当前位置:首页 >> 高中教育 >>

浙江省奉化中学高二数学(人教A版)教案+选修4-5+第12课时+几个著名的不等式之——柯西不等式




题: 第 12 课时

几个著名的不等式之一:柯西不等式

目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 除了前面已经介绍的贝努利不等式外,本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不 等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛,而且也是进一步学习数学的重要工具。 1、什么是柯西不等式: 定理 1: (柯西

不等式的代数形式)设 a, b, c, d 均为实数,则

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 ,
其中等号当且仅当 ad ? bc 时成立。 证明:

? 为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量, 几何意义: 设? , 它们的终点分别为 A ( a, b ) , B ( c, d ) ,
那么它们的数量积为 ? ? ? ? ac ? bd , 而 | ? |?

a 2 ? b 2 , | ? |? c 2 ? d 2 ,

所以柯西不等式的几何意义就是: | ? | ? | ? |?| ? ? ? | , 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。 2、定理 2: (柯西不等式的向量形式)设 ? , ? 为平面上的两个向量,则 | ? | ? | ? |?| ? ? ? | ,其中等 号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。 3、定理 3: (三角形不等式)设 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 为任意实数,则:

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x2 ? x3 ) 2 ? ( y 2 ? y3 ) 2 ? ( x1 ? x3 ) 2 ? ( y1 ? y3 ) 2
分析:

1

思考:三角形不等式中等号成立的条件是什么? 4、定理 4: (柯西不等式的推广形式) :设 n 为大于 1 的自然数, ai , bi ( i ? 1,2,…, n )为任意

实数,则:

? ai
i ?1

n

2

? bi ? (? ai bi ) 2 ,其中等号当且仅当
2 i ?1 i ?1

n

n

b b1 b2 ? ? ? ? n 时成立(当 ai ? 0 时,约定 a1 a2 an

。 bi ? 0 , i ? 1,2,…, n ) 证明:构造二次函数: f ( x) ? (a1 x ? b1 ) 2 ? (a2 x ? b2 ) 2 ? ? ? (an x ? bn ) 2 即构造了一个二次函数: f ( x) ? (

?a
i ?1

n

2 i

) x 2 ? 2(? ai bi ) x ? ? bi
i ?1 i ?1

n

n

2

由于对任意实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,则其 ? ? 0 , 即: ? ? 4(

? ai bi ) 2 ? 4(? ai )(? bi ) ? 0 ,
2 2 i ?1 i ?1 i ?1 n 2 n 2

n

n

n

即: (

? aibi )2 ? (? ai )(? bi ) ,
i ?1 i ?1 i ?1

n

等号当且仅当 a1 x ? b1 ? a2 x ? b2 ? ? ? an x ? bn ? 0 ,

即等号当且仅当

b b1 b2 。 ? ? ? ? n 时成立(当 ai ? 0 时,约定 bi ? 0 , i ? 1,2,…, n ) a1 a2 an

如果 a i ( 1 ? i ? n )全为 0,结论显然成立。

柯西不等式有两个很好的变式: 变式 1 设 ai ? R, bi ? 0(i ? 1,2,?, n),
2 (? a i ) 2 ai ? ,等号成立当且仅当 ? i ?1 bi ? bi n

bi ? ?ai (1 ? i ? n)
2 a i (? a i ) ? 变式 2 设 ai , bi 同号且不为 0 ( i=1 , 2 ,…, n ) ,则: ? ,等号成立当且仅当 i ?1 bi ? ai bi n

2

b1 ? b2 ? ? ? bn 。

二、典型例题: 例 1、已知 a 2 ? b 2 ? 1 , x 2 ? y 2 ? 1 ,求证: | ax ? by |? 1 。

2 2 2 2 例 2、设 a, b, c, d ? R ,求证: a ? b ? c ? d ?

(a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 。

例 3、设 ? , ? , ? 为平面上的向量,则 | ? ? ? | ? | ? ? ? |?| ? ? ? | 。

例 4、已知 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: 方法 1:

1 1 1 ? ? ? 9。 a b c

方法 2: (应用柯西不等式)

3

例 5:已知 a1 , a2 ,…, an 为实数,求证: 分析:

?a
i ?1

n

2 i

?

1 n (? a i ) 2 。 n i ?1

推论:在 n 个实数 a1 , a2 ,…, an 的和为定值为 S 时,它们的平方和不小于

1 2 S ,当且仅当 n

1 a1 ? a2 ? ? ? an 时,平方和取最小值 S 2 。 n

三、小结:

四、练习:

1、设 x1,x2,…,xn >0, 则

?
i ?1

n

xi 1 ? xi
n

?

?
i ?1

n

xi

n ?1

xi 2、设 xi ? R (i=1,2,…,n)且 ? ? 1 求证: i ?1 1 ? xi
?

?x
i ?1

n

i

?2

1?i ? j ? n

?x x
i

j



3、设 a 为实常数,试求函数 f ( x) ? sin x(a ? cos x) 4、求函数 f ( x) ? a ? sin x ? b cos x 在 (0,

(x∈R)的最大值.

?
2

) 上的最大值,其中 a,b 为正常数.

五、作业:
2 2 2 2 1、已知: a ? b ? 1 , m ? n ? 2 ,证明: ? 2 ? am ? bn ?

2。
4

提示:本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。 2、若 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z = a , x 2 ? y 2 ? z 2 = 非负实数。 证明:由 z ? a ? x ? y 可得

1 2 2 a (a ? 0) ,求证: x, y, z 都是不大于 a 的 2 3

1 2 a 2 1 2 x 2 ? 2(a ? y ) x ? (a ? y ) 2 ? a 2 ? 0 2
代入 x 2 ? y 2 ? z 2 = ∴△≥0 即 4(a ? y) 2 ? 8? y 2 ? (a ? y) 2 ? a 2 ? ? 0 2 ? ? ∵



x?R

?

1

?

化简可得 : 3 y 2 ? 2ay ? 0 同理可得: 0 ? x ?

a?0
2 a 3

∴0 ? y ?

2 a 3

2 a 3

, 0? z?

由此可见,在平常的解题中,一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用;只要能灵活运 用,就能收到事半功倍的效果。 3、设 a﹐b 为不相等的正數,试证:(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2。

4、设 x,y,z 为正实数,且 x+y+z=10,求

4 1 9 ? ? 的最小值。 x y z

5、设 x,y,z?R,求

2x ? y ? z x 2 ? 2y 2 ? z 2

的最大值。

5

7、设三个正实数 a,b,c 满足 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? 2(a 4 ?b 4 ?c 4 ) ,求证: a,b,c 一定是某三角形的三 边长。 8、求证 n(n ? 3) 个正实数 a1,a2,…,an 满足

(a1 ? a2 ? ?? an ) 2 ? (n ? 1)(a1 ? a2 ? ?? an )
9、已知 x, y, z ? R ? ,且

2

2

2

4

4

4

x2 y2 z2 x ? 1 ?? 求证 : ? ? ? 1。 ?2? x 2? x 2? y 2? z

x2 y2 z2 10、设 x, y, z ? R ,?求证: 2 ? ? ?1。 y ? z 2 ? yz z 2 ? x 2 ? zx x 2 ? y 2 ? xy
?

11、设 x, y, z ? R ,且 x+2y+3z=36,求

?

1 2 3 ? ? 的最小值. x y z

6


相关文章:
高考数学总复习(人教A版)配套教案:选修4-5 第二讲 不等...
高考数学总复习(人教A版)配套教案:选修4-5 第二讲 不等式的证明及著名不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学总复习(人教A版)配套教案 ...
2014年人教A版选修4-5教案 一 不等式(2)——基本不等式
2014年人教A版选修4-5教案不等式(2)——基本不等式_数学_高中教育_教育专区。基本不等式目的要求: 复习与掌握基本不等式及其运用。 重点难点: 利用基本...
新课标人教A版数学选修4-5《不等式选讲》教案
新课标人教A版数学选修4-5不等式选讲》教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区...第 12 课时 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 一...
2012届数学人教A版4-5教案001不等式的基本性质
湖北省阳新县英才高中数学组集体备课教案 4-5 教案 不等式的基本性质备课人 授课班级: 累计课时数: 授课时间: 备课人:闵党生 授课班级: 累计课时数:1 授课时间...
选修4-5 《不等式选讲》全册教案
选修4-5不等式选讲》全册教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。renjiaoban选修4--5 一、课程目标解读 不等式选讲 选修系列 4-5 专题不等式选讲,内容包括...
...《数学归纳法证明不等式》教案 新人教A版选修4-5
数学归纳法证明不等式教案人教A版选修4-5数学归纳法证明不等式教案人教A版选修4-5隐藏>> 第四讲:数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高...
人教A版数学必修五§3.4《基本不等式》第1课时教案
人教A版数学必修五§3.4《基本不等式》第1课时教案_数学_高中教育_教育专区。河北省武邑中学高中数学 §3.4 基本不等式第 1 课时教案人教 A 版 必修 5 ...
2014年人教A版选修4-5教案 二 绝对值不等式(2)——绝对...
2014年人教A版选修4-5教案 二 绝对值不等式(2)——绝对值不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 88份文档 2014全国高考状元联手分享状元笔记 ...
选修4-5_《不等式选讲》全册教案
选修4-5_《不等式选讲》全册教案_数学_高中教育_教育专区。选修4-5_《不等式选讲》全册教案 第一讲 不等式和绝对值不等式 课题:第 01 课时 不等式的基本...
选修4_5-不等式选讲教案
选修4_5-不等式选讲教案_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 180...第四讲《数学归纳法证明... 16页 免费 新课标人教A版数学选修4... 52页 ...
更多相关标签:
浙江省奉化市 | 浙江省奉化中学 | 浙江省宁波市奉化市 | 浙江省奉化市区号 | 浙江省奉化县 | 浙江省宁波市奉化区 | 浙江省奉化县区号 | 浙江省奉化市人民法院 |