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2015年线性规划与数学建模考查试卷


湖南第一师范学院数学与计算科学学院 2015 年《线性规划与数学建模》考查试题
考查要求:
1. 以下共有 10 题, 任选一题撰写建模论文, 题目自拟, 可以一人单独完成, 也可以 2 人一组(2 人合作的需在第一页说明每个人在完成论文中的分工,成绩 由论文质量与分工任务确定) 。论文要求格式规范,表述清楚,结构完整。 2. 纸质文档+电子文档, 纸质文档的第一页必须写好姓名、 学号、 所选题名。 成绩评定以纸质文档为依据,电子文档主要验证作业的真实性(网上查重,没交 电子文档将扣分) 。 电子文档名称: 班级+2 个人的姓名.doc, 例如: 595 班+张三, 李四.doc。 3. 纸质文档(A4 纸打印)于 7 月 6 日下午 5:00 前以班级为单位上交到任 课教师办公室,规定时间内缺交答卷(纸质文档)者以缺考论处。电子文档以班 级为单位打包发送至邮箱 dysfsxx@126.com。 注意:如有雷同两份答卷同时计 0 分,如查实为抄袭网上已有论文计 0 分。

考查试题(任选一题) : 一、深洞的估算
假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器, 你出于好奇心想 用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度, 假定你捡到一块质量是 1kg 的石 头,并准确的测定出听到回声的时间 T=5S,就下面给定情况,分析这一问题, 给出相应的数学模型,并估计洞深。 1.不计空气阻力; 2. 受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度成正比, 比例系数 k1=0.05; 3.受空气阻力,并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比,比例系数 k2=0.0025; 4.在上述三种情况下,如果再考虑回声传回来所需要的时间。

二、最佳工资预发方案
一般公司给职员发放薪金,通常按每月等额发放。某公司即将改进薪金发 放方案,允许任职 5 年以上的职员向公司财务部门申请工资每月可变额度发放, 每月工资发放额度不超过年收入 20%, 前半年收入不超过年收入的 80%, 剩余部
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分则作为年终奖在年底一次性发放 . 职员们想通过调整每月的预发金额以及年 终一次性发放金额,使得一年内个人的总收益最高. 针对以下各种情况. 1. 请你查阅国家个人所得税税率表, 为薪金年收入分别为 8 万元、 12 万元、 18 万元的职员们设计个人薪金领取方案,合理避税,使得一年的税后收入最高. 2. 该公司部分职员每月可以将 80%收入用于一些投资理财项目, 如某些收益 宝(百赚、余额宝等) 、开放式基金、银行存款、债券、股票等, 请为他们设计 个人薪金领取方案,使其年总收益最高。 注:计税办法请参考 2015 年个人所得税税率标准.

三、排课问题
某年级学生共分四个班, 现需要为其安排下学期课程表(课程开设及任课教 师情况见下表) ,具体要求如下: 1. 每星期一至星期五上午可以安排四节课,下午可以安排两节课,课程安 排均为两节连上; 2. 可用排课教室数为 3 个(D1、D2、D3) ; 3. 同一课程两次课之间至少相隔一天; 4. 每位教师每天上课不超过四节; 5. 周四下午全校政治学习,不安排上课。 课程 B1 B2 B3 B4 B5 周学时 班级 教师 班级 教师 班级 教师 班级 教师 4 4 6 2 4 A1 A1 A1 A1 A1 C1 C2 C3 C5 C5 A2 A2 A2 A2 A2 C1 C2 C3 C6 C6 A3 A3 A3 A3 A3 C1 C2 C4 C5 C5 A4 A4 A4 A4 A4 C1 C2 C4 C6 C6

(1)请给出你认为比较合理的班级课程安排表; (2)如果教师上课节数不做限制,请修改你的模型并重新求解。 (3)如果可用排课教室多于 4 个,请修改你的模型并重新求解。

四、合理采伐问题
为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、 林业资源)的开发必 须适度,一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量 或最佳效益. 现考虑一座林场,种植香樟树,其中的树木按高度划分成不同的等级,当这
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些树木被采伐出售时, 不同的等级有不同的经济价值。取某一适合的时间作为初 始时刻,此时所有的树木,给出一个分布,称之为初始分布。经过一个生长周期 后,树木按高度的分布不同了,然而为了使林场能持续存在,要求经过采伐与栽 种,树木的高度恢复成原来的初始分布。 试建立模型得到既不破坏森林资源,又能给出最优收益的方案。

五、最优订货问题
太原某食品加工厂每星期食用油的消耗量为 80 桶, 每桶食用油的价格是 250 元。在每次采购中发生的运输费用为 500 元,该费用与采购数量的大小无关,每 次采购需要花费 1 小时的时间,工厂要为这 1 小时支付 80 元。订购的食用油可 以即时送达。 工厂财务成本的利率以每年 15%计算, 保存每包食用油的库存成本 为每星期 11 元。 (1) 目前的方案是每次采购够用两个星期的食用油,计算这种方案下的平均 成本。 (2)试建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。 (3) 若食用油供应商为推出促销价格: 当食用油的一次购买量大于 500 桶时, 为 2200 元/桶。建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。

六、酒后驾车
据报载,2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万,其中因饮酒驾车 造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况,国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准,新标 准规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升,小于 80 毫克/百毫升为饮酒驾车(原标准是小于 100 毫克/百毫升) ,血液中的酒精含 量大于或等于 80 毫克/百毫升为醉酒驾车(原标准是大于或等于 100 毫克/百 毫升) 。 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒,下午 6 点检查时符合新的驾车标准,紧接 着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒,为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家,又 一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车, 这让他既懊恼又困惑, 为什么喝同样多的酒, 两次检查结果会不一样呢? 请你参考下面给出的数据 (或自己收集资料)建立饮酒后血液中酒精含量的 数学模型,并讨论以下问题: 1. 对大李碰到的情况做出解释; 2. 在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准,
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在以下情况下回答: 1)酒是在很短时间内喝的; 2)酒是在较长一段时间(比如 2 小时)内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证:如果天天喝酒,是否还能开车? 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文,给想喝一点酒的司机如 何驾车提出忠告。 参考数据 1. 人的体液占人的体重的 65%至 70%,其中血液只占体重的 7%左右;而药 物(包括酒精)在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。 2. 体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后,隔一定时间测量他的血 液中酒精含量(毫克/百毫升) ,得到数据如下:
时间(小时) 酒精含量 时间(小时) 酒精含量

0.25 30 6 38

0.5 68 7 35

0.75 75 8 28

1 82 9 25

1.5 82 10 18

2 77 11 15

2.5 68 12 12

3 68 13 10

3.5 58 14 7

4 51 15 7

4.5 50 16 4

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七、购买电脑问题
现在有四大电脑品牌:联想,清华同方,惠普,戴尔。你要从上面的四大品 牌中购置一台个人电脑。 (1) 考虑功能、价格、质量、售后服务等方面因素,如何作出决策; (2) 如果你比较支持国产品牌,但也不排除选择国外品牌,那么你将如何作 出决策。 功能:联想、戴尔、同方、惠普 价格:戴尔、惠普、联想、同方 质量:惠普、戴尔、联想、同方 售后:联想,同方,戴尔,惠普

八、紧急救援问题
一西部乡镇医院接到一个求救电话,该乡镇比较偏远的一个村庄发生事故, 需要紧急救援。上级领导要求该医院:派 12 名医护人员前往救援,并且要求医 护人员在 3 小时内赶到。该乡镇距离医院 40 公里。该医院只有 1 辆小汽车,连 同司机一次最多拉 5 人(司机不是医护人员) ,汽车的速度为 60 公里/小时,试 研究以下问题: 1.一次一次接送,12 名医疗人员能否全部按时赶到?
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2.为了节省时间,在汽车拉着 4 人走的时候,其余医护人员步行往前赶, 这种方式能否赶到?假定人步行的速度为 5 公里/小时。 3.在没有其它辅助条件的前提下,有没有更快、更保险的方案?

九、地震灾后的物资分配问题
近年来, 我们生活的地球发生了多次大地震, 虽然地震的预测目前比较困难, 但如果在灾后能及时援救, 可以很大程度减少伤亡,其中救援物资的分配非常关 键。 在我国汶川大地震中, 由于物资调配及时, 在很大程度上降低了灾害的影响。 香港《大公报》报道,智利地震后在救援物资的分配上出现了严重不均,最先得 到救援物资的是有钱人和军人家属,穷人因根本分不到物资而苦等或索性抢劫。 而在最近的日本大地震中, 还有一些已经躲过地震及海啸灾难的民众,却因为生 活物资没有分配到位而在避难所死亡。 为研究地震灾害后的物资分配问题,请考虑以下问题: 1. 考虑灾区、受灾者和物资等的不同,建立数学模型制定分配原则并给出 合理的分配方法。 2. 收集各类实际数据,给出一个符合题意的数值算例。 3. 通过以上分析,给出你的量化优化方案及建议。
4.针对今年这次尼帕尔 8.1 级地震波及到西藏等地,请您就西藏的救灾物资

分配给出一个物资分配的意见来支持西藏的救援。 考虑本问题时,你需要注意: 1. 各受灾者的灾情不同,对每种生活类物资的急需程度和需求量不同。而 且各地的灾情在不断发生变化,如何优化方案应对这种变化。 2. 抗震救灾生活类物资应当根据受灾区域大、小受灾程度、人口密度、灾 区群众需求进行分配,保证重点,确保及时、快捷、高效、公开、公平、公正发 放。严禁物资发放中的优亲厚友、性别歧视、年龄歧视和孤残歧视行为,在保障 需求的同时,避免浪费。 3. 数值算例最好采用实际数据,并且请尽量提高数据容量。 4. 可以考虑线性规划、整数规划、多目标规划等各类优化模型。 5. 物资分配中很多主观因素,例如接受意愿、歧视等问题,这些因素能否 考虑到模型中?

十、交通信号灯中黄灯应亮多长时间?
让我们来考虑这样一个问题: 红绿灯在亮红灯之前黄灯应该亮多长时间?在 交通管理中, 定期地亮一段时间的黄灯是为了让那些正行驶在交叉路口上或距交 叉路口太近以致无法停下的车辆通过路口。这样,红绿灯应保持足够长时间的黄
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灯, 便于使那些无法停止的车辆有机会在黄灯期间通过路口。对于一位驶近交叉 路口的驾驶员来说,万万不可处于这样的进退两难的境地:要安全停车,离路口 太近,而要在红灯亮之前通过路口又显得太远。 因此,当车辆驶近交叉路口时,驾驶员看到黄灯亮后,要做出决定:是停车 还是通过路口。如果决定停车,他必须有足够的停车距离;如果决定通过路口, 他必须有足够的时间使他能够安全通过路口,这包括做出停车决定的时间(反应 时间) 。那么,为了保证交通安全,黄灯应亮多长时间呢? 黄灯亮的时间或许与下列因素有关——车辆的行驶速度、交通路口的宽度、 车辆自身的长度、汽车的重量、驾驶员的反映时间和刹车距离。 刹车是一个复杂的过程,为简化计算,可将刹车过程看成抵抗摩擦力(摩擦 力等于摩擦系数乘上汽车的重量) ,将刹车效果用模型来反映。 1.建立一个黄灯亮的时间与上述因素(或部分因素)有关的数学模型,将亮 黄灯的时间长度表示成上述因素(或部分因素)的函数。 2. 如果反应时间是 1s,车辆的平均长度是 4.5m,路口的宽度是 15m,摩擦 系数为 0.2,试分析车辆的行驶速度与亮黄灯时间长度之间的关系。 3. 如果车辆的行驶速度分别为 20km/h、30km/h、40km/h 和 50km/h,黄灯 分别应亮多长时间? 4. 如果轮胎和制动器比较好, 可以看成摩擦系数增加, 如果摩擦系数从 0.2 增加到 0.4 时,请给出问题 3 中亮黄灯的时间长度。 5. 考虑交通状况的不同、驾驶员习惯的不同,假设通过路口的车速在 20~ 50 km/h 之间,且服从均匀分布,请计算亮黄灯的平均时间长度。

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