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直线、平面垂直的判定及其性质含练习答案


直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 语言描述 如果直线 l 和平面α 内的任意一条直线都 垂直,我们就说直线 l 与平面 直,记作 l⊥α 图形 互相垂 判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则这条直线与该平面垂直.

条件 结论 直

b 为平面α 内的任一直线,而 l 对这一直

线总有 l⊥α

l ⊥ m , ⊥ n , ∩ n =B, ? ? , ? ? l m m n l ⊥?

l ⊥?
线面垂直)

要点诠释:定义中“平面

内的任意一条直线”就是指“平面

内的所有直线” ,这与“无数条直线”不同(线线垂

直线和平面垂直的性质 性质 语言描述 图形 一条直线垂直于一个平面,那么这条直线 垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.

条件 结论

1. 如图,直角 △ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC ,点 D 为斜边 AC 的中点. (1) 求证: SD ? 平面 ABC ; (2) 若 AB ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

S

A

C

D

B

知识点二、二面角 Ⅰ.二面角: :从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle). 这条直线叫做二面角的棱,

-1-

这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角 ?-AB-? . (简记 P-AB-Q ) 二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角:在二面角 ?-l-? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足, 在半平面 ? , ? 内分别作垂直于棱 l 的 射线 OA 和 OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平面角. 作用:衡量二面角的大小;范围: 00 ? ? ? 1800 .

例:已知四边形 PABC 为空间四边形,∠PCA=90°,△ABC 是边长为 2 3 的正三角形,PC=2,D、E 分别是 PA、AC 的 中点,BD= 10 .试判断直线 AC 与平面 BDE 的位置关系,并且求出二面角 P-AC-B 的大小.

知识点三、平面和平面垂直的定义和判定 定义 文字描述 图形 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面垂直. 判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个 平面垂直

结果

α ∩β =l α -l-β =90

o

α ⊥β

(垂直问题中要注意题目中的文字表述,特别是“任何” 随意” “ “无数”等字眼)

例:如图,△ABC 为正三角形,CE⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE=AC=2BD,M 是 AE 的中点 求证:①DE=DA;②平面 BDM⊥平面 ECA;③平面 DEA⊥平面 ECA.

-2-

知识点四:直线与方程 一.直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的 倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤a<180° 二.直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。斜率反映直 线与轴的倾斜程度。 当 0<=a<90°时,k>=0 ;当 90°<a<180°时,k< 0 ;当 a=90°时,k 不存在。 ②过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1) 注意下面四点: (1)当 x1=x2 时,即直线平行与 y 轴或与 y 轴重合,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°;(2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)同一条直线上任何两点的 斜率都相等。 三.直线方程 ① 点斜式: y - y1 = k(x - x1) 直线斜率 k,且过点 (x1,y1) 注意:1.当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 2.当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 L 上每一点的横坐标都等于 x1, 所以它的方程是 x=x1。 ② 斜截式:y = kx+b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③ 两点式: 直线过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) ,(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 适用范围:不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线。 ④ 截矩式: x/a+y/b=1,其中直线 L 与 x 轴交于点(a,0) ,与 y 轴交于点(0,b) ,即 L 与 x 轴、 轴的截距分别为 a,b 。 y 适用范围:不包括坐标轴,平行于坐标轴和过原点的直线。 ⑤ 一般式:Ax + By + C = 0 (A,B 不全为 0) 两直线平行与垂直 当 L1: y=k1x+b1,L2: y=k2x+b2 平行时, k1=k2 且 b1≠b2 ; 重合时,k1=k2,b1=b2; 相交时,k1 ≠k2; 垂直时,k1k2=-1。

当 L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C=0 平时时,A1B2=A2B1 且 A1C2≠A2C1; 垂直时,A1B2=A2B1 且 A1C2=A2C1;相交时,A1B2≠A2B1 垂直时,A1A2+B1B2=0

-3-

例:1.若直线过点(1,2)(4,2+ 3 ) , ,则此直线的倾斜角是(
(A)30° (B)45° (C)60° (D) 90°



2. A. C. 3. A. 4. A. C.

过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为(



2x ? y ? 1 ? 0 x ? 2y ? 5 ? 0

B. D.

2x ? y ? 5 ? 0 x ? 2y ? 7 ? 0


已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为(

0

B.

?8

C.

2

D.

10


已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限 第二、三、四象限

5.过点P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是

.

6.求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程.

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,分别取边 BC、CD 的中点 E、F,连结 AE、EF、AF,以 AE、EF、FA 为折痕, 折叠使点 B、C、D 重合于一点 P. (1)求证:AP⊥EF; (2)求证:平面 APE⊥平面 APF.

3.

如图,四棱锥 O—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形, 试画出二面角 O-AB-C 的平面角,并求它的度数.

4.

如图,已知 AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任一点,
-4-

求证: (1)BC⊥PC; (2)平面 PAC⊥平面 PBC.

课后练习: 1. (2012· 杭州模拟)设 a, , 是三条不同的直线, , 是两个不同的平面, a⊥b 的一个充分条件是( b c α β 则 A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α ,b∥α B.α ⊥β ,a? α ,b? β D.a⊥α ,b⊥α )

2.设α ,β ,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题 ①若α ⊥β ,β ⊥γ ,则α ⊥γ ;②若 l 上两点到α 的距离相等,则 l∥α ;③若 l⊥α ,l∥β ,则α ⊥β ;④ 若α ∥β ,l?β ,且 l∥α ,则 l∥β . 其中正确的命题是( A.①② B.②③ ) C.②④ D.③④

3.给出命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设 l,m 是不同的直线,α 是一个平面,若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α ; (3)已知α ,β 表示两个不同平面,m 为平面α 内的一条直线,则“α ⊥β ”是“m⊥β ”的充要条件; (4)a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作一个平面与 a,b 之一垂直,与另一个平行. 其中正确命题个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

4.(2013·珠海模拟)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( )

A.直线 AB 上 C.直线 AC 上

B.直线 BC 上 D.△ABC 内部

5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径, 点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长.其中正 确的是( )

-5-

A.①②

B.①②③

C.①

D.②③

6.(2012·惠州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折 起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下面命题正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

7.如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, ⊥底面 ABCD, PA 且底面各边都相等, 是 PC 上的一动点, M 当点 M 满足________ 时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

8.(2013·清远中学月考)正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是 BC 的中点,动点 P 在四棱锥的表面 上运动,并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的长为________. 9.(2013·中山模拟)点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,给出下列四个命题: ①三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是________.

10.如图所示,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形 (1)求证:DM∥平面 APC;(2)求证:平面 ABC⊥平面 APC.

-6-

11.(2012·北京海淀二模)如图所示,PA⊥平面 ABC,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,∠CBA=30°,PA=AB=2,

AB 点 E 为线段 PB 的中点,点 M 在 ? 上,且 OM∥AC.
(1)求证:平面 MOE∥平面 PAC;(2)求证:平面 PAC⊥平面 PCB.

-7-

答案: 1.选 C 对于选项 C,在平面α 内存在 c∥b,因为 a⊥α ,所以 a⊥c,故 a⊥b;A,B 选项中,直线 a,b 可能 是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D 选项中一定有 a∥b. 2.选 D 对于①:若α ⊥β ,β ⊥γ ,则α ⊥γ ,前者不是后者的充分条件,比如当α ∥γ 时,也有α ⊥β , β ⊥γ .对于②:显然错误,当 l⊥α ,l∩α =A 时,l 上到 A 距离相等的两点到α 的距离相等.③④显然正确. 3.选 B (1)错,也可能相交;(2)正确;(3)“α ⊥β ”是“m⊥β ”的必要条件,命题错误;(4)当异面直线 a,

b 垂直时才可以作出满足要求的平面,命题错误.
4.选 A 由 AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面 ABC1. 又∵AC? 面 ABC,∴平面 ABC1⊥平面 ABC.∴C1 在面 ABC 上的射影 H 必在两平面交线 AB 上. 5.选 B 对于①,∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥BC.∵AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AC.∴BC⊥平面 PAC.又 PC? 平面 PAC,∴BC⊥PC;对于②,∵点 M 为线段

PB 的中点,∴OM∥PA.∵PA? 平面 PAC,
∴OM∥平面 PAC;对于③,由①知 BC⊥平面 PAC,∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③都正确. 6.选 D 在平面图形中 CD⊥BD,折起后仍有 CD⊥BD,由于平面 ABD⊥平面 BCD,故 CD⊥平面 ABD,CD⊥AB,又

AB⊥AD,故 AB⊥平面 ADC,所以平面 ABC⊥平面 ADC.
-8-

7.解析:由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC? 平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 8.解析:如图,设 AC∩BD=O,连接 SO,取 CD 的中点 F,SC 的中点 G,连接 EF,EG,FG,设 EF 交 AC 于点 H, 连接 GH, 易知 AC⊥EF,

GH∥SO,
∴GH⊥平面 ABCD, ∴AC⊥GH,∴AC⊥平面 EFG, 故动点 P 的轨迹是△EFG, 由已知易得 EF= 2,

GE=GF=

6 ,∴△EFG 的周长为 2+ 6,故动点 P 的轨迹长为 2+ 6. 2

答案: 2+ 6 9.解析:连接 BD 交 AC 于 O,连接 DC1 交 D1C 于 O1,连接 OO1,则 OO1∥BC1.

∴BC1∥平面 AD1C,动点 P 到平面 AD1C 的距离不变, ∴三棱锥 P-AD1C 的体积不变. 又 VP-AD1C=VA-D1PC,∴①正确. ∵平面 A1C1B∥平面 AD1C,A1P? 平面 A1C1B, ∴A1P∥平面 ACD1,②正确. 由于 DB 不垂直于 BC1 显然③不正确; 由于 DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1, ∴DB1⊥平面 AD1C.DB1? 平面 PDB1, ∴平面 PDB1⊥平面 ACD1,④正确. 答案:①②④ 10.证明:(1)由已知,得 MD 是△ABP 的中位线,所以 MD∥AP. 又 MD?平面 APC,AP? 平面 APC, 故 MD∥平面 APC. (2)因为△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, 所以 MD⊥PB.所以 AP⊥PB. 又 AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. 因为 BC? 平面 PBC,所以 AP⊥BC. 又 BC⊥AC,AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 APC.
-9-

因为 BC? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. 11.证明:(1)因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE∥PA. 因为 PA? 平面 PAC,OE?平面 PAC, 所以 OE∥平面 PAC. 因为 OM∥AC, 且 AC? 平面 PAC,OM?平面 PAC, 所以 OM∥平面 PAC. 因为 OE? 平面 MOE,OM? 平面 MOE,OE∩OM=O, 所以平面 MOE∥平面 PAC. (2)因为点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,所以∠ACB=90°,即 BC⊥AC. 因为 PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,所以 PA⊥BC. 因为 AC? 平面 PAC,PA? 平面 PAC,

PA∩AC=A,
所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC? 平面 PCB, 所以平面 PAC⊥平面 PCB.

- 10 -


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