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湖南省衡阳市八中2011届高三第五次月考试题(数学文)


衡阳市八中 2011 届高三第五次月考试题 数学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1 . 幂 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 经 过 点 ( , 4) , 则 f ( ) 的 值 为
2 3 1 1

(

) A.

1 B.4 C.9 D.16

2 . 若 集 合 A ? { 0 , m 2 } , B ? {1 , 2 } , 则 “ m ? 1 ” 是 “ A ? B ? { 0 , 1 , 2 } ” 的 ( ) A.充要条件 C.必要不充分条件 件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条

3.如图,下列四个几何体中,它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且 仅 有 两 个 相 同 的 是 ( )

(1)棱长为 2 的正方体

(2)底面直径和高均为 2 的圆柱

(3)底面直径和高均为 2 的圆锥

(4)长、宽、高分别为 2、3、4 的长方体

A. (1) (2) (4) 4 ( . ) A.锐角三角形 角三角形 在

B. (1) (3)

C. (2) (3)

D. (1)

??? ? ??? ??? ? ? ? A B C 中 , 若 A B ? ( A B ? B C ) ? 0, 则 ? A B C



B.直角三角形

C.钝角三角形

D. 等 腰 直

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5. 已知曲线 C 的参数方程是 ? 则 实 ( ) A. a≥2 <0 数

? x ? a ? 2 co s ? ? y ? 2 sin ?

(θ 为参数), 曲线 C 不经过第二象限, 取 值 C. a≥1 范 围 是 D. a

a B. a>3



6.定义在 [ ? 2, 2] 的函数满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,且在 [0 , 2 ] 上是增函数,若
f (1 ? m ) ? f ( m ) 成立,则实数

m 的取值范围是
1 2 1 2

(
1 2

)
? B. 1 ? m ? 3

A. ? m ? 2

? C. 1 ? m ?

m D. ?

7 . 已 知 a ?1 , b ?1 , 且 ( ) A.有最大值 e 小值 e

1 4

ln a



1 4

, ln b 成 等 比 数 列 , 则 a b

B.有最小值 e

C.有最大值 e

D.有最

8.已知双曲线 C: x 2 ?

y b

2 2

? 1 ( b ? 0 ) ,过点

M(1,1)能作直线 l 交双曲线 C 于 A、

B 两 点 , 使 得 M 是 线 段 AB 的 中 点 , 则 实 数 b 取 值 范 围 为 : ( ) A. (1, 2 ) D. (1, ?? ) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上. 9.已知: | a |? 1, | b |? 2, ? a , b ? ? 60 ? , 则 | a ? b | = 10.已知抛物线 C:y=x2,则抛物线 C 准线方程为:
? ? ? ? ? ?

B. ( ? 1, 0) ? (0,1)

C. (0,1)

。 。

11.某工厂生产 A、B、 三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为 2∶3∶5, C 现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 16 件, 那么此样本的容量 n=______.

第 2 页 共 14 页

12.函数 y ? sin x ? cos x 在 [0, ? ] 上的单调增区间是:



b 13 . 直 线 y ? k x? 与 曲 线

y?

3

x?

a1?相 x

切于点(2,3) 则 b 的值 ,

为:

.

14.由曲线 y ? x , y ? ? x , x ? 2 , x ? ? 2 围成的图形 绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V 1 ;满足
x ? y ?4
2 2

, x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 的点组

成的图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为
V2

,试写出 V 1 与 V 2 的一个关系式 V 1 : V 2 =
? 是各项均为正整数的等差数列,公差 d



15.已知数列 ?

an

?N

*

,且 ?

an

? 中任意

两项之和也是该数列中的一项. (1)若 a1 ? 4 ,则 d 的取值集合为 ; . (2)若 a1 ? 2 m ( m ? N ? ) ,则 d 的所有可能取值的和为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 16.在 ? A B C 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .若 co s C ? ?
5 5

2 10



co s B ?

.
2

(1)求 co s A 的值; (2)若 a ?

,求 ? A B C 的面积.

17.某高校 2010 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按 成绩分组:第 1 组[160,165) ,第 2 组[165,170) ,第 3 组[170,175) ,第 4 组[175,180) ,第 5 组[180,185)得到的频率分布直方图如图所示。 ⑴求第 3、4、5 组的频率;

第 3 页 共 14 页

⑵为了能选拔出最优秀的学生, 该校决定在笔试成绩 高的第 3、 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第 4、 二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进 入第二轮面试? ⑶在⑵的前提下, 学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求:第 4 组至少有一名 学生被甲考官面试的概率?

18. 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD,AB= AD=2PA, E、F 分别是 PB、PC 的中点. ⑴证明:EF∥平面 PAD; ⑵求直线 CE 与直线 PD 所成角的余弦值.

19.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表: 甲 乙 丙 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 60 80 70 40 40 50

11 9 4 成本(元/kg) 现分别用甲、乙、丙三种食物配成 10kg 混合食物,并使混合食物内至少含 有 560 单位维生素 A 和 630 单位维生素 B. ⑴若混合食物中恰含 580 单位维生素 A 和 660 单位维生素 B, 求混合食物的 成本为多少元? ⑵分别用甲、乙、丙三种食物各多少千克,才能使混合食物的成本最低?最 低成本为多少元?
第 4 页 共 14 页

20. 已知数列 { a n }的 前 n 项 和 为 S n , 且对任意正整数 n 总 有 S n ? p ( a n ? 1)(p 为常数, 且 p ? 0, p ? 1 ) ,数列 {b n }满 足 b n ? kn ? q (q 为常数) ⑴求数列 { a n } 的首项 a 1 及通项公式(用 p 表示) ; ⑵若恰好存在唯一实数 p 使得 a1 ? b1 , a 3 ? b3 , 求实数 k 的取值的集合。

21.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

?a

? b ? 0 ? 和圆 O

:x 2 ? y 2 ? b 2 ,

过椭圆上一点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别为
A,B



⑴①若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e ; ②若椭圆上存在点 P ,使得 ? A P B ? 90 ? ,求椭圆离 心率 e 的取值范围; ⑵设直线 A B 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M , N ,求证:
a
2 2

?

b

2 2

为定值.

ON

OM

衡阳市八中 2011 届高三第五次月考试题 数学(文科) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1 . 幂 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 经 过 点 ( , 4) , 则 f ( ) 的 值 为
2 3 1 1

( C ) A. 1 B.4 C.9 D.16

2 . 若 集 合 A ? { 0 , m 2 } , B ? {1 , 2 } , 则 “ m ? 1 ” 是 “ A ? B ? { 0 , 1 , 2 } ” 的
第 5 页 共 14 页

( B ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 3.如图,下列四个几何体中,它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且 仅 有 两 个 相 同 的 是 ( C )

(1)棱长为 2 的正方体

(2)底面直径和高均为 2 的圆柱

(3)底面直径和高均为 2 的圆锥

A. (1) (2) 4 . ( B ) A.锐角三角形 角形

B. (1) (3) 在

??? ??? ??? 2 ? ? ? ? A B C 中 , 若 A B ? B C ? A B ? 0, 则 ? A B C

C. (2) (3)

D. (4) (1) 是

B.直角三角形
? x ? a ? 2 co s ? ? y ? 2 sin ?

C.钝角三角形

D. 等腰直角三

5. 已知曲线 C 的参数方程是 ? 则 实 ( A ) A. a≥2 0 数 a

(θ 为参数), 曲线 C 不经过第二象限, 取 值 C. a≥1 范 围 是 D. a<



B. a>3

] 6 . 定 义 在 [ ? 2 , 2 ] 函 数 满 足 f ( ? x ) ? ? f ( x ), 且 在 [ 0 , 2 上 是 增 函 数 , 若 的 f ( 1? m )? f (m )













m
1 2













( A ) A.
1 2 ? m ? 2

B. ? 1 ? m ? 3
1 4

C. ? 1 ? m ?
ln a

D. m ?

1 2

7 . 已 知 a ?1 , b ?1 , 且 ( B ) A.有最大值 e 值 e



1 4

, ln b 成 等 比 数 列 , 则 a b

B.有最小值 e

C.有最大值 e

D.有最小

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8.已知双曲线 C: x 2 ?

y b

2 2

? 1 ( b ? 0 ) ,过点

M(1,1)能作直线 l 交双曲线 C 于 A、

B 两 点 , 使 得 M 是 线 段 AB 的 中 点 , 则 实 数 b 取 值 范 围 为 : ( C ) A. (1, 2 ) B. ( ? 1, 0) ? (0,1) C. (0,1) D. (1, ?? )

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上. 9.已知: | a |? 1, | b |? 2, ? a , b ? ? 6 0 ? , 则 | a ? b | = 10.已知抛物线 C:y=x2,则抛物线 C 准线方程为:
? ? ? ? ? ?

。答案: 7 。答案: y ? ?
1 4

11.某工厂生产 A、B、 三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为 2∶3∶5, C 现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 16 件,那么 此样本的容量 n=______. 答案:80 12.函数 y ? sin x ? cos x 在 [0, ? ] 上的单调增区间是: 。答案:[0, ]
4

?

13. 直线 y ? kx ? b 与 曲 线 y ? x 3 ? a x ? 1 相切于点 (2, , b 的值为: 3) 则 案:—15 14.由曲线 y ? x , y ? ? x , x ? 2 , x ? ? 2 围成的图形 绕
2

. 答

y

轴 旋 转 一 周 所 得 的 旋 转 体 的 体 积 为 V1 ; 满 足
2

x ? y ?4

, x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 的点组成的

图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V 2 ,试写出
V1 与V 2

的一个关系式 V 1 : V 2 =
an

。 答案: 4:3
?N
*

15.已知数列 ?

? 是各项均为正整数的等差数列,公差 d

,且 ?

an

? 中任意

两项之和也是该数列中的一项. (1)若 a1 ? 4 ,则 d 的取值集合为 ; . (2)若 a1 ? 2 m ( m ? N ? ) ,则 d 的所有可能取值的和为 答案: (1) ? 1 , 2 , 4 ? ; (2) 2 m ? 1 ? 1 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 16.在 ? A B C 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .若 co s C ? ?
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2 10



co s B ?

5 5

.
2

(1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 解: (1)? co s( A ? B ) ? ? co s C ?
? co s A ? co s[( A ? B ) ? B ] ? ? co s 2 A ? 2 co s A ? 1 ? 2 ? (
2

,求 ? A B C 的面积.

2 10 2 10 ?
2

5 5

? 4 5

7 2 10

?

2 5 5

?

3 10 10

3 10 10

) ?1 ?

??????????????6

分 (2)? co s A ?
3 10 10

,? sin A ?

10 10

?

2 1 0 1 0

?

b 2 5

, ?b ? 4.
5

? S ?ABC ?

1 2

a b sin C ?

1 2

?

2 ?4?

7 2 10

?

14 5

??????????????

12 分 17. 某高校 2010 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组:第 1 组[160,165) , 第 2 组[165, 170) 第 3 组[170, , 175) 第 4 组[175, , 180) , 第 5 组[180,185)得到的频率分布直方图如图所示。 ⑴求第 3、4、5 组的频率; ⑵为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高 的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮 面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二 轮面试? ⑶在⑵的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求:第 4 组至少有一名学生 被甲考官面试的概率?

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18. 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD,AB= AD=2PA, E、F 分别是 PB、PC 的中点. ⑴证明:EF∥平面 PAD; ⑵求直线 CE 与直线 PD 所成角的余弦值. 解: (Ⅰ) 在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴ EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连结 BD,取 BD 中点 G,连结 EG,CG,EC, 则 设 AB= AD=2PA=2

P
EG= PD=
2 1

5 2



E
第 9 页 共 14 页

F A D G C

B

CG= 2 ,CE=

21 2
CE ? GE ? CG
2 2 2

∴ co s ? C E G ?

2C E ? G E

?

3 105 35

,

∴直线 CE 与直线 PD 所成角的余弦值

3 105 35



19.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表: 甲 乙 丙 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 60 80 70 40 40 50

11 9 4 成本(元/kg) 现分别用甲、乙、丙三种食物配成 10kg 混合食物,并使混合食物内至少含有 560 单位维生素 A 和 630 单位维生素 B. ⑴若混合食物中恰含 580 单位维生素 A 和 660 单位维生素 B, 求混合食物的成本 为多少元? ⑵分别用甲、乙、丙三种食物各多少千克,才能使混合食物的成本最低?最低成 本为多少元? 【解】解法一:设分别用甲、乙、丙三种食物 xkg,ykg,zkg,混合食物的成本 为 p 元,则(Ⅰ)依题意得 (2 分) 由 此 解 得 x (4 分) 故 混 合 食 物 的 成 本 为 (5 分) (II)
? x ? y ? z ? 10 ? ?60 x ? 70 y ? 40 z ? 560 ? ?8 0 x ? 4 0 y ? 5 0 z ? 6 3 0 ? x ? 0, y ? 0, z ? 0 ?
? x ? y ? z ? 10 ? ?60 x ? 70 y ? 40 z ? 580 ?80 x ? 40 y ? 50 z ? 660 ?

,即

? z ? 10 ? x ? y ? ?2 x ? 3 y ? 18 ?3 x ? y ? 16 ?

.



6



y



z



2.

6 × 11 + 2 × 9 + 2 × 4 = 92( 元 ).





2 ?3 ?y x ? y ? ? 3x-y-13=0 1 ? ?3 x ? y ? ?x ? 0 y ? , ?

1

6 0

. 3
0

(7 分) 且 (8 分) 作 可 (10 分) 由?
? 2 x ? 3 y ? 16 ? 0 ?3 x ? y ? 13 ? 0

A
p ? 11 x ? 9 y ? 4 z ? 7 x ? 5 y ? 40

O

2x+3y-16=0 7x+5y=0

x

. .











,得点 A(5,2).

平移直线 7x+5y=0,由图知,当直线经过点 A 时,
第 10 页 共 14 页

它在 y 轴上的截距为最大,所以点 A 为最优解, 此 时
p ?7 ?5 ?5

(

?2



?4

).

0?

(12 分) 故用甲种食物 5kg,乙种食物 2kg,丙种食物 3kg 时,才能使混合食物的成本最 低 , 其 最 低 成 本 为 85 元 . (13 分) 解法二:设分别用甲、乙、丙三种食物 xkg,ykg,zkg,混合食物的成本为 p 元, 则
? x ? y ? z ? 10 ? ?60 x ? 70 y ? 40 z ? 560 ? ?8 0 x ? 4 0 y ? 5 0 z ? 6 3 0 ? x ? 0, y ? 0, z ? 0 ?
?4 x ? y ? ? ?3 x ? y ? ?x ? 0 y ? ? 6 1 , 3 2





.

3 0

(7 分) 且 (8 分) x 因 为 7x ? 5y ? ( 4 ? (10 分) 当且仅当 ?
?3 x ? y ? 1 3

p ? 11 x ? 9 y ? 4 z ? 7 x ? 5 y ? 40 6 ? y ) ( 3 y ?, x? ) 4 5 所 以 p ? 7 x ? 5 y ? 4 0 ? 4 5?

.
4 ?. 0 8 5

? 4 x ? 6y ? 3 2

,即 ?

?x ? 5 ?y ? 2

时 等 号 成 立 , 所 以 p 的 最 小 值 为 45.

(12 分) 故用甲种食物 5kg,乙种食物 2kg,丙种食物 3kg 时,才能使混合食物的成本最 低 , 其 最 低 成 本 为 85 元 . (13 分) 20. 已知数列 { a n }的 前 n 项 和 为 S n , 且对任意正整数 n 总 有 S n ? p ( a n ? 1)(p 为常数, 且 p ? 0, p ? 1 ) ,数列 {b n }满 足 b n ? kn ? q (q 为常数)
⑴求数列 { a n } 的通项公式(用 p 表示) ; ⑵若恰好存在唯一实数 p 使得 a1 ? b1 , a 3 ? b3 , 求实数 k 取值的集合。

第 11 页 共 14 页



||



? p ? p ?1 ? k ? q ? a 1 ? b1 p 3 p p 3 p ? ? ( ) ? 2k ? ? ( ) ? ? 2k ? ? ? p ?1 p ?1 p ?1 p ?1 ? a 3 ? b3 ?( p )3 ? 3k ? q ? p ?1 ?

考虑函数 f ( x ) ? x 3 ? x , x ? 0 且 x ? 1 则 f '( x ) ? 3 x 2 ? 1 ? 3( x ?
3 3 )( x ? 3 3

)

所以 f ( x ) ? x3 ? x , x ? 0 且 x ? 1 在 ( ? ? , ?

3 3

)

,(

3 3

,1)



(

3 3

, ? ? ) 上为增函数;在 ( ?

3 3

,

3 3

) 上为减函数;

恰好存在唯一实数 p 使得 a1 ? b1 , a 3 ? b3 , 只要方程 x ? x ? 2 k , x ? 0 且 x ? 1 恰有一个实数解。
3

由图象可知,实数 k 的取值的集合为 ( ? ? , ? 21.已知椭圆
x a
2 2

2 3 9
2

) ? {0} ? (

2 3 9

, ?? )

?

y b

2 2

?1

?a

? b ? 0 ? 和圆 O : x ? y ? b ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的
2 2

两条切线,切点分别为 A , B . (Ⅰ) (ⅰ)若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e ; (ⅱ)若椭圆上存在点 P ,使得 ? A P B ? 9 0 ,求椭圆离心率 e 的取值范围;
?

第 12 页 共 14 页

(Ⅱ)设直线 A B 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M , N ,求证: 解: (Ⅰ) (ⅰ)∵ 圆 O 过椭圆的焦点,圆 O : x ? y ? b ,
2 2 2

a

2 2

?

b

2 2

为定值.

ON

OM

∴ b ? c, ∴ b ? a ?c ?c ,
2 2 2 2

∴ a ? 2c ,
2 2

∴e ?

2 2


?

(ⅱ)由 ? A P B ? 90 及圆的性质,可得 O P ? ∴ OP
2

2b ,

2

? 2b ? a ,
2 2
2

∴ a ? 2c ∴e ?
2

1 2



2 2

? e ? 1.

---------------- 6 分

(Ⅱ)设 P ? x 0 , y 0 ? , A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,则
y 0 ? y1 x 0 ? x1 ? ? x1 y1
2 2

整理得 x 0 x ? y 0 y ? x1 ? y1
? x1 ? y 1 ? b
2 2 2

∴ P A 方程为: x1 x ? y1 y ? b ,
2

P B 方程为: x 2 x ? y 2 y ? b .
2

∴ x1 x ? y1 y ? x 2 x ? y 2 y , ∴
y 2 ? y1 x 2 ? x1 ? ? x0 y0

,
x0 y0

直线 A B 方程为

y ? y1 ? ?
2

?x ?

x1 ? ,即

x0 x ? y 0 y ? b .
2

令 x ? 0 ,得 O N ? y ?
2 2 2 2 2 2

b

,令 y ? 0 ,得 O M ? x ?
2 2 2 2 2 2

b

2



y0

x0



a

?

b

?

a y0 ? b x0 b
4

?

a b b
4

?

a b



ON

OM

第 13 页 共 14 页



a

2 2

?

b

2 2

为定值,定值是

a b

2 2



----------------13 分

ON

OM

第 14 页 共 14 页


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