 ? 6 时,求此正方形 ABCD 的周长. 解析:连接 AC ,则 P 点就是 ?ABC 内的费马点. 依据上面第 9 题的结论,很容易得到答案. 设正方形 ABCD 的边长为 x ,则 AC ? 2 x , ?ABC ? 90 o 利用第 9 题的结论,
L ? PA ? PB ? PC
? AC 2 ? AB ? BC ? cos ?ABC ? 3 AB ? BC ? sin ?ABC

D

C

P A B

? 2 x2 ? 3 x2 ? 2 ? 3 x

?

2 2 4?2 3x ? ( 3 ? 1) x 2 2

?

x ( 6 ? 2) 2
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当最小值为 2 ? 6 时,即: ( 6 ? 2 ) ? 6 ? 2 故: x ? 2 ,因此,正方形 ABCD 的周长为 8 本题直接应用第 9 题的结论,不再赘述. 14、 设等边 ?ABC 的外接圆圆心为 O , 圆半径为 R ,
P 是圆外一点,OP ? D ? R ,求由线段 PA ,PB ,
PC 所构成的三角形的面积 S ? ?

x 2

A P O B C

解析:⑴由 PA , PB , PC 所构成的三角形 将 ?APC 绕 A 点顺时针旋转 60 o ,则 C 转到 B ,
P 转到 E ,结果如图 14-1.

A

于是 ?AEP 为等边三角形, PE ? PA ,
BE ? PC , PC ?BEP 就是由线段 PA , PB ,
O B C P

所构成的三角形. ⑵ 设 ?POC ? ? , 则 ?POA ? 120 o ? ? ,
?POB ? 120 o ? ? ,

E

图 14-1

OP ? D , OA ? OB ? OC ? R

由余弦定理得:
PA2 ? OA2 ? OP 2 ? 2OA ? OP ? cos ?POA ? R2 ? D 2 ? 2RD cos(120 o ? ? ) PB 2 ? OB 2 ? OP 2 ? 2OB ? OP ? cos ?POB ? R2 ? D 2 ? 2RD cos(120 o ? ? )

① ② ③

PC 2 ? OC 2 ? OP 2 ? 2OC ? OP ? cos ?POC ? R2 ? D 2 ? 2RD cos ?

⑶在 ?BEP 中,由余弦定理得:
2PB ? PE ? cos ?BPE ? PB 2 ? PE 2 ? BE 2 ,

即: 2PB ? PA ? cos ?BPE ? PB 2 ? PA2 ? PC 2
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即: ( ? PB ? PA ? cos ?BPE )2 ?
1 2

1 2

1 ( PB 2 ? PA2 ? PC 2 )2 2 4 1 2



由于 ( ? PB ? PA)2 ? cos 2 ?BPE ? ( ? PB ? PA)2 (1 ? sin 2 ?BPE )
1 1 ? ( ? PB ? PA)2 ? ( ? PB ? PA ? sin ?BPE )2 2 2 1 ? ( ? PB ? PA)2 ? ( S?BEP )2 2

代入④式得: ( ? PB ? PA)2 ? ( S?BEP )2 ? 即: ( S?BEP )2 ? ( ? PB ? PA)2 ? 则: ( S?BEP )2 ?
?
1 2

1 2

1 ( PB 2 ? PA2 ? PC 2 )2 2 4

1 ( PB 2 ? PA2 ? PC 2 )2 42

1 ? 4PB 2 ? PA2 ? ( PB 2 ? PA2 ? PC 2 )2 ? 2 ? ? 4

1 ? 4PB 2 ? PA2 ? ( PB 2 ? PA2 )2 ? PC 4 ? 2PC 2 ? ( PB 2 ? PA2 )? 2 ? ? 4 1 ? 2PC 2 ? ( PB 2 ? PA2 ) ? PC 4 ? ( PB 2 ? PA2 )2 ? ? 42 ? 1 ? PC 2 ? ( 2PB 2 ? 2PA2 ? PC 2 ) ? ( PB 2 ? PA2 )2 ? 2 ? ? 4

?

?



由①②③得:
o o 2PB 2 ? 2PA2 ? PC 2 ? 3( R 2 ? D 2 ) ? 2RD ? ? 2 cos(120 ? ? ) ? 2 cos(120 ? ? ) ? cos ? ? ? o ? 3( R 2 ? D 2 ) ? 2RD ? ? 4 cos 120 cos ? ? cos ? ? ?

? 3( R2 ? D 2 ) ? 2RD( ?2 cos ? ? cos ? ) ? 3( R 2 ? D 2 ) ? 6 RD cos ? PC 2 ? ( 2PB 2 ? 2PA2 ? PC 2 ) ? ( R 2 ? D 2 ? 2RD cos ? ) ? [3( R 2 ? D 2 ) ? 6 RD cos ? ] ? 3( R2 ? D 2 ? 2RD cos ? ) ? ( R2 ? D 2 ? 2RD cos ? ) ? 3[( R 2 ? D 2 )2 ? 4R 2 D 2 cos 2 ? )]


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23 个深度的几何专题

同样由①②③得:
( PB 2 ? PA2 )2 ? {[ R2 ? D 2 ? 2RD cos(120 o ? ? )] ? [ R2 ? D2 ? 2RD cos(120 o ? ? )]}2 ? 4R 2 D 2 [cos(120 o ? ? ) ? cos(120 o ? ? )]2 ? 4R 2 D 2 [?2 sin 120 o sin ? ]2

? 12R 2 D 2 sin 2 ?



⑷将⑥⑦代入⑤得:
( S?BEP )2 ? 1 ? PC 2 ? ( 2PB 2 ? 2PA2 ? PC 2 ) ? ( PB 2 ? PA2 )2 ? 2 ? ? 4

?

1 { 3[( R 2 ? D 2 )2 ? 4R 2 D 2 cos 2 ? ] ? 12R 2 D 2 sin 2 ? } 42

?

1 3 [ 3( R 2 ? D 2 )2 ? 12R 2 D 2 ] ? 2 ( D 2 ? R 2 )2 2 4 4
3 2 ( D ? R2 ) . 4

故: S?BEP ?

另:本题也可以采用特值法得到答案.

本题由旋转构成三角形,由余弦定理得到答案. 15、如图已知,半径为 R ? 2 的圆 O 其圆心在 原点, 圆 O 与 x 轴相交于 A, B , 与 y 轴相交于
CD . 过 A 的任意一直线交圆 O 于 E ,交 y 轴

C E F A B

于 F ,求 AE ? AF ? ? 解析:连结 EB ,则因 ?AEB ? 90 o , ?AOF ? 90 o 故: ?AOF ∽ ?AEB

D

由相似三角形对应边成比例,或者由 ?FAO 的余弦值得: 即: AE ? AF ? AB ? AO ? 2 2 ? 2 ? 4 本题涉及到了圆. 关于圆方面的定理记忆口诀是:
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AE AO ? AB AF

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1.垂径定理: 2.圆心角定理: 3.圆周角定理: 4.切线判定定理: 5.切线长定理: 6.弦切角定理: 7.相交弦定理: 8.切割线定理:

垂径定理有简言,直径平分垂直弦; 还有圆心角定理,等角等弧对等弦. 圆周角也有规律,等于圆心角一半; 经过半径之外端,垂直半径是切线. 两条切线长相等,点心连角平分线; 弦切角等圆周角,都是圆心角一半. 圆内一弦交一弦,割得弦长积不变; 同点切线长平方,等于割线乘割线.

16、如图已知 ?ABC 的三个边长为 BC ? a , CA ? b ,
AB ? c ,其三个内角平分线长分别为 AD ? ta ,
BE ? tb , CF ? t c ,求证: ta tb tc ? abc

A F E

解析:根据第 2 题的结果得:
? a2 ? ta ? bc ? 1 ? ? bc 2 ? ? (b ? c ) ? ? b2 ? tb ? ca ?1 ? ? ca 2 ? ? (c ? a ) ? ? a2 ? tc ? ab ? 1 ? ? ab 2 ? ? (a ? b) ?

B

D

C

上面三式相乘得到结果. 本题利用内角平分线公式直接秒杀. 17 、如图所示, P 是 ?ABC 的一个内点 . 延长 AP , BP , CP 分别与对边相交于 设 AP ? a , 而 PD ? PE ? PF ? d .已知 a ? b ? c ? 43 , D, E , F , BP ? b , CP ? c , d ? 3, 求 abc ? ?
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23 个深度的几何专题

解析:本题由于已知数据是 P 点到顶点的距离,和相应 延长到对边点的距离,就是说是 P 点位置的数据,然 后所求的也是这些数据的关系,因此,要紧紧围绕这 些数据来做题.
d 与 a , b, c 的关系可以由三角形的面积比得到:
S?BPC BC ? PD PD d ? ? ? S?ABC BC ? AD AD d ? a S?APB AB ? PF PF d ? ? ? S?ABC AB ? CF CF d ? c
S ?CPA CA ? PE PE d ? ? ? S?ABC CA ? BE BE d ? b

A F E

P

B

D

C

上面三式相加得:
S ? S?APB ? S?CPA d d d ? ? ? ?BPC ?1 d ?a d ?b d ?c S?ABC



由①式得:
d (d ? b)(d ? c ) ? d (d ? c )(d ? a ) ? d (d ? a )(d ? b) ? (d ? a )(d ? b)(d ? c )



左边展开得:
LHS ? d [d 2 ? (b ? c )d ? bc] ? d [d 2 ? (c ? a )d ? ca ] ? d [d 2 ? (a ? b)d ? ab] ? d[ 3d 2 ? 2(a ? b ? c )d ? (ab ? bc ? ca )] ? 3d 3 ? 2(a ? b ? c )d 2 ? (ab ? bc ? ca )d



右边展开得:
RHS ? (d ? a )(d ? b)(d ? c )
? d 3 ? (a ? b ? c )d 2 ? (ab ? bc ? ca )d ? abc



将③④代入②式得:
3d 3 ? 2(a ? b ? c )d 2 ? (ab ? bc ? ca )d ? d 3 ? (a ? b ? c )d 2 ? (ab ? bc ? ca )d ? abc
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23 个深度的几何专题

故: abc ? 2d 3 ? (a ? b ? c )d 2 ? d 2 [2d ? (a ? b ? c )] 将 a ? b ? c ? 43 , d ? 3 代入⑤式得:
abc ? 3 2 ? ( 2 ? 3 ? 43) ? 3 2 ? 49 ? 212 ? 441



本题采用传统的面积比方法,通过推导,得到答案. 18 、已知 ?ABC 的三个边长分别为 BC ? 3 , CA ? 4 ,
AB ? 5 , P 为 ?ABC 的一个内点,设 P 到这三边的
E P A F B C D

距离 PD ? x , PE ? y , PF ? z ,求这三数乘积 xyz 的 最大值.

解析:因为 ?ABC 的三边长满足“勾股定理” ,所以 ?ABC 为直角三角形. 即: ?ACB ? 90 o . 连结 PA, PB, PC ,则 PD ? BC , PE ? CA , PF ? AB .(如图 18-1) 我们计算三角形的面积关系: 由 S?ABC ? S?PAB ? S?PBC ? S?PCA 得:
1 1 1 1 BC ? CA ? AB ? PF ? BC ? PD ? CA ? PE 2 2 2 2

C E P A F
图 18-1

D

B

即: AB ? PF ? BC ? PD ? CA ? PE ? BC ? CA 即: 3x ? 4 y ? 5z ? 12 ①

由于 3x , 4 y, 5z 都是正数,且其和为定值. 根据“一正二定三相等” ,当 3x ? 4 y ? 5z 时,其积 ( 3x )(4 y )(5z ) 达到极大值. 故:当 3 x ? 4 y ? 5z ? 最大值: ( xyz ) M ?
12 ? 4 时,其积 ( 3x )(4 y )(5z ) ? 4 ? 4 ? 4 为最大值. 3

4 ? 4 ? 4 16 ? 3 ? 4 ? 5 15

本题利用“一正二定三相等”的知识点来解题.
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23 个深度的几何专题

19、已知 P 是 ?ABC 的一个内点,在 ?ABC 的周界上求 找一点 Q , 使得折线 APQ 平分 ?ABC 的面积. 如何找 到 Q 点. 解析: 设 D, E , F 分别为 BC , CA, AB 的中点, 连结 AD, DF , A 则 ?ABC 的区域分成 3 部分. ⑴ P 点在 AD 上,如图 19-1. 此时,由于 D 是 BC 中点, 则 S?ABD ? S?ACD ? S?ABC 故: Q ? D ,即 D 点就是要找的 Q 点. ⑵ P 点在 ?AFD 内,如图 19-2. 连结 AP ,延长线交 BC 于 G . 连结 PD, PK ,过 A 作 AK / / PD 交 BC 于 K 则由于 ?APD 与 ?KPD 同底( PD 为底)等高( AK / / PD 间 距为高),故 S?APD ? S?KPD 则: S?ABG ? S?KPG ? S?ABG ? S?PGD ? S?KPD
? S?ABG ? S?PGD ? S?APD ? S?ABD

C Q P B C E P A F
图 19-1

D

B

1 2

C K E P A F
图 19-2

D G B

C K E N A P F
图 19-2

D G B

1 ? S?ABC 2

故: Q ? K ,即 K 点就是要找的 Q 点. 另:本题实际上是要使 S?APN ? S?KND ,用割补法交 换面积,这是思路. ⑶ P 点在 ?BFD 内,如图 19-3. 连结 AP ,交 DF 于 H , AP 延长线交 BC 于 G . 连结 PC ,过 H 点作 HM / / PC ,交 CA 于 M .
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M A

C D G H P B

A

F
图 19-3

23 个深度的几何专题

于是 ?PMH 与 ?CMH 为同底(底为 MH )等高( HM / / PC 间距为高) 则: S?PMH ? S?CMH 所以: S?APM ? S?AHM ? S?PMH ? S?AHM ? S?CMH ? S?AHC 由于 ?AHC 与 ?ABC 同底 ( 底为 CA ) ,因 DF 为 ?ABC 的中位线而高度相差一 半,故: S?APM ? S?AHC ? S?ABC 故: Q ? M ,即 M 点就是要找的 Q 点. 另:这里实际上是交换 S?PMH 与 S?CMH ,还是面积割补法. 最终,当 P 点在 AD 上时, Q ? D ; 当 P 点在 ?AFD 内时, Q 点在 CD 上; 当 P 点在 ?BFD 内时, Q 点在 CE 上. 本题实际上就是计算面积,将图中的面积凑成 ?ABC 的一半. 20、 如图已知 P 是 ?ABC 的一个内点,D, E , F 分别是 P 到 BC , CA, AB 所 引 垂 线 的 垂 足 , 若 P 点 使
BC CA AB 为最小值,求这个最小值. S? ? ? PD PE PF

1 2

C E P A F B D

解析:为了方便解题,设 BC ? a , CA ? b , AB ? c ; 设 PD ? x , PE ? y , PF ? z ;设 ?ABC 的半周长为 p ? 设 ?ABC 的内切圆半径为 r ,面积为 S ? ,则 S? ? pr 则: S? ? S?PAB ? S?PBC ? S?PCA ? ( AB ? PF ? BC ? PD ? CA ? PE ) ? (ax ? by ? cz ) 即: (ax ? by ? cz ) ? 2S? ? 2 pr 则: S ?
BC CA AB a b c ? ? ? ? ? PD PE PF x y z

a?b?c ; 2

1 2

1 2

① ②



30



23 个深度的几何专题

由柯西不等式得:
?? a ? 2 ? b ? 2 ? c ? 2 ? ?? ? ? ?( ax )2 ? ( by )2 ? ( cz )2 ? ? (a ? b ? c )2 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y z ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

即: ? ? ? ? ? ax ? by ? cz ? ? (a ? b ? c )2 x y z
? ?

?a

b

c?


2p r

将①②式代入得: S ? ( 2 pr ) ? ( 2 p)2 ,即: S ? 当且仅当
ax a x ? by b y ? cz c z



时,③和④式取等号.

即:当且仅当 x ? y ? z 时, S ?

BC CA AB 取最小值, ? ? PD PE PF 2p . r

即:当且仅当 x ? y ? z ? r 时, Smin ? 故:当 S ?

BC CA AB 2 p 为最小值时, P 点为 ?ABC 的内心. ? ? ? PD PE PF r

本题将柯西不等式的条件应用于几何,并求得结果. 21、设 O , I 分别为 ?ABC 的外心与内心,R , r 分别 是 ?ABC 外接圆与内切圆的半径, 外心与内心 之距记为 OI ? d ,求证: d 2 ? R2 ? 2Rr 解析:⑴连结 AI 延长线交圆 O 于 P ; 连结 PO 延长线交圆 O 于 S ; 连结 BS 、 BI ; 连结 OI 延长线交圆 O 于 M , N . 由 I 点向 AB 作垂线,垂足为 T ,如图 21-1. ⑵由相交弦定理, AI ? PI ? MI ? NI ? ( R ? d )( R ? d ) ? R 2 ? d 2
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A

I O B C



23 个深度的几何专题

(即:由 ?MIP ∽ ?NIA 相似比得.) ⑶由于 I 是内心,即 ? 内角平分线交 点,故:
?BAI ? ?IAC , ?ABI ? ?IBC

S A N T

② O B M

I

在 ?ABI 中,由外角定理得:
?BIP ? ?BAI ? ?ABI
? ?IAC ? ?IBC (由②得)
? ?PAC ? ?IBC

C

? ?PBC ? ?IBC (由圆周角定理)

P

图 21-1

? ?PBI

即: ?PBI 是等腰三角形,故: BP ? PI



⑷在 Rt ?BSP 和 Rt ?TAI 中,由圆周角定理得: ?BSP ? ?TAI 即: ?BSP ∽ ?TAI 所以:
AI TI TI ? ? SP BP PI

故: AI ? PI ? TI ? SP ? r ? 2R ? 2Rr

④ ⑤

⑸由①和④得: R2 ? d 2 ? 2Rr ,即: d 2 ? R2 ? 2Rr ⑤式称为欧拉公式. 另: d 2 ? R2 ? 2Rr 也可以写成: d 2 ? ( R ? r )2 ? r 2 即: d 2 ? r 2 ? ( R ? r )2

这就是欧拉公式的“勾股定理” ,它将三角形的外接圆半径 R 、内切圆半径
r 和两心之距 d ,以“勾股定理”的形式联系了起来.

本题用到了相交弦定理、圆周角定理等关于圆的基本定理.



32



23 个深度的几何专题

22、如图所示,从圆 O 外的一点 A ,引两条 圆 O 的切线 AB 、AC , 其中,A, B 为切点, 连结 BC . 从 A 引圆 O 的任意一条割线交 圆 O 于 P , Q , 交 BC 于 R . 求 证 :
2 1 1 ? ? AR AP AQ

B A P E R O Q

F

C

解析:连结 OP 、 OB 、 OQ ,过 O 作 AQ 的垂 线,垂足为 T . 设: AO ? a ,圆 O 的半径 OP ? OB ? OQ ? R ⑴由切割线定理得:(由 ?ABP ∽ ?ABQ 得)
AB ? AP ? AQ ? AE ? AF ? (a ? R)(a ? R) ? a ? R
2 2 2

B A P E R D T O Q

F

即: AB ? a 2 ? R 2



C

⑵由 Rt ?ABO ∽ Rt ?ADB 得: AB2 ? AD ? AO ? a ? AD 即: AD ?
AB 2 a 2 ? R 2 ? a a



⑶在 Rt ?ADB 中,由勾股定理得:
2 ? a 2 ? R2 ? 2 2 R ? ( a ? R ) ? BD ? AB ? AD ? ? ? (a ? R ) 2 a a ? ?
2

2

2

2

2

2

即: BD ?

R 2 a ? R2 a


AD AR

⑷设 ?OAP ? ? ,则在 ?ADR 中, cos ? ? 则:
1 cos ? a cos ? ? ? 2 AR AD a ? R 2



⑸在 ?AOP 中,由余弦定理得: OP 2 ? AP 2 ? AO 2 ? 2AP ? AO ? cos? 即: R2 ? AP 2 ? a 2 ? 2a ? AP ? cos?
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23 个深度的几何专题

即: a 2 ? R2 ? 2a ? AP ? cos? ? AP 2 ? AP ( 2a cos ? ? AP ) 故:
1 2a cos ? ? AP ? AP a 2 ? R2


1 2a cos ? ? AQ ? AQ a 2 ? R2

同理在 ?AOQ 中,由余弦定理得: ⑹由垂径定理知: PT ? QT



则: AP ? AQ ? 2AT ? 2AO ? cos? ? 2a cos? 于是,由⑤+⑥得:



1 1 2a cos ? ? AP 2a cos ? ? AQ 4a cos ? ? ( AP ? AQ ) ? ? ? ? AP AQ a 2 ? R2 a 2 ? R2 a 2 ? R2

?

4a cos ? ? 2a cos ? 2a cos ? ? 2 a 2 ? R2 a ? R2
2 1 1 ? ? AR AP AQ

⑧ ⑨

由④和⑧得:

上式表明, AR 是 AP 与 AQ 的调和平均值. 证毕. 本题采用解析的方法证明了几何证明题. 23、如图所示,设 O 为 ?ABC 的外心,外接圆半径 为 R . 若 AO, BO, CO 的延长线分别交 BC , CA, AB 于点 D, E , F . 求证:
1 1 1 2 ? ? ? AD BE CF R 1 1 1 2 ? ? ? AD BE CF R R R R R R R ? ? ? 2 ,即: 3 ? ( ? ? ) ? 3? 2 ? 1; AD BE CF AD BE CF R R R OA OB OC ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ;即: (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? )?1 AD BE CF AD BE CF

A F O B D C E

解析:欲证 须证:

即: (1 ?



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23 个深度的几何专题

即:

AD ? OA BE ? OB CF ? OC OD OE OF ? ? ? 1 ;即: ? ? ? 1. AD BE CF AD BE CF

由同底异高的三角形面积之比等于高之比得:
S?OBC S?ABC 1 BC ? OD ? sin ?ODC OD 2 ? ? 1 AD BC ? AD ? sin ?ODC 2
S?OCA OE S OF ? , ?OAB ? S?ABC BE S?ABC CF

同理:

三式相加得:
OD OE OF S?OBC S?OCA S?OAB ? ? ? ? ? ?1 AD BE CF S?ABC S?ABC S?ABC

即:

OD OE OF ? ? ? 1. AD BE CF

证毕.

本题采用分析法及面积法,这是几何中最常用的方法之一.



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