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2013新课标高考押题卷文科数学


绝密★启用前

2013 届模拟考试 文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形

码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。

第I卷
一、 选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 若集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B 为 A. {x | 1 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | x ? 2} D. {x | x ? 1}

2.已知 m, n 为直线, ? , ? 为平面,给出下列命题:

?m ? ? ①? ? n / /? ?m ? n
③?

?m ? ? ? ② ?n ? ? ? m / / n ?? / / ? ?
④?

?m ? ? ? ? / /? ?m ? ?
B.③④

?m ? ? ? m / /n ?n ? ?
D.①②③④

其中的正确命题序号是 A.②③ C.①④

1

3. 已知等比数列 {an } 中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2

a ? a10 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 9 ? 2 a7 ? a8
D. 3 ? 2 2

C. 3 ? 2 2

4. 函数 y ? sin(? x ? ?) (? ? 0 且 ? ?

?

? 2? ) 在区间 [ , ] 上单调递减, 且函数值从 1 减小 2 6 3

到 ?1 ,那么此函数图像与 y 轴交点的纵坐标为 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

6? 2 4

5. 右面的程序框图输出的结果为 A.62 B. 126 C. 254 D. 510

6. 已知命题 p : ?x ? R,使得x+

1 ? 2, x

命题q : ?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ,下列结论正确的是
A.命题“ p ? q ”是真命题 C. 命题“ p ? (?q ) ”是真命题 7.已知双曲线 B. 命题“ ?P) ? q ”是真命题 ( D. 命题“ (?p) ? (?q) ”是真命题

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲线右支上一点, a 2 b2

????? ???? ???? ? F1 F2 在F1 P 上的投影的大小恰好为 | F1 P | 且它们的夹角为 ,则双曲线的离心率 e 为 6
A.

2 ?1 2
1? x2

B.

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

8.函数 f ( x) ? e

的部分图象大致是

9. △ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 sinA=

1 ,b= 3 sinB,则 a 等于 3
D.

A. 3 3

B. 3

C.
2

3 2
2

3 3

10.以坐标轴为对称轴,原点为顶点,且过圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 圆心的抛物线方程是 A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2 2

B. y ? 3x

2

C. y ? ?9x 或 y ? 3x

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

11. 已知 x 、 y 取值如下表:
2

x
y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3

? 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95x ? a ,则 a ?
A. 1.30 B. 1.45 C. 1.65 D. 1.80

12. 已知有穷数列 A: a1 , a2 ,? ? ?, an ( n ? 2, n ? N ).定义如下操作过程 T:从 A 中任取两 项 ai , a j ,将

ai ? a j 1 ? ai a j

的值添在 A 的最后, 然后删除 ai , a j ,这样得到一系列 n ? 1 项的新

数列 A1 (约定:一个数也视作数列);对 A1 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系

? 列 n ? 2 项的新数列 A2, 如此经过 k 次操作后得到的新数列记作 Ak . 设 A:
则 A3 的可能结果是???? A. 0 B.

5 3 1 1 , , , , 7 4 2 3

3 4

C.

1 3

D.

1 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 若 z1 ? a ? 3i , z2 ? 3 ? 4 i ,且 则实数 a ? . 2

z1 为纯虚数, z2

2 2

14. 一个空间几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则该几何体的体积为
2 2

cm 3 .

15. 若曲线 y ? x 在点 (a, a )(a ? 0) 处的切线与两个 坐标轴围成的三角形的面积为 2,则 a 等于_________.
?x ? 2y ? 3 ? 0 ? 16. 设 x、y 满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by (其中 a ? 0, b ? 0 ) 的最 ?y ? 0 ?

大值为 3,则

1 2 ? 的最小值为___________. a b

三、解答题:解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,记 ?BAC ? x (角的单位是弧度制), ?ABC 的面积为 S,且 ??? ??? ? ? AB ? AC ? 8,4 ? S ? 4 3 .

3

(1)求 x 的取值范围; (2)就(1)中 x 的取值范围,求函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 的最大值、最小值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , AD ? 2 , E 为 AB 的中点,现将△ ADE 沿直线 DE 翻折成△ A?DE ,使平面 A?DE ⊥平面 BCDE , F 为线段 A?D 的中点. (1)求证: EF ∥平面 A?BC ; (2)求三棱锥 A'?BCE 的体积.
F A'

D

C
D C

A

E

B
E B

19. (本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1, 2,…,8 ,其中 ξ ? 5 为标准

A ,ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准 B 生产
该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准.从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应 的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数

3 ? ξ ? 5 的为三等品.
(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率.

20.(本小题共 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) , M 为椭圆的上顶点, O 为坐 a2 b2

4

标原点,且△ OMF 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A , B 两点,设两直线的斜率分别为 k 1 ,

1 . k 2 ,且 k1 ? k2 ? 8 ,证明:直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) 2
21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? xe x , g ( x) ? ax2 ? x. (I)若 f (x) 与 g (x) 具有完全相同的单调区间,求 a 的值; (Ⅱ)若当 x ? 0 时恒有 f ( x) ? g ( x), 求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB, ⊙O 交直线 OB 于 E、D。 (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线;

E O D A C B

1 (Ⅱ)若 tan ?CED ? , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长。 2
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.

直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程

? 3 t ? x ? ?2 ? ? 2 (t 为参数) 为 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的方程为 ? ,直线 l 与曲线 C 的公共点为 T。 ?y ? 1 t ? ? 2
(1)求点 T 的极坐标; (2)过点 T 作直线 l ', l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ' 的极 坐标方程。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x ) =|x|+2|x-a|(a>0) . (I)当 a=l 时,解不等式 f ( x ) ≤4; (II)若 f ( x ) ≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围

5

2013 届模拟考试数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 D 6 A 7 C 8 C 9 D 10 D 11 B 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 8 13. -4 14. 15. 2 16. 3 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分

AC 17.解 (1)∵ ?BAC ? x, ? AB ? 8 , 4 ? S ? 4 3 ,
又S ?

??? ??? ? ?

1 bc sin x , 2
???????4 分 ???7 分

∴ bc cos x ? 8,S ? 4 tan x ,即

1 ? tan x ? 3 . ? ? ∴所求的 x 的取值范围是 ? x ? . 4 3 ? ? (2)∵ ? x ? , 4 3
f ( x) ? 3 sin 2x ? cos 2 x

? 2sin(2 x ? ), 6


?

9分 ???10 分 ???12 分

2? ? 5? 1 ? 3 ? 2x ? ? , ? sin(2 x ? ) ? . 3 6 6 2 6 2

3 4 ?C 的中点 M ,连接 MF , MB , 则 FM ∥ DC , ' 18. (I)证明:取 A A 1 1 F 且 FM = DC ,又 EB ∥ DC ,且 EB = DC ,从而有 2 2 D FM // EB,所以四边形 EBMF 为平行四边形,
故有 EF // MB , 又 EF ? 平面 A?BC , MB 所以 EF ∥平面 A?BC . (II)过 A? 作 A?S ? DE , S 为垂足, 因为平面 A?DE ⊥平面 BCDE ,且面 A?DE ? 平面
D

∴ f ( x) min ? f ( ) ? 1,f ( x) max ? f ( ) ? 3 .

?

?

M C

?????4 分

A'

? 平面 A?BC ,
??????6 分
F

E

B

C

BCDE = DE ,所以 A?S ⊥平面 BCDE ,??????8 分

A?S ? 2 ,又错误!未找到引用源。 ,
所以错误!未找到引用源。 件. ??????12 分 ????3 分
E B

19.【解析】 (1)由样本数据知,30 件产品中,一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等品有 15

6

6 ? 0.2 , 30 故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2 , ???4 分 9 ? 0.3 ,故估计该厂产品的二等品率为 0.3 , ?5 分 二等品的频率为 30 15 ? 0.5 ,故估计该厂产品的三等品率为 0.5 .?6 分 三等品的频率为 30
∴样本中一等品的频率为 (2)样本中一等品有 6 件,其中等级系数为 7 的有 3 件,等级系数为 8 的也有 3 件, ????????7 分 记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 C1 、C2 、 C3 ,等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P1 、

P2 、 P ,则从样本的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为: 3

(C1 ,C2)(C1 ,C3 , C1 , P) (C1 , P2 , C1 , P3 , C2 ,C3 , C2 , P) )( , )( )( )( 1 , 1 , (C2 , P2 , C2 , P3 , C3 , P) (C3 , P2 , C3 , P3 , ( P , P2 ),(P1 , P3 (P2 , P3 , 共 15 )( )( )( ) 1 ) ) 1 ,
种, ????10 分

20.解: (Ⅰ)由△ OMF 是等腰直角三角形,得 b ? 1 , a ? 故椭圆方程为

2b ? 2 ,
????5 分

x2 ? y2 ? 1. 2

(Ⅱ)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?2 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? x2 y2 ? ? ? 1, 得 1 ? 2k 2 x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 . 由 ?8 ? ? 4 ? y ? kx ? m, ?
则 x1 ? x2 ? ?

???7 分

4km 2m 2 ? 8 , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y ? 2 y2 ? 2 由已知 1 ? ?8, x1 x2
kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 ? ?8, x1 x2 x ? x2 即 2k ? ? m ? 2 ? 1 ???10 分 ? 8. x1 x2 mk 1 ? 4 ,整理得 m ? k ? 2 . 所以 k ? m?2 2 1 1 故直线 AB 的方程为 y ? kx ? k ? 2 ,即 y ? k ( x ? ) ? 2 . 2 2
所以

7

1 ,? 2 ) . 2 若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x ? x0 ,
所以直线 AB 过定点( ? 设 A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) , 由已知

???11 分

y0 ? 2 ? y0 ? 2 ? ?8, x0 x0 1 1 1 得 x0 ? ? .此时 AB 方程为 x ? ? ,显然过点( ? , ? 2 ) . 2 2 2 1 综上,直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) . ???12 分 2 21.解: (I) f‘ ( x) ? e x ? xe x ? (1 ? x)e x ,???2 分 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0, f (x) 在 (??,?1) 内单调递减; / 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0, f (x) 在 (?1,??) 内单调递增. ???4 分 1 / / 又 g ( x) ? 2ax ? 1, 由 g (?1) ? ?2a ? 1 ? 0 得 a ? . 2 1 2 1 1 2 此时 g ( x) ? x ? x ? ( x ? 1) ? , 2 2 2 1 显然 g (x) 在 (??,?1) 内单调递减,在 (?1,??) 内单调递增,故 a ? .???6 分 2 x (II)由 f ( x) ? g ( x) ,得 f ( x) ? g ( x) ? x(e ? ax ? 1) ? 0 .???7 分
令 F ( x) ? e x ? ax ? 1,则 F / ( x) ? e x ? a .???8 分

? x ? 0 ,? F ( x) ? e x ? a ? 1 ? a .
/ 若 a ? 1 ,则当 x ? (0 ? ?) 时, F ( x) ? 0 , F (x) 为增函数,而 F (0) ? 0 ,

从而当 x ? 0, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ;???10 分
/ 若 a ? 1 ,则当 x ? (0, ln a) 时, F ( x) ? 0 , F (x) 为减函数,而 F (0) ? 0 ,

从而当 x ? (0, ln a) 时 F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ,则 f ( x) ? g ( x) 不成立. 综上, a 的取值范围为 (??,1] .???12 分 22.(Ⅰ)如图,连接 OC,∵ OA=OB,CA=CB,∴ OC⊥AB,∴ AB 是⊙O 的切线 (Ⅱ)∵ ED 是直径, ∴ ∠ECD=90°,Rt△BCD 中, ∵ tan∠CED=

1 CD 1 , ∴ = , ∵ AB 是⊙O 的切线, 2 EC 2

∴ ∠BCD=∠E,又 ∵ ∠CBD=∠EBC,∴ △BCD∽△BEC, ∴

BD CD 1 = = , 设 BD=x,则 BC=2x, BC EC 2
2

又 BC =BD·BE, ∴ (2 x) =x· x+6) ( , 解得:x1=0,x2=2, ∵ BD=x>0, ∴ BD=2, ∴ OA=OB=BD+OD=3+2=5 ?

2

8

23.

? ?2-3x,x<0, 24.(Ⅰ) f ( x ) =|x|+2|x-1|=?2-x, 0≤x≤1, ? ?3x-2,x>1.
当 x<0 时,由 2-3x≤4,得- 2 ≤x<0;当 0≤x≤1 时,1≤2-x≤2; 3 2 ,2]. 3

当 x>1 时,由 3x-2≤4,得 1<x≤2.综上,不等式 f ( x ) ≤4 的解集为[-

?2a-3x,x<0, ? (Ⅱ) f ( x ) =|x|+2|x-a|=?2a-x,0≤x≤a,可见, f ( x ) 在(-∞,a]单调递减,在 ? ?3x-2a,x>a.
(a,+∞)单调递增.当 x=a 时, f ( x ) 取最小值 a.所以,a 取值范围为[4,+∞).

9


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