当前位置:首页 >> 数学 >>

2.5等比数列的前N项和3


等比数列的前n项和

教材分析
教学目标
———————

学情分析

教学方法

重点难点

教学过程

教学说明

教材分析
人教版全日制普通高级中学教科书(必修)第一册(上) 教材的课程设置 等比数列的前n项和是“等差数列及其前n项和” 知识的应用价值 与“等比数列”内容的延续、与函数等知识有着密 切的联系,又为学习“数列的极限”等内容作准备, 公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等 具有承上启下的作用. 在各种数学问题中有着广泛的应用;在如“分期付 内容的人文价值 款”等实际问题中也经常涉及到. 有助于提升学生的创新思维和探索精神,是培养 学生应用意识和数学能力的良好载体.

学情分析
认知 能力 情感 掌握等差数列和等比数列 的有关知识. 初步具备运用知识解决问 题的能力;但对知识的整合能 力、问题的探究能力及思维的 严密性上还需要进一步培养和 学习兴趣比较浓,表现欲 提高. 较强,但合作交流的意识等方 面尚有待加强.

教学目标 知识与技能目标 过程与方法目标 情感与态度目标

※提高学生的建模意识及探究问题、分析与 ※理解等比数列的前n项和公式的推导方法;

解决问题的能力 ※掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式 ※体会公式探求过程中从特殊到一般的思维 解决一些简单问题. 方法 ※渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想 ※培养学生勇于探索、敢于创新的精神,磨练 思维品质,从中获得成功的体验. ※感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的 简洁美.

重点难点
重点: 等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用.
知识技能线 抓 三 线 、 突 重 点
问题情境

过程方法线
观察分析 特殊到一般

情感态度线
观察能力

公式推导

探究尝试 错位相减等

合作交流、解 决问题能力

公式运用

灵活运用 转化、方程思想

灵活运用能力 及应用意识

重点难点
难点: 等比数列的前n项和公式的推导.
抓 两 点 、 破 难 点

◆学生认知

情感、思维的兴奋点 ◆知识特点 知识选择的切入点

教学方法
教学策略

启发式和探究式相结合的教学方法
问题情境 公式推导 公式运用

结构 自主探究 知、情、意、行 核心定义 合作探究

教学手段

计算机、实物投影等辅助教学

过程分析

作业 布置
反思 提炼





教学目标 ———————— 教学过程 重点难点
引 探
探究 问题

巩固 提高

创设 情境



辨析 质疑

过程分析
情 境 设 置 生 活 化













高老庄集团 高老庄

哈哈,我是 CEO了……

西游记后传

过程分析
情 境 设 置 生 活 化













周转不 灵……

西游记后传

过程分析
情 境 设 置 生 活 化













第一天出1元入100万; 第二天出2元入100万; 第三天出4元入100万 这猴子会不会又在耍我? …… 元;……哇,发了…… 猴哥,能不能帮帮 我……

No problem!我每 天给你投资100万元, 连续一个月(30天), 但有一个条件:

假如你是高老庄集团企划部 的高参,请你帮八戒决策.

第一天返还1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天 的2倍.

西游记后传

过程分析
情 境 设 置 生 活 化













第一天出1元入100万; 第二天出2元入100万; 第三天出4元入100万 这猴子会不会又在耍我? …… 元;……哇,发了…… 猴哥,能不能帮帮 我……

No problem!我每天 给你投资100万元, 连续一个月(30天), 但有一个条件:

假如你是高老庄集团企划部的 高参,请你帮八戒分析、决策.

第一天返还1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的 2倍.

营造积极、 和谐的学习 气氛,使学 生产生学习 心理倾向, 并进一步了 解数学来源 于生活.

过程分析
探 究 问 题 活 动 化













八戒吸纳的资金

返还给悟空的钱数

等比数列的前n项和 ? 3000 =?
(万元)
每天投资100万元, 连续一个月(30天) 第一天返还1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的 2倍.

T30 ?100? 30

S 30 ? 1,? 2 ,? 222 , 223 ? ? ? 229 领悟 2 2 ? 3 , ?, 30 10. ? 2 ? 1 约为 74亿 数学 错位相减法 等比数列的前30项和 应用 价值

过程分析






2 3


29




从特殊到一 般,从模仿 到创新,有 利于学生的 知识迁移和 能力提高.

◆学生自主探究 S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

探 ◆学生开展合作学习,讨论交流 究 问 一般地,等比数列的前n项和 题 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an 活 即 2 n? 2 n ?1 S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q ? a1q 动 化

=?

=?

“请你用错位相减法或者其他方法在这两个式子中 任选一个进行研究.”
引发学生寻求其他方法的内驱力.

过程分析













错位相减法1

探 究 错位相减法2 问 题 提取公比q 活 动 累加法 化
……

等比数列 a },公比为 qq ,它的前 项和 等比数列 {a na},公比为 q ,它的前 n n项和 {{ n n },公比为 ,它的前 n 项和 等比数列 S ? a1 ? a a ? 2 ? a ? 2 n SnS?n?1a??a12q?a331 q ????n1?1nn?a? a1nq n ?1 a 1 a2 ??a ? ?? a a ?1 ? a q n a 3 ? ?? an?1 ? a n共享 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 SqS? a1 a2a11a1qa1q 22?? ?? 1qq?n2?2a?q学习1 q n q? ? ? aq ? 1 ? ? aa1 n ? 1 a1q?a n n qSn ? a3 ?a22 q a3 ?? ? an?1 ? an ? an q a ? ??1 ?aqqSa 1q? a1q ?a1q? a1q n?3 ?成果, ( a1 ? ) (a ? ? ? n a1q n?2 ) ? n
4 3 ? (1 ? q) S n ? a1 ? an q

体验 数学 学习 ? (1 ? q) S n ? a1 ? a1q n ?a 2 ?a3 ? ? ? an ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ) 成功 ? ?q ? S n ? a1? ( S n ? an ) 的喜 悦. ? (1 ? q) S n ? a1 ? an q
? a1 ??? n ? a1q n?1 ) q ? (S an ? an?1q ??

?

??

等比数列 {a n },公比为 q ,它的前 n 项和
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an an a2 a3 ? ? ??? ?q a1 a2 an ?1 a2 ? a 3 ? ? ? ? ? a n ?q ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ?1 S n ? a1 ?q 即 S n ? an
? (1 ? q) S n ? a1 ? an q

n为奇数,q为- 1时此法不适用

??

过程分析













错位相减法1

探 究 错位相减法2 问 题 提取公比q 活 动 累加法 化
……

等比数列 ana}},公比为 q ,它的前 项和 等比数列 {a{},公比为 q ,它的前 n n项和 {{ na,公比为 q ,它的前 n n 项和 等比数列 nn },公比为 q ,它的前 项和 等比数列 S ? 1 ? a a3 ? 2 ? n ??2 n SnS?n??aa??212q?aa1 q?????aa1?1nn?aa a1nq n ?1 a ? 3 ?? a q ? ? n 1 a Sna1a?1? a??a 3? ???? a?1?1 ? n a n共享 a 3 ? ? nan?1 ? a Sn ? a1 2 ? ? 2 ? ?a n ?1 n ?1 a? SqS? a1 a2a11a31qa1q 22?? n ? 1qq?n2?2a?q学习1 q n q? ?a? aq ? 1 ? ? aa1 n ? 1 a1q?a 2 n n ? qS?? a3??a22 q ? ??? ? ? q?1 ? an ? an q a a ? a3 n a1? qSa ? a q ?an ?1? an q n?3 ?成果, a2 ? ? a? n ??1 ?aq) (a 1q 1 ( a1 ? n q 1 a1q n?2 ) q为 1 n为奇数,

? (1 ?a )? a ? a?1? ? a n q q 4 S n 3? ? ? a

体验 时此法不适用 n ?3 ?q ? a 2 ? q? ?a 1?? (Sn ?? a1q n?1 ) 数学 1an a2an ?1? ? an ?1 ?? ? ? q ? 学习 ? (1 ? qSS n?? 1a1 ? a1q n )n a ?q ?a 2 ?a3 ? ? ? an ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ) 即 成功 S n ? an
? (1 ? q) S n ? a1 ? an q ? (1 ? ?? a1 ? an q q) S n ?

?

? ?q ? S n ? a1? ( S n ? an )
??

的喜 悦.

过程分析













? a1 (1 ? q n ) ? a (1 ? qqn ? 1 探 ? 1? q ) 1 ? Sn ? Sn ? ? 究 ?na 1 ? q ? 1 q 问 ? 1 ?

题 活 动 化

? a1 ? anq ? ?? q q q ? 1 ? Sn ? a1 1 a n Sn ? ? 1 ?na? q q ?1 1 ?
增强思维的严 谨性.

过程分析
辨 析 质 疑 结 构 化






q ?1 q ?1







q ?1 ? ? 1? q ? 1 ? q2 1 ? S n(1)若a ? , q ? ,则S?? _______ ?? Sn ? ? 1 n 3 ?na 3 q ? 1 ?na ? a1 ? 1, q ? 1,则Sn ? _______ 1 ? ( 2)若 1 ?
判断是非

口答填空 ? a (a n q n ) ?a 已知 1{1 ? } 是等比数列,公比为q 1 ? a n q

点击
n (? 2)

①1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? (?2)

n ?1

1 ? (1 ? 2 n ) ? 1 ? ( ?2)
n+1

1 ? (1 ? 2n ) ② 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? 2
2 3 n

c 2 [1 ? (c 2 )n ] ③若 c ? 0 c ? 1,则c ? c ? c ? ? ? c ? 且 1 ? c2
2 4 6 2n

剖析公式中 的基本量. 进行正反两 方面的“短、 平、快” 练 习.通过总 结、辨析和 反思,强化 公式的结构 特征.

c2≠1

过程分析
巩 固 提 高 梯 度 化













1 已知 {a n } 是等比数列,请完成下表:
题号 (1) (2) (3) a1
1 2

q
1 2
2 3

n
8

an

Sn

27

8
? 96

?2

? 63

渗透方程思 想.通过公 式的正用和 逆用进一步 提高学生运 用知识的能 力.

a1、q、n、an、Sn中 知三求二

过程分析
巩 固 提 高 梯 度 化












增加思 维的梯 度的同 时,提 高学生 的模式 识别能 力,渗 透转化 思想.

1 1 1 1 2 求等比数列 , , , ? 的第5项到第10项的和. 2 4 8 16
【解法1】此等比数列的第5项到第10项构成一个首项是 a5 ? 15 2

1 1 1 公比为 , ?1 ,项数 ? 的前n项的和. 变式1 求数列 1 q 2 2 ,3 ,4 n,?6 的等比数列
1 2 41 8 16 (1 ? 6 ) 1 1 63 25 2 ? 10 1 S 1 1 11 ? 24 ? 21 ? 1024 ? 解: Sn ? 1 ? 2 ? 3 1? 4 ? ? ? (n ? n ) 2 4 8 2 16 2

1

拓展

拓展 1 2 3 4 反思 a, 【解法2】1a5 , 1 变式2 求数列 ?? ?, a9 ,? 1 10? 的前n项的和. 1 2 ? (1 ? ) ? (2 ? 4) ?83 ? ) ? ? ? (n ? n ) ( 16 2? S ?S 4 8 2 10 4 分组求和 11 1 1 1 1 1 1
? (1 ? 2 ? 3 ? ?? n10 ? ( ?1 ?? 4 )? ? ? n ) (1 ? ) ) ( 2 2 2 ? 2 4 28 2 ? 1 1 n 1 [1 ? n(n ? 1) 1 ?12 ( 2 ) ] 1 ? 2 ? ?2 1 1 2 ? 14 ? 10 ? 63 ? 1024 2 12 n2 ? n 1 2 ? ?1? n 2 2

过程分析
巩 固 提 高 梯 度 化








思考





资料表明,2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t,每吨占地1m2,环保部门每回收或 处理1t废旧物资,相当于消灭4t工业废弃垃 圾.如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资,且以后每年的回收量递增20%. (1)2010年能回收多少吨废旧物资? (2)从2002年到2010年底,可节约土地多少m2?

让学生进 一步认识 到数学来 源于生活 并应用于 生活,生 活中处处 有数学.

过程分析
反 思 提 炼 模 块 化




等比数列的 前n项和公式


q≠1,q=1 分类讨论






形成知 识模块, 从知识 的归纳 延伸到 思想方 法的提 炼,优 化学生 的认知 结构.

乘公比 错位相减

数学 源于生活
? a1 (1 ? q n ) q ?1 ? ? 1? q Sn ? ? ?na q ?1 ? 1 ?

数学 用于生活



? a1 ? a n q ? 1?q Sn ? ? ?na ? 1

q ?1 q ?1

知三求二 方 程 思 想

分组求和 转 化 思 想

过程分析
作 业 布 置 弹 性 化








作业





1、书面作业:
(1) 必做题: 画一个边长为2cm的正方形, 再将这个 正方形各边的中点相连得到第2个正方 形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和 (2) 选做题:

1 2 3 4 求数列 , , , ,? 的前n项的和. 2 4 8 16

使各个层 次的学生 都有所发 展. 介绍 相关网站, 以利于学 生开展研 究性学习, 拓展学生 的视野.

教学说明

弹性化

模块化

反思 提炼

作业 布置





梯度化

教学目标
————————

巩固 提高

创设 情境

生活化

重点难点
引 探
活动化



结构化

辨析 质疑

探究 问题


相关文章:
2.5等比数列的前n项和
2.5等比数列的前n项和 隐藏>> 等比数列的前 n 项和 教学目标:掌握等比数列的...+n n =(1+ )+(2+ )+(3+ )+…+(n+ n ) 2 4 8 2 4 8 2 2...
2.5等比数列的前n项和
2.5等比数列的前n项和_数学_高中教育_教育专区。2.1 等比数列的前 n 项和...1 1 ?an ?的前n项和 S 2和 S3的等差中项, 6是2S 2和3S3的等比中项...
2.5 等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n项和_数学_高中教育_教育专区。高中 数学 精品教案 ...2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式;? 3.用方程的思想认识等比数列前 n 项...
2.5 等比数列前n项和
2.5 等比数列前 n 项和 4、等比数列的前 n 项和 S n 公式: (1)当 q ...{an } 为等比数列 2 (3)通项公式: an ? A ? B n ? A ? B ? 0 ...
2.5等比数列的前n项和
2.5等比数列的前n项和_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 高二数学必修 5 导学案 编号:01 班级: 小组: 姓名: 组内评价: 教师评价: 变式: a1 ? 3 , a5...
2.5等比数列的前n项和(二)
2.5等比数列的前n项和(二)_化学_自然科学_专业资料。沈丘三高高二数学导学案 ...3.等比数列{an}中,若 S6=91,S2=7,求 S4。 4.已知一个项数是偶数的等比...
2.5等比数列的前n项和(二)
2.5等比数列的前n项和(二)_化学_自然科学_专业资料。沈丘三高高二数学学案编制...3.等比数列{an}中,若 S6=91,S2=7,求 S4。 4.已知一个项数是偶数的等比...
2.5.2 等比数列前n项和
2.5.2 等比数列前n项和_天文/地理_自然科学_专业资料。2.5.2 一、学习目标 ...3.类比等差数列的前 n 项和,等比数列的前 n 项和会有怎样的性质? 已知数列...
2.5等比数列前n项和(一)
2.5等比数列前n项和(一)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。数学必修五精品教案...S n = a1 + a 2 + a 3 + ? a n ?S n = a1 + a 2 + a3 +...
2.5等比数列前n项和的性质
2.5等比数列前n项和的性质_数学_高中教育_教育专区。唐山英才国际学校高一数学必修...an ??公比为q?的前n项和的性质: 3、在等比数列 ? 2、设?an ?是由正数...
更多相关标签: