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重庆一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文


重庆一中 2014-2015 学年高二数学上学期期中试题 文
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求.) 1. 直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为( ) A. 30 B. 45 ) B. p, q 均为假命题 D. p, q 中至多有一个为真命题 ) B. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 C. 60 D. 120

2. 如果命题“ p ? q ”为真命题,则( A. p, q 中至少有一个为真命题 C. p, q 均为真命题

3. 全称命题“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 4.已知直线 m, n, l ,若 m / / n, n A.异面直线 C.平行直线 5.(原创题)设 x ? R ,则“ x ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

l ? P ,则 m 与 l 的位置关系是(

)

B.相交直线 D.相交直线或异面直线

1 2 ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的( 2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知圆锥的母线长为 4,侧面展开图的中心角为 A.

15 ? 2

B. 15?

? ,那么它的体积为 ( 2 15 C. D. 4? ? 3



7. 以直线 x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 4 ? 0 的交点为圆心,且过点 (2, 0) 的圆的方程为( A. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1
2 2



B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 2
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

8. 对于直线 m, n 和平面 ? ,下列命题中正确的是(

)
-1-

A.如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n / /? ; B.如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n 与 ? 相交; C. 如果 m / /? , n / /? , m, n 共面,那么 m / / n D. 如果 m ? ? , n / /? , m, n 共面,那么 m / / n ;

9. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别 2 a b


交于 A 、B 两点, O 为坐标原点, 若双曲线的离心率为 2,?AOB 的面积为 3 , 则 p ?( A.

3 2

B.1

C.2

D.3

10. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b, a ? 0) 的右焦点 F2 向其一条渐近线作垂线 l ,垂足为 P ,若 l 与 a 2 b2


另一条渐近线交于 Q 点,且 QF2 ? 2PF2 ,则双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

二、填空题.(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的侧面积是________.

12. 已知球的体积为

32 ? ,则球的大圆面积是_______. 3

2 2 13 . 设 M 是 圆 ( x ? 5) ? ( y ? 3) ? 9 上 的 点 , 则 M 到 直 线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的 最 短 距 离

是 . 14. 一长方体的各顶点均在同一个球面上,且一个顶点上的三条棱长分 别为 1, 6,3 ,则这个球的表面积为_________.

15. (原创题)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F , P 是双曲线右支上 5 4

任意一点,定点 M (6, 2) ,则 3 PM ? 5 PF 的最小值是_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤,并把解答写在答题卷相应的位置上.

-2 -

16.(本题满分 13 分)如图直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , CA ? CB ,, E、F、M 分别是棱 CC1 、

AB 、 BB1 中点.
(1)求证:平面 AEB1 / /平面CFM ; (2)求证: CF ? BA1

C1 A1 E M C A F B B1

17. (本题满分 13 分)已知命题 p :方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q: 2m m ? 1

m2 ? 15m ? 0 ,若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求 m 的取值范围.

18.(本题满分 13 分) 如图直线 l : y ? x ? b 与抛物线 C: x ? 4 y 相切于点 A.
2

(1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

19. (本题满分 12 分) (原创题) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的离心率为

1 ,过椭圆焦点 F 作弦 AB.当直线 AB 斜率 2

为 0 时,弦 AB 长 4. (1)求椭圆的方程; (2)若 AB ?

60 .求直线 AB 的方程. 19
-3-

20. (本题满分 12 分) (原创题)已知四棱锥 G ? ABCD ,四边形 ABCD 是长为 2 a 的正方形,

DA ? 平面ABG,且GA=GB , BH ? 平面CAG,垂足为H , 且H在直线CG上 .
(1)求证: 平面AGD ? 平面BGC ; (2)求三棱锥 D ? ACG 的体积; (3)求三棱锥 D ? ACG 的内切球半径.
H A B D C

G

21.(本题满分 12 分)已知椭圆的两个焦点为 F1((1)求椭圆的方程;

3, 0), F2,( 3, 0) ,离心率 e =

3. 2

(2) 设直线 l : y = x + m , 若 l 与椭圆交于 P , Q 两点, 且 | PQ | 等于椭圆的短轴长, 求m 的 值; (3)以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰三角形 A BC ,这样的三角形是否存 在?若存在,有几个;若不存在,说明理由.

2014 年重庆一中高 2016 级高二上期半期考试 数 学 答 案(文科)2014.11

C1
一、选择题。 1-5 BADDA 6-10CADCA 二、填空题。 11.20 ? 12.4 ? 三、解答题。 16. 解: (1)证明:

A1
13.2 14.16 ? 15.13

B1 E M C
-4-

A

F

B

B1M//CE ? ? ? 四边形CEB1M为平行四边形 ? CM//EB1 B1M=CE ? CM//EB1 ,又FM//AB1 ? ? CM ? FM=M,EB1 ? AB1 =B1 ? ? ? ? 面CMF / / 面AEB1. CM ? 面CMF,MF ? 面CMF ? EB1 ? 面AEB1 ,AB1 ? 面AEB1 ? ?
(2)证明:

三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱 ? BB1 ? 平面ABC ? ? ? BB1 ? CF CF ? 平面ABC ? BB1 ? CF,CF ? AB? AC=BC ? ? CF ? 平面ABB1A1 ? 又 ? ? CF ? AB AB ? BB1 =B ?? ? AF=FB ? BA1 ? 平面ABB1A1 ? ? AB ? 平面ABB1A1 ? ? CF ? BA1
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 改写为 ? ? 1, 17. 解:将方程 2m m ? 1 2m 1 ? m
只有当 1 ? m ? 2m ? 0, 即 0 ? m ? 所以命题 p 等价于 0 ? m ?

1 时,方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆, 3

1 ; 3

m2 ? 15m ? 0

解得 0 ? m ? 15 ,

所以命题 q 等价于 0 ? m ? 15 ; 若 p 真 q 假,则 m不存在 ; 综上: m 的取值范围为 18. 解: (1)由 ? 若 p 假 q 真,则

1 ? m ? 15 3

1 ? m ? 15 3
2 可得 x ? 4 x ? 4b ? 0 (①)

?y ? x ?b ?x ? 4 y
2

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? 0 解的 b=-1
2 (1) 由 (1) 可知 b=-1, 故方程 (①) 即为 x ? 4 x ? 4 ? 0

解得 x=2 代入 x ? 4 y ,得 y=1
2

故点 A(2,1),因为圆 A 与抛物线的准线相切,所以圆的半径等于 A 到抛物线准线 y=-1 的距离 即 r= 1 ? (?1) ? 2 ,所以圆的方程 (x? 2) ? (y?1) ? 4 .
2 2

-5-

19. 解: (1)由题意知 e ?

c 1 ? , 2a ? 4 ,又 a 2 ? b2 ? c2 ,解 a 2

得: a ? 2, b ? 3 ,所以椭圆方程为: (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x-1), 将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理得

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,

则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? ,所以 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

AB ? k ? 1 x1 ? x2 ?
2

12 ? k 2 ? 1? 3 ? 4k
2

? AB ?

60 . 19
C

解得 k ? ?2 ,所以直线 AB 方程为 2x-y-1=0 或 2x+y-1=0. 20.(1)证明:
D

Q 过点B 作平面AGC 的垂线,垂足H在直线CG 上 BH ^ 平面AGC 且BH 烫 平面CGB, Q AG 平面AGC , \ BH ^ AG, 又BC ^ AB,BC ^ 平面AGB,BC ^ AG, AG ^ 面BGC, 又AG 蘜 面AGD, 故平面AGD
(2)

H A B

平面BGC

由( 1)可知AG ^ GB,AG ^ CG, QVABG 为等腰三角形 过点G 作GE ^ AB于点E ,则GE= 1 AB= a, A G = BG = 2 1 1 2 a3 V D - A GC = VG - A DC = 鬃 A D DC ?GE 3 2 3

G

2a

(3)记三棱锥内切球的半径为 r, VG-ADC = 1 (SVDCG + SVAGC + SVDAG + SVADC)g r= 2 a 3 ,

3

3

VDCG中DG= GC= 6a, DC = 2a, SVDCG = VACG中AC= 2 2a, GC = 6a, AG = 2a, VACG为直角三角形,SVAGC = 3a 2.

5a 2

VDAG中DA= 2a, AG= 2a, SVDAG = VADC中SVADC = 2a 2

2a 2

VG-ABC = 1 (SVDCG + SVAGC + SVDAG + SVADC )gr= 2 a 3, 3 3 2 r = a 5+ 3+ 2+ 2
-6-

21. 解: (1) c =

3, a = 2 , x + y 2 = 1 ; 4
2

(2) y = x + m 与椭圆联立: 5x 2 + 8mx + 4m 2 - 4 = 0 , D > 0 ? m 2
2 x1 + x2 = - 8m , x1x2 = 4m - 4 5 5

5


轾 64m 2 - 16(m 2 - 1) ? 8m 2 4 = 2犏 犏 5 ? 25 ?

15 ? m

±

30 ; 4

( 3 ) 设 lAB : y = kx + 1 与 x 2 + 4y 2 = 4 联 立 : (1 + 4k 2)x 2 + 8kx = 0 , x1 = 0 ,

x2 =

8k 4k 2 + 1

| A B |=

1 + k2

8|k | ,不妨设 k > 0 4k 2 + 1
2 1 + k?

同理,设 lAC : y = k ? x

1 ,可得 | BC |=

8 | k ?| ,把 k ? 2 4k ? + 1

- 1 带入可得: k

2 | BC |= 8 21 + k = | A B | ? k(k 2 k + 4

4) = 4k 2 + 1 即 k 3 - 4k 2 + 4k - 1 = 0

(k 3 - 1) - 4k(k - 1) = 0 ? (k

1)(k 2 - 3k + 1) = 0 , k = 1 或 k = 3 ± 5 2

— — — — — — —线— — — — — — — — — — — —

2014 年重庆一中高 2016 级高二上期半期考试 数 学 答 卷(文科)2014.11 二.填空题.(每题 5 分,共 25 分) 题号 答案 三.解答题.(共 75 分) 11 12 13 14 15

考号

-7-

16.(13 分)

17.(13 分)

-8-

18.(13 分)

19.(12 分)

-9-

20.(12 分)
D C

H A B

G

- 10 -

班次

姓名

顺序号

考号

— — — — — — — — — — — — 密— — — — — — — — — 封— — — — — — — — — — — —线— — — — — — — — — — —

21.(12 分)

- 11 -


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