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教学设计4 全集与补集


§1.3.1 集合的基本运算(2) 全集与补集
李宁 陕西师范大学附属中学 710061

【教材版本】北师大版 【教材分析】
1.知识内容与结构分析 在研究某些集合的时候,我们往往需要在一定的“范围”内研究,就像在实数范围内和 在有理数范围内分解因式结果不同一样 .这样的“范围”就是我们要引入的“全集”概念. 在此基础上,我们介绍“补集”

的概念,进而指导学生借助 Venn 图进行集合的补集运算. 2.知识学习意义分析 通过本节课的学习, 学生对集合的含义, 集合的关系, 以及集合的运算有了全面的理解. 学生对集合有了完整的认识, 能体会它在描述和解决生活中的问题时的作用, 会灵活应用这 种语言,体会这种语言的价值和作用. 3.教学建议与学法指导 在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能 够用直观图进行求补集的运算.在安排这部分内容时,注重体现逻辑思考的方法,如类比、 归纳等.由于集合经常与以后学习的不等式知识紧密结合,本节对此也应该予以体现.

【学情分析】
通过前面几节内容的学习,学生已经掌握了一些研究集合问题的方法——类比、归纳、 从特殊到一般等思想方法.因此我们可以类比在实数范围内和在有理数范围内分解因式结果 不同这一事实,引入“全集” 、 “补集” ,然后学生通过自主探究,自我总结掌握本节内容. 整个过程应该是顺畅的.但是需要引导学生正确处理一些较复杂的题目求解.我们会举例说 明.

【教学目标】
1.知识与技能 理解在给定集合中一个子集的补集的含义.会借助图形或抽象概括的方法求给定子集的 补集.并能掌握将补集、交集、并集融为一体的集合的求法.
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2.过程与方法 在教学过程中重点指导学生借助于数轴或 Venn 图进行集合的补集运算.体会直观图示 对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想. 3.情态与价值 通过类比、归纳等思维方法的运用,提高学生的抽象概括能力.通过解决问题的过程体 会数学的价值,获得成功的体验.

【重点难点】
1.教学重点:理解在给定集合中一个子集的补集的含义.会求子集的补集. 2.教学难点:有关补集的混合运算.

【教学环境】
◆多媒体教室 ◆课件

【教学思路】
类比初中相关知识, 教学过程按 “类比引入——实例分析——抽象概括——例题研究— —归纳总结”的环节安排.

【教学过程】
一、导入新课
师:相对某个集合 U ,其子集 A 中的元素是 U 中的一部分,那么剩余的元素也应构成 一个集合,这两个集合对于 U 构成了相对的关系,这就验证了“事物都是对立和统一的关 系”.集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.这就是本节课研究的问题 ——全集和补集.

二、新知探究
(一)全集 在研究某些集合时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫做全集, 常用符号 U 表示.全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素. (二)补集: 设 U 是全集, A 是 U 的一个子集(即 A ? U ) ,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的 集合,叫做 U 中子集 A 的补集(如图 1—3—3) ,记作 ? U A ,即
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? ? U A ? ?x | x ?U , 且x ? A
说明:补集的概念必须要有全集的限制. 结论:① A (? U A ) =U , A (? U A )= ? , 痧 U

? UA

A

?

U

A? = A

U 图 1—3—3

②? UU ? ? , ? U? ? U 例如: U ={全班同学} , A ={班上男同学} , B ={班上女同学} 。 我们称 B 是 A 对于全集 U 的补集,记作 B ? ? U A. 请同学们举出类似的例子.

三、例题讲解
例3 试用集合 A, B 的交集、并集、补集分别表示图 1—3—4 中的Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四

个部分所表示的集合.

U
A
Ⅱ Ⅰ Ⅲ

B


图 1—3—4 解 Ⅰ部分: A

B;

Ⅱ部分: A (? ; ) UB Ⅲ部分: B (? ; ) UA Ⅳ部分: ? ( U A 例4 或 . (痧 ) B) U B)( U A

设全集为 R , A ? x x ? 5 , B ? x x ? 3 . 求: (2) A B ;

?

?

?

?

(1) A B ; (3) 痧 R A, RB ;

(痧 ) (4) R A)( R B ( ) (6) ? R A B

(痧 ) (5) R A)( R B ( ) (7) ? R A B

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(1) A B = x x ? 5

?

? ? x x ? 3? = ? x 3 ? x ? 5?

(2) A B = x x ? 5

?

? ? x x ? 3? ? R

(3) 痧 R A ? x ? x ? 5 ,R B ? x x ? 3 (4) = x ?x ? 5 (痧 ) R A)( R B (5) = x ?x ? 5 (痧 ) R A)( R B

?

?

?

?

?

? ? x x ? 3? = ?

?

? ? x x ? 3? = ? x x ? 3 ,或x ? 5?

(6) ? = x x ? 3 ,或x ? 5 ( ) R A B (7) ? =? ( ) R A B

?

?

(①注重借助数轴对集合进行运算; ②利用结果验证基本性质: 痧 R ( A B) ? ( R A) ( R B). R ( A B) ? ( R A) ( R B); 痧

四、巩固练习
1、 设全集 U = {x ? Z | ?1 ? x ? 5} ,A ? {1, 2,5} ,B ? {x ? N | ?1 ? x ? 4} , 则 B ∩? UA= ( )

A . {3}

B . {0,3}

C . {0, 4}

D . {0,3, 4}

2 2、设全集 U ? R , A ? {x ? N |1 ? x ? 10}, B ? {x ? R | x ? x ? 6} ,则下图中阴影表示

的集合为(



A . {2}
3、 P 14 练习

B . {3}

C . {?3, 2}

D . {?2,3}

五、课时小结
本节主要介绍全集与补集,是在子集概念的基础上讲述补集的概念,并介绍了全集的概念. 1.全集是一个相对的概念,它含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素,通常用 “ U ”表示全集.在研究不同问题时,全集也不一定相同. 2.补集也是一个相对的概念,若集合 A 是集合 U 的子集,则 U 中所有不属于 A 的元素 组成的集合称为 U 中子集 A 的补集(余集) ,记作 ? U A ,即 ? U A = {x | x ?U , 且x ? A }. 当

U 不同时,集合 A 的补集也不同.

六、作业
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1、P14 习题 A :

3、4、5

2、思考:习题 B :1、2

【专家点评】 集合的语言表述、集合的符号表示、集合的 Venn 图表示仍然是我们应该关 注的,尤其在新课的教学过程中更是我们要注意渗透的.全集与补集是相对概念, 这一点不仅教师要清楚,还应该引导学生去理解.在理解补集概念时,借助 Venn 图是非常直观的; 在补集计算时,分别引用有限集和无限集的例子也是很有必要 的,在无限集的例题中特别强调“=”是否应该取得是不能忽略的.至于同一个题 目中出现很多小题的情况的利弊, 我认为还是应该根据学生的实际情况来进行判 断.(点评人:陕西师范大学附属中学 王全)

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