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“哥德巴赫猜想”讲义(第8讲)


“哥德巴赫猜想”讲义
(第 8 讲) “哥德巴赫猜想”证明(3) 主讲 王若仲

第 7 讲我们讲解到了引理 5,这一讲我们开始从定义 5 讲起。 定义 5:对于某一偶数 2m,m∈N,m≥4,若 p+a=2m,其中 p 为奇 素数,a 为奇合数或者 1,则称奇素数 p 为关于偶数 2m 的虚合数,记 为 2m(p♀) 。比如:5+95=100,1+

97=98 等,称奇素数 5 为关于偶数 100 的虚合数,称奇素数 97 为关于偶数 98 的虚合数。 定义 6:在集合{1,3,5,7,9,?, (M-3) , (M-1)}中筛除属 于集合{3p,5p,7p,9p,?, (2m-1)p}中的全体元素,这种筛除方 式,称之为埃拉托斯特尼顺筛(简称顺筛) ;其中 M 为比较大的偶数, p 为小于偶数 M 的奇素数, (2m-1)p 为该形式下小于偶数 M 的最大奇 数。 定义 7:在集合{1,3,5,7,9,?, (M-3) , (M-1)}中筛除属 于集合{(M-3p) , (M-5p) , (M-7p) , (M-9p) ,?,[M-(2m-1)p]} 中的全体元素, 这种筛除方式, 称之为埃拉托斯特尼逆筛 (简称逆筛) ; 其中 M 为比较大的偶数,p 为小于偶数 M 的奇素数, (2m-1)p 为该形 式下小于偶数 M 的最大奇数。 定义 8:对于正实数 x,符号〔x〕表示为不小于 x 的最小正整数; 符号【x】表示为不大于 x 的最大正整数。
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引理 6:对于一个相当大的奇数 M,关于任何两个均小于正整数 M 的奇素数 p 和 q(p≠q) ,若在集合{1,3,5,7,9,?,M}中筛除 属于集合{p,3p,5p,7p,9p,?, (2m-1)p}中的全体元素和筛除 属于集合{q,3q,5q,7q,9q,?, (2m?-1)q}中的全体元素,则有 下列不等式成立: W-【W÷p】-【W÷q】+【W÷(pq) 】≥〔 〔W(1-1÷p) (1-1÷q) 〕 。 其中 W 为集合{1,3,5,7,9,?,M}中元素的个数, (2m-1)p 为 该形式下不大于奇数 M 的最大奇数, (2m?-1)q 为该形式下不大于奇 数 M 的最大奇数。 证明:对于一个相当大的奇数 M,由引理 4 可知,关于任一小于 奇数 M 的奇素数 g,那么集合{g,3g,5g,7g,9g,?, (2m-1)g} 中奇数的总个数与集合{1,3,5,7,9,?,M}中奇数的总个数的比 值约等于 1÷g,其中(2m-1)g 为该形式下不大于奇数 M 的最大正整 数;那么任何两个均小于正整数 M 的奇素数 p 和 q(p≠q) ,若要在 集合{1,3,5,7,9,?,M}中筛除属于集合{p,3p,5p,7p,9p,?, (2m-1)p}中的全体奇数和筛除属于集合{q,3q,5q,7q,9q,?, (2m?-1)q}中的全体奇数,则有 W-【W÷p】-【W÷q】+【W÷(pq) 】 ≥〔W(1-1÷p) 〕-【W÷q(1-1÷p) 】≥〔W(1-1÷p) (1-1÷q) 〕 ,其 中 W 为集合{1,3,5,7,9,?,M}中奇数的总个数。故引理 6 成立。 引理 7:对于一个相当大的奇数 M,设奇素数 p1,p2,p3,?,pt 均为不大于√M 的全体奇素数(pi< pj ,i<j,i、j=1,2,3,?, t) ,若需在集合{1,3,5,7,9,?,M}中筛除全体奇合数,那么只
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需在集合{1,3,5,7,9,?,M}中筛除属于集合{p1,3p1,5p1,7p1, 9p1,?, (2m-1)p1}中的全体元素,筛除属于集合{p2,3p2,5p2,7p2, 9p2,?, (2m-1)p2}中的全体元素,筛除属于集合{p3,3p3,5p3,7p3, 9p3,?, (2m-1)p3}中的全体元素,?,筛除属于集合{pt,3pt,5pt, 7pt,9pt,?, (2m-1)pt}中的全体元素;则有下列不等式成立: W-( 【W÷p1】+【W÷p2】+【W÷p3】+?+【W÷pt】 )+[【W÷(p1p2) 】+ 【W÷(p1p3) 】+【W÷(p1p4) 】+?+【W÷(pt-1pt) 】]-[( 【W÷(p1p2p3) 】 +【W÷(p1p2p4) 】+【W÷(p1p2p5) 】+?+【W÷(pt-2pt-1pt) 】]+?+(-1)
t

【W÷(p1p2p3?pt-2pt-1pt) 】≥〔W(1-1÷p1) (1-1÷p2) (1-1÷p3)?(1-1 W 为集合{1,3,5,7,9,?,M}中奇数的

÷pt-1) (1-1÷pt) 〕 。其中

总个数, (2m-1)p1 为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数, (2m-1)p2 为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数, (2m-1)p3 为该形式下不大于 奇数 M 的最大奇数,?, (2m-1)pt-1 为该形式下不大于奇数 M 的最大 奇数, (2m-1)pt 为该形式下不大于奇数 M 的最大奇数。 证明:由引理 4 和引理 5 以及引理 6 可知,因为在区间[√M,M] 中的任何一个奇合数 a,奇合数 a 均能被集合{p1,p2,p3,?,pt}中 某一个奇素数 pi 整除,那么 W-( 【W÷p1】+【W÷p2】+【W÷p3】+?+【W
÷pt】 ) +[ 【W÷ (p1p2) 】 + 【W÷ (p1p3) 】 + 【W÷ (p1p4) 】 +?+ 【W÷ (pt-1pt) 】 ]-[ ( 【W ÷(p1p2p3) 】 + 【W÷(p1p2p4) 】 + 【W÷(p1p2p5) 】 +?+ 【W÷(pt-2pt-1pt) 】 ]+?

+(-1)t【W÷(p1p2p3?pt-2pt-1pt) 】= W-【W÷p1】-( 【W÷p2】-【W÷(p1p2) 】 ) -( 【W÷p3】-【W÷(p1p3) 】-【W÷(p2p3) 】+【W÷(p1p2p3) 】 )-?-( 【W
÷pt】-【W÷(p1pt) 】-【W÷(p2pt) 】-【W÷(p3pt) 】-?-【W÷(pt-1pt) 】

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+ 【W÷(p1p2pt) 】 + 【W÷(p1p3pt) 】 + 【W÷(p1p4pt) 】 +?+ 【W÷(pt-2pt-1pt) 】 ) -?+(-1)t【W÷(p1p2p3?pt-2pt-1pt) 】≥〔W(1-1÷p1) 〕-【W÷p2(1-1
÷p1) 】-( 【W÷p3】-【W÷(p1p3) 】-【W÷(p2p3) 】+【W÷(p1p2p3) 】 )-?

( 【W÷pt】 【W÷(p1pt) 】 【W÷(p2pt) 】 【W÷(p3pt) 】 -?【W÷(pt-1pt) 】 + 【W÷(p1p2pt) 】 + 【W÷(p1p3pt) 】 + 【W÷(p1p4pt) 】 +?+ 【W÷(pt-2pt-1pt) 】 ) -?+(-1)t【W÷(p1p2p3?pt-2pt-1pt) 】≥〔W(1-1÷p1) (1-1÷p2) 〕-( 【W
÷p3 (1-1÷p1) (1-1÷p2) 】 )-?-( 【W÷pt】-【W÷(p1pt) 】-【W÷(p2pt) 】

-【W÷(p3pt) 】-?-【W÷(pt-1pt) 】+【W÷(p1p2pt) 】+【W÷(p1p3pt) 】+
t 【W÷ (p1p4pt) 】 +?+ 【W÷ (pt-2pt-1pt) 】 ) -?+ (-1) 【 W÷ (p1p2p3?pt-2pt-1pt) 】 t ≥ 〔W (1-1÷p1) (1-1÷p2) (1-1÷p3) 〕 -?+ (-1) 【 W÷(p1p2p3?pt-2pt-1pt) 】

≥〔W(1-1÷p1) (1-1÷p2) (1-1÷p3)?(1-1÷pt-1) (1-1÷pt) 〕 。故 引理7成立。
参考文献 [1]戎士奎,十章数论(贵州教育出版社)1994年9月第1版 [2]闵嗣鹤,严士健,初等数论(人民教育出版社)1983年2月第6版 [3]刘玉琏,付沛仁,数学分析(高等教育出版社)1984年3月第1版 [4]王文才,施桂芬,数学小辞典(科学技术文艺出版社)1983 年 2 月第 1 版

二〇一四年四月十五日

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