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江苏省南通市通州区石港中学2014届高一上学期期末复习(2)阶段


南通市通州区石港中学期末复习高一数学试卷二
班级 姓名 学号

时间: 分钟 总分: 分 时间:120分钟 总分:160分 小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题: 1 . 已 知 集 合 A = {? 1,2,3} , f : x → 2 x ? 1 是 集 合 A 到 集 合 B 的 映 射 , 则 集

合 B = ▲ . ▲ . 2.已知集合 A = [1,4 ) , B = (? ∞, a ) ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 3.函数 f ( x) = ( m ? m ? 1) x ▲ .
2 m 2 + m ?3

是幂函数,且在 (0,+∞ ) 上为减函数,则实数 m 的值为

4. sin

25π 25π ? 25π + cos + tan ? ? 6 3 4 ?
x 2 ?1

? ?= ?






5.函数 y = 2

的最小值是



6.若方程 ln x = 6 ? 2 x 的解为 x0 ,则满足 k ≤ x0 的最大整数 k = 7.若二次函数 y = ax 2 + 4 x ? 2 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是







8.

3 ? sin 700 = 2 ? cos 2 100


π
12



9. a = (sin 设

π
12

) ,b = 2
2

tan

,c = log 2 (cos

π
12

) , a, b, c 由小到大的顺序为 则





?1 ? x 2, x ≤ 1, ? 10. 设函数 f ( x ) = ? 2 则 ? x + x ? 2,x > 1, ?

? 1 ? f? ? 的值为 ? f (2) ?





11. 已知角 α 的终边经过点 P ( ?x,?6) ,且 cos α = ?

1 1 5 ,则 + = 13 sin α tan α





12.已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且在区间 [0,+∞ ) 上是单调递增,若

f (lg 2 ? lg 50 + (lg 5) 2 ) + f (lg x ? 2) < 0 ,则 x 的取值范围为
13.函数 f ( x ) = 3 sin( 2 x ? 象 C 关于直线 x =





π
3

) 的图象为 C .如下结论: ①函数的最小正周期是 π ; ②图
③函数 f ( x )在区间(?

11 π 对称; 12

y = 3 sin 2 x 的 图 象 向 右 平 移

π
3

, )上是增函数; 12 12

π 5π

④由

个单位长度可以得到图象 C . 其中正确的是



. (写出所有正确结论的序号)
2

14.若 f ( x ) = log a ( ax ? ax +

3 1 ) 在 [1, ] 上恒正,则实数 a 的取值范围是 2 2





小题, 请在答题卡指定区域内作答, 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 解答题: 请在 ....... 明、证明过程或演算步骤. 证明过程或演算步骤 15.(本题满分 14 分) (1)已知 f ( x ) = 2 m cos 2 x ? 2 3m sin x ? cos x + n( m > 0) 的定义域为 [0,

π
2

] ,值域为

(2)在 △ ABC 中, a, b, c 分别是三个内角 A, B,C 的对边.若 [1, 4] ,求 m + n 的值。

b = 2,

A=

C 5 π , cos = .求 sin B , sin C 的值。 4 2 5

16.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = lg

1+ x 的定义域为 A , 集合 B 是不等式 x 2 ? ( 2a + 1) x + a 2 + a > 0 的 x?2 解集.(Ⅰ) 求 A , B ;(Ⅱ) 若 A U B = B , 求实数 a 的取值范围.

17.(本题满分 15 分) 已 知 函 数 f ( x) = sin 2 x cos ? ? 2 cos x sin(π ? ? ) ? cos(
2

π
2

+ ? )(?

π
2

<? <

π
2

) 在

x=

π
时取得最大值.

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y = f (x ) 图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

6

1 π y = g ( x) 的图象,若 g (α ) = , α ∈ (? ,0) ,求 cos α 的值. 3 2

18.(本题满分 15 分)

? 2x + a ( a > 0, b > 0 ) . 2 x +1 + b (1)当 a = b = 1 时,证明: f (x ) 不是奇函数; (2)设 f (x ) 是奇函数,求 a 与 b 的值;
设 f ( x) = (3)在(2)的条件下,求不等式 f ( x) > 0 的解集.

19.(本题满分 16 分) 如图,在半径为 R 、圆心角为 60 的扇形 AB 弧上任取一点 P ,作扇形的内接矩形
0

PNMQ ,使点 Q 在 OA 上,点 M 、 N 在 OB 上.记 ∠BOP = θ ,矩形 PNMQ 的面
积为 S .求: (1) S (θ ) 的函数解析式,并写出其定义域; A (2) S (θ ) 的最大值,及此时 θ 的值. Q O M P N B

20.(本题满分 16 分) 若定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意的 x 1 , x 2 ∈ R ,都有

f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) + f ( x 2 ) ? 1 成立,且当 x > 0 时, f ( x ) > 1 .
(1)求 f (0) 的值; (2)求证: f ( x ) 是 R 上的增函数; (3) 若 f ( 4) = 5 , 不等式 f (cos 2 x + a sin x ? 2) < 3 对任意的 x ∈ R 恒成立, 求实数 a 的 取值范围.

高一数学试卷二答案
1. B = {? 3,3,5}
2

2. [4,+∞ )
2

3. ?1 解析:由 m ? m ? 1 = 1 得 m = ?1或m = 2 ,代入 m + m ? 3 < 0 只有 m = ?1 适合 4.0 5.

1 2

6.2 解析:画出 y = ln x 和 y = 6 ? 2 x 的图象可看出交点的横坐标在 2 与 3 之间 7. a > ?2, a ≠ 0 8.2 解:原式 =

3 ? sin 70o 2(3 ? cos 20o ) = =2 cos 20o + 1 3 ? cos 20o 2? 2

9. c < a < b 10.

解:可判断出 a < 1 , b > 1 , c < 0

15 16 12 12 2 11. ? 解:由已知可得α的终边在第三象限,可求出 sin α = ? , tan α = ,下略 3 13 5
12. (0,10)解:先求 lg 2? 50 + (lg 5) 2 = (1 ? lg 5)(1 + lg 5) + (lg 5) 2 = 1 ,可判断 f ( x ) 在 lg R 上是增函数,不等式变为 f (1) < f (2 ? lg x)得1 < 2 ? lg x得 lg x < 1故x < 10又x > 0 13.①②③ 14. (0, ) 解:设 u = ax ? ax +
2

2 3

1 1 3 ,对称轴为直线 x = , a > 0 ,故其在 [1, ] 上为增函 2 2 2

数, 所以 u ∈ [ ,

1 3 1 1 3 1 a + ] ,当 a > 1 时, f (u ) = log a u 在 u ∈ [ , a + ] 时不可能恒正, 2 4 2 2 4 2 1 3 1 3 1 2 当 0 < a < 1 时, f (u ) = log a u 在 u ∈ [ , a + ] 时恒正,需 a + < 1 得 a < 2 4 2 4 2 3
故 a ∈ ? 0,

? ?

2? ? 3?

15.(本题满分 14 分) 解: (1) m+n=3 (2)由题意,得 cos C = 2 cos 2

3 C 4 ? 1 = ? , sin C = , 2 5 5
2 10

sin B = sin( π ? A ? C ) = sin ( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C =
16.(本题满分 14 分)

解:(Ⅰ)由

x +1 > 0,得 x < ?1 或 x > 2 ,即 A= (? ∞,?1) U (2,+∞) x?2

………4 分

由 x 2 ? ( 2a + 1) x + a 2 + a > 0 ,得: [ x ? ( a + 1)]( x ? a ) > 0 所以 x < a 或 x > a + 1 ,即 B = (?∞, a ) U (a + 1,+∞) . (Ⅱ) 由 A U B = B 得 A ? B

………………6 分

………………8 分 ………………10 分

? a ≥ ?1 ∴? ? ?1 ≤ a ≤ 1 , ?a + 1 ≤ 2
故当 A U B = B 时, 实数 a 的取值范围是 [? 1,1] . 17.(本题满分 15 分) 解:(Ⅰ) f ( x) = sin 2 x cos ? ? (1 + cos 2 x ) sin ? + sin ? ………………2 分 ………………14 分

= sin 2 x cos ? ? cos 2 x sin ? = sin(2 x ? ? )
Q 函数 y = f (x) 在 x =

………………4 分

π
时取得最大值

∴ sin(2 × ∴? ?
又Q ?

π π
6 3 2

6

? ? ) = 1 ? sin(? ? = 2kπ ? <? <

π
3

) = ?1

π
3

? ? = 2kπ ?
∴? = ?

π
6

,k ∈ Z

………………6 分

π

π
2

π
6

………………7 分

(Ⅱ)由(1)可知 f ( x ) = sin(2 x +

π
6

)

………………8 分

则将函数 y = f (x ) 图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得 到函数 y = g ( x ) 为 g ( x ) = sin( x +

π
6

) ,故 g (α ) = sin(α +

π
6

)=

1 ……10 分 3

Q α ∈ (?

π
2

,0)

∴α +

π
6

∈ (?

π π

, ) 3 6

∴ cos(α +

π
6

)=

2 2 ……12 分 3

cos α = cos[(α +

π
6

)?

π
6

] = cos(α +

π
6

) cos

π
6

+ sin(α +

π
6

) sin

π
6

=

2 6 +1 6
………………15 分

18.(本题满分 15 分)

? 2x +1 (1)举出反例即可. f ( x ) = x +1 , 解: 2 +1

? 2 +1 1 = ? , f (?1) = 2 5 2 +1 所以 f ( ?1) ≠ ? f (1) , f (x ) 不是奇函数; (2) f (x ) 是奇函数时, f ( ? x ) = ? f ( x ) , f (1) =


?

1 +1 1 2 = , 2 4

………………2 分 ………………4 分

? 2?x + a ? 2x + a = ? x +1 对定义域内任意实数 x 成立. ………………6 分 2 ? x +1 + b 2 +b 2x x 化简整理得 ( 2a ? b) ? 2 + ( 2ab ? 4) ? 2 + ( 2a ? b) = 0 ,这是关于 x 的恒等式,所以 ?2a ? b = 0, ?a = ?1 ?a = 1 所以 ? 或? . …………9 分 ? ?2ab ? 4 = 0 ?b = ?2 ?b = 2 ?a = 1 经检验 ? 符合题意. …………10 分 ?b = 2
(3)由(2)可知 f ( x ) =

? 2x +1 2 x +1 + 2

………………11 分

由 f ( x ) > 0 得:

? 2x + 1 > 0 ? ?2 x + 1 > 0 2 x +1 + 2 ∴ 2x < 1 ? x < 0

………………13 分

………………14 分

即 f ( x ) > 0 的解集为 (?∞,0) 19.(本题满分 16 分)

…………15 分

解: (1) Q OP = R , ∠BOP = θ

∴ ON = R cosθ , QM = PN = R sin θ , OM = R sin θ 3

QM R sin θ ………………3 分 tan 600 3

∴ MN = ON ? OM = R cosθ ?

………………5 分

∴ S = PN ? MN = R sin θ ? R(cosθ ?

sin θ sin 2 θ ) = R 2 (sin θ cos θ ? ) ……7 分 3 3

1 1 1 R2 π R2 = R 2 ( sin 2θ + cos 2θ ? )= sin(2θ + ) ? ………10 分 2 6 2 3 2 3 3 2 3
其定义域为 (0, (2) Qθ ∈ (0,

π
3

)

………………11 分

π
3

) ,∴ 2θ +

π

π 5π ∈( , ) 6 6 6

………………13 分

∴ 当 2θ +

π
6

=

π
2

即θ =

π
6

时, S max =

R2 3

?

R2 2 3

=

3 2 R 6

故 S (θ ) 的最大值为 20.(本题满分 16 分)

3 2 π R ,此时 θ = 6 6

………………16 分

(1)解:定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意的 x 1 , x 2 ∈ R , 都有 f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ? 1 成立 令 x1 = x2 = 0, 则f (0 + 0) = f (0) + f (0) ? 1 ? f (0) = 1 (2)证明: 任取 x 1 , x 2 ∈ R ,且 x1 > x2 ,则 x1 ? x2 > 0 ? f ( x1 ? x2 ) > 1 ………3 分

………4 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = f ( x1 ? x2 + x2 ) ? f ( x2 ) = f ( x1 ? x2 ) ? 1 > 0
∴ f ( x1 ) > f ( x2 ) ∴ f ( x ) 是 R 上的增函数 (3) 解:∵ f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) ? 1 ,且 f ( 4) = 5 ∴ f ( 4 ) = f ( 2 ) + f ( 2) ? 1 ? f ( 2 ) = 3

………6 分

………8 分

………10 分

2 2 由不等式 f (cos x + a sin x ? 2) < 3 得 f (cos x + a sin x ? 2) < f ( 2)

由(2)知: f ( x ) 是 R 上的增函数

∴ cos 2 x + a sin x ? 2 < 2 ? cos 2 x + a sin x ? 4 < 0 ? sin 2 x ? a sin x + 3 > 0 11 分
令 t = sin x ∈ [? 1,1] 则 g (t ) = t ? at + 3 = (t ? ) ?
2

a 2

2

a2 + 3, 4
……12 分

故只需 g (t ) min > 0 当

a ≤ ?1 即 a ≤ ?2 时, g (t ) min = g (?1) = a + 4 > 0 ? ?4 < a ≤ ?2 2

………13 分

a a a2 当 ? 1 < < 1 即 ? 2 < a < 2 时, g (t ) min = g ( ) = ? + 3 > 0 ? ?2 < a < 2 …14 分 2 2 4


a ≥ 1 即 a ≥ 2 时, g (t ) min = g (1) = ? a + 4 > 0 ? 2 ≤ a < 4 2

………15 分

综上所述, 实数 a 的取值范围 (? 4.4 )

………16 分


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