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2015高考数学母题题源系列--专题12 利用函数性质解函数不等式 文(含解析)


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利用函数性质解函数不等式

【母题来源】2015 新课标卷 2 文-12 【母题原题】设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A. ? ,1?

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是( 1 ? x2
? 1 1? ? 3 3?

/>D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ?



?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ? ? ?1, ?? ?

? ?

1? 3?

C. ? ? , ?

? ?

1? ?1 3? ?3

? ?

【答案】A 【考点定位】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法.

【试题解析】 由 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 可知 f ? x ? 是偶函数,且在 ? 0, ?? ? 是增函数, 1 ? x2

所以 f ? x ? ? f ? 2 x ? 1? ? f

? x ? ? f ? 2x ?1 ? ?

x ? 2 x ? 1 ? x 2 ? ? 2 x ? 1? ? 3x 2 ? 4 x +1 ? 0
2

?

1 ? x ? 1 ,故选 A. 3

【命题意图】 本题考查函数性质的综合应用及函数不等式的解法,考查分析问题解决问题的能力及运算能力. 【方法、技巧、规律】 函数不等式的解法通常是利用函数单调性 ,脱去抽象符合“f”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要 先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等,注意本题解法一中用到了偶函数的一个性质,即: f ? x ? ? f 巧妙利用此性质可避免讨论,请同学们认真体会. 【探源、变式、扩展】 根据函数单调性解函数不等式一直是高考中的热点问题,下面给出两道类似的高考试题: 【变式一】 【2009 辽宁理 9】 已知偶函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增,则满足 f ? 2 x ? 1? ? f ? ? 的 x 取值范 围是( A. ? , 【答案】A 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 1 页 ) B. ? ,

? x ?,

?1? ?3?

?1 2? ? ?3 3?

?1 2 ? ? ?3 3 ?

C. ?

?1 2? , ? ?2 3?

D. ? ,

?1 2 ? ? ?2 3 ?

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【变式二】 【2009 天津理 9】 已知函数 f ? x ? ? ? A. ? ??, ?1? ? ? 2, ?? ? 【答案】C B. ? ?1, 2 ?

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ?4 x ? x , x ? 0
2

,若 f 2 ? a 2 ? f ? a ? ,则实数 a 的取值范围 (

?

?



C. ? ?2,1?

D. ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ?

? x3 , x ? 0, 2 1. 【2015 天津武清】已知函数 f ( x) ? ? , 若 f (2 ? x ) ? f ( x) ,则实数 x 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x >0.
A. (??, ?1) ? (2, ??) 【答案】D B. (??, ?2) ? (1, ??) C. (?1, 2) D. (?2,1)



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2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0 2. 【2015 山东烟台】 已知 f ? x ? ? ? 2 ,不等式 f ? x ? a ? ? f ? 2a ? x ? 在 ? a, a ? 1? 上恒成立,则实 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0

数 a 的取值范围是( A. ? ??, ?2 ? 【答案】A

) C. ? 0, 2 ? D. ? ?2, 0 ?

B. ? ??, 0 ?

3. 【2015 江西新余】已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 , x2 ,不等式

x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? ? x1 f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? 恒成立,则不等式 f ?1 ? x ? ? 0 的解集为(
A. (??,0) 【答案】C B. ?0,?? ? C. (??,1) D. ?1,?? ?



?log 2 x, x ? 0 ? 4.. 【2015 广东肇庆高一期末】已知函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 f (? x) ? f ( x) ,则 x 的取值范围是 1 ? ? 2
A. (-∞,-1) ∪(1,+∞) C. (-∞,-1) ∪(0,1) 【答案】C B. (-1,0)∪(0,1) D. (-1,0)∪(1,+∞)

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5. 【2015 甘肃天水】已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点 (1,0) 对称, 若任意的 x 、 y ? R ,不等式 f ( x 2 ? 6 x ? 21) ? f ( y 2 ? 8 y ) ? 0 恒成立,则当 x ? 3 时, x 2 ? y 2 的 取值范围是( )

A. (13, 49) B. (13,34) C. 9, 49 D. 13, 49 【答案】D

(

]

(

]

x 2 ? 1, x ? 0 则满足不等式 f (1 ? x 2 ) ? f (2 x) 的 x 取值范围是( 6. 【2015 北京 66 中】已知函数 f ( x) ? ? ? ?1, x ? 0,



A. (?1, 2 ? 1) 【答案】A

B. (0,

3 ) 2

C.[-1,0.5)

D.(-1,0.5]

2 ? ?? x ? 2 x x ? 0 7. 【2015 山东潍坊】已知函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? a ? ? f ? ?a ? ? 2 f ?1? ,则 a 的取值范围是( 2 ? ?x ? 2x x ? 0



A. ?1, ?? ? 【答案】A

B. ? ??,1?

C. ? ?1,1?

D. ? ?2, 2?

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? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 8.【2015 山东大学附中】设函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ? x ? 6, x ? 0
A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??) 【答案】A B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)



? 2?x 9. 【2015 重庆南开中学】 已知 f ( x) ? ? 2 ?x ? 6x ? 2
A. (?3,? 3 ) C. (??,2 ? 3 ) ? (2 ? 3 ,??) 【答案】D B. (?3,1)

x?0 x?0

,则关于 x 的不等式 f (3 ? x 2 ) ? f (2 x) 的解集为 (



D. (?3,1) ? (2 ? 3 ,??)

综 上知: x ? ( ?3,1) ? ( 2 ? 10 . 【 2015

3,??) ,故选D.
? π? f ( x) ? ? x 3 ? x ? sin x , 当 ? ? ? 0, ? 时 , 恒 有 ? 2?


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f (cos2 ? ? 2m sin? ) ? f (? 2m ? 2)? 0成立,则实数 m 的取值范围(
A. ? ??, ? 【答案】D

? ?

1? 2?

B. ? ??, ? 2

? ?

1? ?

C. ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

D. ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

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