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数列高考题及答案


数列高考题
1. (福建卷)已知等差数列

{a n }中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是(
B.30 C.31

) D.64

A.15

{a } 2. (湖南卷)已知数列 n 满足

a1 ? 0, an?1 ?

>
an ? 3 3an ? 1

(n ? N * )
,则

a20 = (



A.0

B. ? 3

C. 3

3 D. 2
)

3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3 ,前三项和为21,则a3+ a4+ a5=( ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 )
a1 ? a8 ? a4 ? a5 a1a8 ? a4 a5

( D )189

4. (全国卷II) 如果数列
a1 ? a8 ? a4 ? a5

?an ? 是等差数列,则(
(B)
a1 ? a8 ? a4 ? a5

(A)

(C)

(D)

5. (全国卷II) 11如果
a1a8 ? a4 a5

a1 , a2 ,? , a8

为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则(
a1 ? a8 ? a4 ? a5 a1a8 ? a4 a5

)

(A)

(B)

a1a8 ? a4 a5

(C)

(D)

6. (山东卷) (A)667

?an ? 是首项 a1 =1,公差为 d =3的等差数列,如果 an =2005,则序号 n 等于(
(B)668 (C)669 (D)670

)

7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个

顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层 正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。
.

8. (湖北卷)设等比数列

{a n }的公比为q,前n项和为S ,若S ,S ,S 成等差数列,则q的值为 n n+1 n n+2

27 8 9. (全国卷II) 在 3 和 2 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______

10. (上海)12、用 n 个不同的实数 对第 i 行

a1 , a2 ,?, an 可得到 n! 个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n! 行的数阵。

ai1 , ai 2 ,?, ain ,记 bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ?(?1) n nain , i ? 1,2,3,?, n!。例如:用1,2,3可得数阵 b1 ? b2 ? ?? b6 ? ?12 ? 2 ?12 ? 3 ?12 ? ?24 ,那么,在

如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,

用1,2,3,4,5形成的数阵中,

b1 ? b2 ? ? ? b120 =_______。
a n ? 2 ? a n ? 1 ? (?1) n (n ? N ? )

11. (天津卷)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且





S100 =

___.

? 1 偶 ? 2 an n 为 数 ? an?1 ? ? 1 1 ?a ? 1 n 为 数 奇 bn ? a2 n ?1 ? n ? ? 4 4 , ==l, 3, 12. (北京卷) 设数列{an}的首项a1=a≠ 4 , 且 , 记 n 2, …·.
(I)求a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)求 n??

lim(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn )



13.(北京卷)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,

an ?1 ?

1 Sn 3 ,n=1,2,3,……,求

(I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式; (II)

a2 ? a4 ? a6 ??? a2n 的值.

14. (福建卷)已知{

an }是公比为q的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列.

(Ⅰ)求q的值; (Ⅱ)设{ 理由.

bn }是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明

15. (福建卷)已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+

1 an

我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1时,得

3 5 1 1 1,2, , , ? ;当a ? ? 时, 得到有穷数列 : ? ,?1,0. 2 3 2 2 到无穷数列:
(Ⅰ)求当a为何值时a4=0;

(Ⅱ)设数列{bn}满足b1=-1, bn+1= 数列{an};

1 (n ? N ? ) bn ? 1

,求证a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷

3 ? a n ? 2( n ? 4) (Ⅲ)若 2 ,求a的取值范围.

16. (湖北卷)设数列

{a n }的前n项和为S =2n2, {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . n

(Ⅰ)求数列

{a n }和 {bn } 的通项公式;
an bn ,求数列 {cn } 的前n项和T . n

cn ?
(Ⅱ)设

17. (湖南卷)已知数列

{log 2 (an ? 1)}n ? N * )

为等差数列,且

a1 ? 3, a3 ? 9.

(Ⅰ)求数列

{a n }的通项公式;

(Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

18. (江苏卷)设数列{ an }的前项和为

S n ,已知 a =1, a =6, a =11,且 (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B , 1 2 3

n ? 1,2,3, ? , 其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值; (Ⅱ)证明数列{an}为等差数列; (Ⅲ)证明不等式

5amn ? aman ? 1对任何正整数m、n都成立

.

19. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列

?an ?的首项

a1 ?

1 10 10 2 ,前n项和为 S n ,且 2 S 30 ? (2 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 。

(Ⅰ)求

?an ?的通项;
?nSn ?的前n项和 Tn 。

(Ⅱ)求

20. (全国卷Ⅰ) 设等比数列

?an ?的公比为 q ,前n项和 Sn ? 0 (n ? 1,2,?) 。

(Ⅰ)求 q 的取值范围;

(Ⅱ)设

bn ? a n ? 2 ?

3 a n ?1 S ?b ? T T 2 ,记 n 的前n项和为 n ,试比较 n 与 n 的大小。

21. ( 全国卷II) 已知
n ? 1, 2,3,? .

?an ? 是各项为不同的正数的等差数列, lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数列.又

bn ?

1 a2 n



(Ⅰ) 证明

?bn ? 为等比数列;
7

(Ⅱ)

?b ? a ?a ? 如果数列 n 前3项的和等于 24 ,求数列 n 的首项 1 和公差 d .

数列高考题答案
1-7 A B C B B C C 9. (全国卷II) 216 10. (上海)-1080 11. (天津卷)2600 8. (湖北卷)-2

1 1 1 1 1 12.(北京卷)解: (I)a2=a1+ 4 =a+ 4 ,a3= 2 a2= 2 a+ 8 ;
3 1 1 3 1 1 (II)∵ a4=a3+ 4 = 2 a+ 8 , 所以a5= 2 a4= 4 a+ 16 ,

1 1 1 1 1 1 1 1 所以b1=a1- 4 =a- 4 , b2=a3- 4 = 2 (a- 4 ), b3=a5- 4 = 4 (a- 4 ), 1 猜想:{bn}是公比为 2 的等比数列· 1 1 1 1 1 1 证明如下: 因为bn+1=a2n+1- 4 = 2 a2n- 4 = 2 (a2n-1- 4 )= 2 bn, (n∈N*) 1 1 所以{bn}是首项为a- 4 , 公比为 2 的等比数列·
b1 (1 ? 1 ) 2n ? b1 ? 2(a ? 1 ) 1 1 4 1? 1? 2 2 .
1 Sn 3 ,n=1,2,3,……,得

lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? lim
n ?? n ??

(III)

13.(北京卷)解: (I)由a1=1,

an ?1 ?

1 1 1 1 1 4 1 1 16 a2 ? S1 ? a1 ? a3 ? S 2 ? ( a1 ? a2 ) ? a4 ? S3 ? ( a1 ? a2 ? a3 ) ? 3 3 3, 3 3 9, 3 3 27 ,

1 1 4 1 4 n?2 1 an ?1 ? an ( ) an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an 3 (n≥2) a2= 3 ,所以an= 3 3 3 3 (n≥2) 由 ,得 ,又 (n≥2),

? 1 ? an ? ? 1 4 n?2 ?3 ( 3) ? ∴ 数列{an}的通项公式为

n ?1 n≥ 2


a , a4 , ? ( II ) 由 ( I ) 可 知 2

4 1 ( )2 , a是 首 项 为 3 , 公 比 为 3 项 数 为 n 的 等 比 数 列 , ∴ n 2

4 1 ? ( )2n 1 3 ? 3 [( 4 ) 2 n ? 1] ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 a2 ? a4 ? a6 ??? a2n = 3

14. (福建卷)解: (Ⅰ)由题设

2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q 2 ? a1 ? a1q,

?a1 ? 0,?2q 2 ? q ?1 ? 0.

? q ? 1或 ?

1 . 2

n(n ? 1) n 2 ? 3n q ? 1, 则S n ? 2n ? ?1 ? . 2 2 (Ⅱ)若
n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ( n ? 1)( n ? 2) ? 0. 2





Sn ? bn .

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n q ? ? , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4 若
n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ? ( n ? 1)( n ? 10) , 4



故对于

n ? N? ,当2 ? n ? 9时, Sn ? bn ;当n ? 10时, Sn ? bn ;当n ? 11 , Sn ? bn . 时
? a1 ? a, a n ?1 ? 1 ? 1 , an

15. (福建卷) (I)解法一:

? a2 ? 1 ? a4 ? 1 ?

1 1 a ?1 1 2a ? 1 ? 1? ? , a3 ? 1 ? ? a1 a a a2 a ?1

1 3a ? 2 2 ? .故当a ? ? 时a 4 ? 0. a 3 2a ? 1 3 1 ? 0,? a3 ? ?1. a3

解法二:? a 4 ? 0,?1 ? ? a3 ? 1 ?

1 1 1 2 2 ,? a 2 ? . ? a 2 ? 1 ? ,? a ? ? .故当a ? ? 时a 4 ? 0. a2 2 a 3 3 b 1 ,? bn ? ? 1. bn ? 1 bn ?1

( II )解法一 :? b1 ? ?1, bn ?1 ?

a取数列 bn }中的任一个数不妨设 ? bn . { a ? a ? bn ,? a 2 ? 1 ? ? a3 ? 1 ? ?? ? an ? 1 ? ? a n ?1 ? 0.
故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an} 16. (湖北卷)

1 1 ? 1? ? bn ?1 . a1 bn

1 1 ? 1? ? bn ? 2 . a2 bn ?1 1 a n ?1 ? 1? 1 ? b1 ? ?1. b2

时 解: :当 n ? 1 , a1 ? S1 ? 2; (1)
当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,

故{an}的通项公式为

an ? 4n ? 2,即 an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. {
q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?
1 4
n ?1

设{bn}的通项公式为

1 . 4
2 4 n ?1 .



bn ? b1 q n ?1 ? 2 ?

, 即{bn }的通项公式为 bn ?

? cn ?
(II)

a n 4n ? 2 ? ? (2n ? 1)4 n?1 , 2 bn 4 n?1

?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 43 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [( 6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [( 6n ? 5)4 n ? 5]. 9
17. (湖南卷) (I)解:设等差数列 由

{log 2 (an ? 1)} 的公差为d.

a1 ? 3, a3 ? 9得2(log 2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即d=1.

所以

log2 (an ?1) ? 1 ? (n ?1)? ? n, 即 a n ? 2 n ? 1.

1 1 1 ? n ?1 ? n n a ? an a ? 2 2 , (II)证明因为 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n 2 2 2 2 所以 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2
18. (江苏卷) 解:(Ⅰ)由
a1 ? 1



a2 ? 6



a3 ? 11

,得

S1 ? 1



S2 ? 2



S 3 ? 18



把 n ? 1, 2 分别代入

(5n ? 8) S n ?1 ? (5n ? 2) S n ? An ? B ,得

? A ? B ? ?28, ? ?2 A ? B ? ?48

解得, A ? ?20 , B ? ?8 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
5n( S n ?1 ? S n ) ? 8S n ?1 ? 2S n ? ?20n ? 8

,即

5nan ?1 ? 8S n ?1 ? 2 S n ? ?20n ? 8

,①



5( n ? 1) an ? 2 ? 8Sn ? 2 ? 2 Sn ?1 ? ?20( n ? 1) ? 8

. ② ,即 ④
(5n ? 3)an ? 2 ? (5n ? 2)an ?1 ? ?20

②-①得, 又

5( n ? 1) an ? 2 ? 5nan ?1 ? 8an ? 2 ? 2an ?1 ? ?20





(5n ? 2)an ? 3 ? (5n ? 7)an ? 2 ? ?20

. ,

④-③得, ∴ ∴

(5n ? 2)(an ? 3 ? 2an ? 2 ? an ?1 ) ? 0

an ? 3 ? 2an ? 2 ? an ?1 ? 0

, ,又
a2 ? a1 ? 5

an ? 3 ? an ? 2 ? an ? 2 ? an ?1 ? ? ? a3 ? a2 ? 5



因此,数列

?an ? 是首项为1,公差为5的等差数列.
an ? 5n ? 4, (n ? N? )

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,

.考虑

5amn ? 5(5mn ? 4) ? 25mn ? 20

. .

( am an ? 1)2 ? am an ? 2 am an ? 1 ? am an ? am ? an ? 1 ? 25mn ? 15(m ? n) ? 9

∴ 即 因此,

5amn ? ( am an ? 1)2 厖15(m ? n) ? 29 5amn ? ( am an ? 1)2 5amn ? am an ? 1

15 ? 2 ? 29 ? 1 ? 0



,∴

5amn ? am an ? 1





19. (全国卷Ⅰ) 解: (Ⅰ)由 即

210 S 30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0



210 (S 30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 ,

210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ? ? a20 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 .

可得

因为

an ? 0 ,所以 2 q ? 1, 解得
10 10

q?

1 1 a n ? a1 q n ?1 ? n , n ? 1,2, ?. 2 ,因而 2

{a } (Ⅱ)因为 n 是首项

a1 ?

1 1 q? 2 、公比 2 的等比数列,故

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2
1 2 n Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ), {nSn } 的前n项和 2 2 2 则数列

Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2
Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2

前两式相减,得

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n ? ? 1 4 2 n ?1 1? 2
20. (全国卷Ⅰ) 解: (Ⅰ)因为 当



Tn ?

n( n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2

{a n }是等比数列, S n ? 0, 可得a1 ? S1 ? 0, q ? 0.

q ? 1时, S n ? na1 ? 0;
a1 (1 ? q n ) 1 ? qn ? 0,即 ? 0,(n ? 1, 2,?) 1? q 1? q
?1 ? q ? 0, , (n ? 1,2, ?) ? n ?1 ? q ? 0

当q ? 1时, Sn ?

上式等价于不等式组:





?1 ? q ? 0, , (n ? 1,2,?) ? n ?1 ? q ? 0



解①式得q>1;解②,由于n可为奇数、可为偶数,得-1<q<1. 综上,q的取值范围是

( ?1,0) ? (0,??).

(Ⅱ)由

bn ? aa ? 2 ?

3 3 3 an ?1 bn ? an (q 2 ? q), Tn ? (q 2 ? q)S n . 2 2 2 得

3 1 Tn ? S n ? S n (q 2 ? q ? 1) ? S n (q ? )( q ? 2). 2 2 于是
又∵

Sn >0且-1< q <0或 q >0
1 2 或 q ? 2 时 Tn ? Sn ? 0 即 Tn ? Sn

?1 ? q ? ?


1 ?q?2 T ? Sn ? 0 即 Tn ? Sn 当 2 且 q ≠0时, n ? q??


1 2 或 q =2时, Tn ? Sn ? 0 即 Tn ? Sn

21. (全国卷II)

(I)证明:∵ ∴2
lg a2 lg a1

lg a1



lg a2



lg a4

成等差数列

=

+

lg a4

,即

a2 2 ? a1a4

又设等差数列 这样

?an ? 的公差为 d ,则( a1 - d ) 2 = a1 ( a1 -3 d )
,从而 d ( d -

d 2 ? a1d

a1 )=0

∵ d ≠0 ∴d =

a1 ≠0

a2n ? a1 ? (2n ?1)d ? 2n dbn ?


1 1 1 ? ? n a2n d 2



?bn ?

1 1 b 是首项为 1 = 2d ,公比为 2 的等比数列。
b1 ? b2 ? b3 ? 1 1 1 7 (1 ? ? ) ? 2d 2 4 24

(II)解。∵ ∴ d =3 ∴

a1 = d =3


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