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高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析


在基础和跨越间架设金桥
一、选择题

在起步和成功间开辟通道
命题人:代老师 )

起航教育正弦定理、余弦定理水平测试题
1.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac,则角 B 的值为( π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 2.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为 A.75° B.60° C.45° D.30° ) (

)

3.(2010· 上海高考)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC ( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ( D. 7 8

4.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为 5 3 3 A. B. C. 18 4 2

)

5.(2010· 湖南高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° ,c= 2a,则 A.a>b 二、填空题 6.△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,已知 a= 3,b=3,C=30° ,则 A=________. 7.(2010· 山东高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sin B+cos B = 2,则角 A 的大小为________. 8.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为 ________. 三、解答题 9.△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.若 a2-c2=2b,且 sin B=4cos Asin C,求 b. B.a<b C.a=b ( D.a 与 b 大小不能确定 )

10.在△ABC 中,已知 a2+b2=c2+ab. (1)求角 C 的大小; 3 (2)又若 sin Asin B= ,判断△ABC 的形状. 4

11.(2010· 浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 3 且 S= (a2+b2-c2). 4 (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A+sin B 的最大值.

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在基础和跨越间架设金桥

在起步和成功间开辟通道
) .

正弦定理和余弦定理同步练习
1. 在某次测量中, A 处测得同一方向的 B 点的仰角为 60°, 点的俯角为 70°, 在 C 则∠BAC 等于 ( A.10° B.50° C.120° D.130° 2.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°,则塔高( )
400 ? A. 3 米?
400 3 B. 3 米

C.200 3 米? D.200 米

3.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰好 3 km,那 么 x 的值为 A. 3 ( B.2 3 ) C.2 3 或 3 D.3

4. 有 一 长 为 1 公 里 的 斜 坡 , 它 的 倾 斜 角 为 20 ° , 现 要 将 倾 斜 角 改 为 10 ° , 则 坡 底 要 伸 长 ( ) A.1 公里 B.sin10°公里 C.cos10°公里 D.cos20°公里 5.一树干被台风吹断折成与地面成 30°角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,则树干原来的高度 为 .? 6. 某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°距离为 10 海里的 C 处, 此时得知, 该渔船沿北偏东 105° 方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到达渔船的最短时间是
C

B A 7.如图,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸标记物 C,测得∠CAB=30°,∠ C

.?

A C

CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为 .

8. 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60 方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船向正北方向行驶,若 甲船的速度是乙船的 3 倍,问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船?相遇时乙船已行驶多少海 里?

?

9.在奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成 15°方向 把球击出,根据经验,通常情况下,球速为游击手最大跑速的 4 倍,问按这样布置,游击手能否接着 球?

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在基础和跨越间架设金桥
2 2 2

在起步和成功间开辟通道

答案及解析
a +c -b 3 π 1. 【解析】由余弦定理 cos B= ,由 a2+c2-b2= 3ac,∴cos B= ,又 0<B<π,∴B= . 2ac 2 6 【答案】A 1 3 2. 【解析】S△ABC= ×3×4sin C=3 3,∴sin C= . ∵△ABC 是锐角三角形,∴C=60° . 2 2 【答案】B 3. 【解析】由 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,得 a∶b∶c=5∶11∶13,不妨令 a=5,b=11,c=13. ∴c2>a2+b2=52+112=146,∴c2>a2+b2,根据余弦定理,易知△ABC 为钝角三角形. 【答案】C 4. 【解析】不妨设底面边长为 1,则两腰长的和为 4,一个腰长为 2,由余弦定理得顶角的余弦值为 22+22-12 7 = . 8 2×2×2 【答案】D 5. 【解析】∵∠C=120° ,c= 2a,∴由余弦定理,得( 2a)2=a2+b2-2abcos 120° ,故 ab=a2-b2= (a-b)(a+b)>0,∴a-b>0,故 a>b. 【答案】A 6. 【解析】∵c2=a2+b2-2abcos C=3,∴c= 3,∴a=c,则 A=C=30° . 【答案】30° π π π a b 1 7. 【解析】∵sin B+cos B= 2sin(B+ )= 2,∴sin(B+ )=1,∴B= . 又 = ,得 sin A= , 4 4 4 sin A sin B 2 π A= . 6 π 【答案】 6 π 1 8. 【解析】∵A,B,C 成等差数列,且 A+B+C=π,∴2B=A+C,∴B= ,又 BD= BC=2, 3 2 ∴在△ABD 中,AD= AB2+BD2-2AB· BDcos B= 3. 【答案】 3 b c 9. 【解析】法一 ∵sin B=4cos Asin C,由正弦定理,得 =4cos A ,∴b=4ccos A,由余弦定理 2R 2R b2+c2-a2 得 b=4c· ,∴b2=2(b2+c2-a2),∴b2=2(b2-2b),∴b=4. 2bc 法二 由余弦定理,得 a2-c2=b2-2bccos A,∵a2-c2=2b,b≠0,∴b=2ccos A+2,① b sin B sin B 由正弦定理,得 = ,又由已知得, =4cos A,∴b=4ccos A.② c sin C sin C 解①②得 b=4. a2+b2-c2 ab 1 π 10. 【解析】(1)由题设得 a2+b2-c2=ab,∴cos C= = = ,又 C∈(0,π),∴C= . 2ab 2ab 2 3 2 1 1 3 (2)由(1)知 A+B= π,∴cos(A+B)=- ,即 cos Acos B-sin Asin B=- . 又 sin Asin B= , 3 2 2 4 3 1 1 ∴cos Acos B= - = ,从而 cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B=1,由 A,B∈(0,π),∴A-B=0,即 A=B, 4 2 4 从而△ABC 为等边三角形. 1 3 π 11. 【解析】(1)由题意可知 absin C= · 2abcos C,所以 tan C= 3. 因 0<C<π,故 C= . 2 4 3 2π 3 1 (2)由已知 sin A+sin B=sin A+sin(π-C-A)=sin A+sin( -A)=sin A+ cos A+ sin A 3 2 2 π π 2π π π 5π π π π π = 3sin(A+ ),∵C= ,∴0<A< ,∴ <A+ < ,∴当 A+ = ,即 A= 时, 3sin(A+ ) 6 3 3 6 6 6 6 2 3 6 取最大值 3. ∴sin A+sin B 的最大值为 3.

参考答案 1.D 2.A

3.C

4.A

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在基础和跨越间架设金桥
5. 20 3 米
2 6. 3 小时

在起步和成功间开辟通道

7. 60m

8.设两船在 C 处相遇,并设 ?CAB ? ? ,乙船行驶距离为 x 海里,则 AC ? 3 x 海里.
sin ? ? BC sin120? 1 ? ? AC 2 ,∴ ? ? 30 ,

由正弦定理得
BC ?

从而 答:

AB ? sin 120? 1 AB ? sin ? a sin 30? ? BC ? ? ?a AC 2 ∴ ? ? 30? ,于是得 sin ?ACB sin 30? (海里) .
?

甲船应取北偏东 30 方向前进才能尽快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了 a 海里.

9.解:如图:设接球点为 B,O 为守垒,A 为游击手出发点
OB AB ? sin ?OAB sin15? ,
sin ?OAB ? OB ? sin15? AB vt 6 ? 2 ? ? ? 6 ? 2 ? 1, vt 4 4
A

B
15°

O

故不能接着球.

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