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数列解答题答案


高考数列大题训练
1. 已知等比数列 {a n }中, a 2 , a3 , a 4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且 a1 ? 64, 公比q ? 1 (Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)设 bn ? log 2 a n ,求数列 {|b n |}的前n项和Tn . 2.已知数列 {a n } 满足递推式 a n ? 2a n ?1 ? 1(n ? 2

) ,其中 a 4 ? 15 . (Ⅰ)求 a1 , a 2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n 3.已知数列{ a n }满足 a1 ? 1 ,且 a n ? 2a n ?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N ) .
n *

(Ⅰ)求 a 2 , a 3 ;

4.已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 4a n ?3( n ? N ? ) (1)证明:数列 ? an ? 是等比数列; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?1 ? an ? bn (n ? N ), 且b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式
?

an }是等差数列; 2n (Ⅲ)求数列{ a n }的前 n 项之和 S n
(Ⅱ)证明数列{

5. 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且对任意的正整数 n 满足 2 S n ? an ? 1 。 (1)求数列 ? an ? 的通项公式;

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 an ? an ?1 6.已知 a1 ? 2, a 2 ? 4, bn ? a n ?1 ? a n , bn?1 ? 2bn ? 2 .
(2)设 bn ? (1)求证:数列{bn+2}是公比为 2 的等比数列; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n 。 (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn 8.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且有 a1 ? 2 , 3Sn ? 5an ? an ?1 ? 3Sn ?1 (n ? 2) (1)求数列 an 的通项公式; (2)若 bn ? (2n ? 1) an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Tn 。 9.已知各项都不相等的等差数列 {a n } 的前六项和为 60,且 a6为a1和a 21 的等比中项. (1)求数列 {a n } 的通项公式 a n 及前n项和S n ; (2)若数列 {bn }满足bn ?1 ? bn ? a n (n ? N ? ), 且b1 ? 3, 求数列{ 7.数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2Sn (n ? N )
*

王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
·2007·

1 } 的前 n 项和 Tn. bn

3 10.已知 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? , a2 ? 2 ,且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ,其中 n ? 2, n ? N * . 2 (1)求证数列 ?an ? 1? 是等比数列;
(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 11. 已 知 S n 是 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 , 并 且 a1 =1 , 对 任 意 正 整 数 n , S n ?1 ? 4a n ? 2 ; 设

1

bn ? a n?1 ? 2a n (n ? 1,2,3,? ).
(I)证明数列 {bn } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式;

bn 1 , Tn为数列{ } 的前 n 项和,求 Tn . 3 log 2 C n ?1 ? log 2 C n ? 2 2an 2 ? 12.已知数列 ? an ? 中 a1 ? , 且对任意的n ? N 都有an ?1 ? 3 an ? 1
(II)设 C n ?

?1 ? ? 1? 是等比数列; ? an ? ? (2)若对任意的 n ? N 都有an ?1 ? pan ,求实数 p 的取值范围。
(1)求证: ?

2

数列大题参考答案 1.解: (1) 设该等差数列为 {cn } ,则 a2 ? c5 , a3 ? c3 , a4 ? c2 ? c5 ? c3 ? 2d ? 2(c3 ? c2 )

? (a2 ? a3 ) ? 2(a3 ? a4 ) 即: a1q ? a1q 2 ? 2a1q 2 ? 2a1q3
1 1 ,? a ? 64? ) n ?1 ? 27 ? n ( 2 2 n(13 ? n) (2) bn ? log 2 27 ?n ? 7 ? n , {bn } 的前 n 项和 Sn ? 2 n(13 ? n) ?当 1 ? n ? 7 时, bn ? 0 ,? Tn ? Sn ? 2

? 1 ? q ? 2q(1 ? q) ,? q ? 1 , ? 2q ? 1,

q?

当 n ? 8 时, bn ? 0 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? ? ? bn

? S7 ? (b8 ? b9 ? ? ? bn ) ? S7 ? (Sn ? S7 ) ? 2S7 ? Sn ? 42 ?

n(13 ? n) 2

? n(13 ? n) ? ? Tn ? ? 2 ? ?42 ? n(13 ? n) ? ? 2

(1 ? n ? 7, n ? N * ) (n ? 8, n ? N * )

2.解: (1)由 a n ? 2a n ?1 ? 1及a 4 ? 15 知 a 4 ? 2a3 ? 1, 解得: a3 ? 7, 同理得 a 2 ? 3, a1 ? 1. (2)由 a n ? 2a n ?1 ? 1知 a n ? 1 ? 2a n ?1 ? 2

a n ? 1 ? 2(a n?1 ? 1) ? ?a n ? 1? 构成以 a1 ? 1 ? 2 为首项以 2 为公比的等比数列;
? a n ? 1(a1 ? 1) ? 2 n ?1 ;? a n ? 1 ? 2 n ,
n

? a n ? 2 n ? 1. 为所求通项公式
1 2 3 n

(3)? a n ? 2 ? 1 ? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? an ? (2 ? 1) ? (2 ? 1) ? (2 ? 1) ? ...... ? (2 ? 1)

2(1 ? 2 n ) ? (2 ? 2 ? 2 ? ...... ? 2 ) ? n ? ? n ? 2 n?1 ? 2 ? n. 1? 2
1 2 3 n

3.解: (Ⅰ) a2 ? 2a1 ? 2 ? 6 , a3 ? 2a2 ? 2 ? 20 .
2
3

(Ⅱ)? an ? 2an?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N ) ,
n *



a n a n ?1 a a ? n ?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) , 即 n ? n?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) . n n 2 2 2 2 n ?1 an a 1 } 是首项为 1 ? ,公差为 d ? 1 的等差数列. n 21 2 2 an 1 1 1 1 ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? , ∴ a n ? (n ? ) ? 2 n . n 2 2 2 2 2

∴数列 {

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

3

? Sn ?

1 1 3 2 5 3 1 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? (n ? ) ? 2n (1) 2 2 2 2 1 3 5 1 1 2S n ? ? 22 ? ? 23 ? ? 24 ? ? ? (n ? 1 ? ) ? 2n ? (n ? ) ? 2n ?1 (2) 2 2 2 2 2

(1) ? (2)得

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? (n ? ) ? 2 n?1 ? 1 1 n ?1 2 ? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? ) ? 2 2
2 3 n

?

2(1 ? 2 n ) 1 ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2 n ? 3 . ∴ S n ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 . 1? 2 2
bn ?1 ? 2 ?2 bn ? 2 b2 ? 2b2 ? 2 ? 6
? 2 n?1

6.解: ⑴ bn ?1 ? 2 ? 2(bn ? 2) ?

b1 ? a2 ? a1 ? 2
⑵由⑴知 bn ? 2 ? 4 ? 2

数列{bn+2}是首项为 4 公比为 2 的等比数列;
n ?1

? bn ? 2 n ?1 ? 2

a n?1 ? a n ? 2 n?1 ? 2

? a 2 ? a1 ? 2 2 ? 2
a3 ? a 2 ? 2 3 ? 2
……

a n ? a n ?1 ? 2 n ? 2
上列(n-1)式子累加: a n ? 2 ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2n
2 3 n

? a n ? 2 n?1 ? 2n
⑶ a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 n ?1

)?2

n(n ? 1) . 2

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2 n ? 2 ? n(n ? 1) ? 4
7.解: (Ⅰ)当 n≥ 2 时, an ?1 ? 2Sn , an ? 2Sn ?1 ,? an ?1 ? an ? 2Sn ? 2Sn ?1 ? 2an

? an?1 ? 3an ,?数列?an ? 从第二项起是公比为 3 的等比数列,且 a2 ? 2S1 ? 2a1 ? 2
n ? 1, ?1, 3 ?当 n≥ 2 时, an ? 2? n ?2 (n ≥ 2) ,? an ? ? n ? 2 3 ??? ,n ≥ 2.
(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,当 n ? 1 时, T1 ? 1 ;

3 3 3 当 n≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4? ? 6? ? ? ? 2n?
0 1

n?2

,……………………①

3Tn ? 3 ? 4? 1 ? 6? 2 ? ? ? 2n? n ?1 ,………………………② 3 3 3

① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(3 ? 3 ? ? ? 3
1 2

n?2

) ? 2 n? 3

n ?1

3(1 ? 3n ? 2 ) ? 2 ? 2? ? 2n? n ?1 3 1? 3

4

? ?1 ? (1 ? 2n)? n?1 3

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?Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ≥ 2) 2 ? 2?

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又?T1 ? a1 ? 1 也满足上式,

?Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 2 ? 2?

8.解:由 3Sn ? 3Sn ?1 ? 5an ? an ?1 (n ? 2) ,? 2an ? an ?1 ,又? a1 ? 2 ,

an 1 ? , an ?1 2

?{an } 是以 2 为首项,

1 1 1 为公比的等比数列,? an ? 2 ? ( )n ?1 ? ( ) n ?2 ? 22?n 2 2 2

bn ? (2n ? 1)22?n ,?Tn ? 1? 21 ? 3 ? 20 ? 5 ? 2?1 ? ?? ? (2n ? 1) ? 22?n (1)

1 Tn ? 1? 20 ? 3 ? 2?1 ? ?? ? (2n ? 3) ? 22?n ? (2n ? 1) ? 21?n 2
(1)—(2)得 Tn ? 2 ? 2(2 ? 2 ? ?? ? 2
0

(2)

1 2

?1

2? n

) ? (2n ? 1) ? 21?n

即: Tn ? 2 ?

1 2

2[1 ? (2?1 )n ?1 ] ? (2n ? 1) ? 21?n ? 6 ? (2n ? 3) ? 21?n ,?Tn ? 12 ? (2n ? 3) ? 22?n 1 ? 2?1
?6a1 ? 15 d ? 60, ?a1 (a1 ? 20 d ) ? (a1 ? 5d )
2

9.解: (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d ,则 ?

解得 ?

?d ? 2, ?a1 ? 5.

? an ? 2n ? 3 .
(2)由 bn ?1 ? bn ? a n ,

Sn ?

n(5 ? 2n ? 3) ? n(n ? 4) 2

? bn ? bn?1 ? a n?1 (n ? 2, n ? N ? ).

当n ? 2时, bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1 ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 ? b1 ? (n ? 1)(n ? 1 ? 4) ? 3 ? n( n ? 2).对b1 ? 3也适合,

? bn ? n(n ? 2)( n ? N ? ) ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

Tn ?

3n 2 ? 5n 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? ? )? 4(n ? 1)( n ? 2) 2 3 2 4 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

10.解:(1) ? Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ? Sn?1 ? Sn ? 2(Sn ? Sn ?1 ) ? 1 ? an?1 ? 2an ? 1(n ? 2)

3 又 a1 ? , a2 ? 2 也满足上式,? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? N * ) 2 1 ?数列 ?an ? 1? 是公比为 2,首项为 a1 ? 1 ? 的等比数列 2 1 n ?1 (2)由(1)得, an ? 1 ? ? 2 ? 2n ? 2 ? an ? 2n ? 2 ? 1 2
于是 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ? 2?1 ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 1 ? ... ? 2n ? 2 ? 1
5

?

? ?

? ?

?

?

?

? ? 2?1 ? 20 ? 21 ? ...2n ? 2 ? ? n ?

2n ? 1 ?n 2

11.解: (I)? S n ?1 ? 4a n ? 2,? S n ? 4an ?1 ? 2(n ? 2), 两式相减: a n ?1 ? 4a n ? 4a n ?1 (n ? 2),
? a n ? 1 ? 4(a n ? a n ? 1 )( n ? 2), ? b n ? a n ? 1 ? 2a n , ? b n ? 1 ? a n ? 2 ? 2a n ? 1 ? 4(a n ? 1 ? a n ) ? 2a n ? 1 , b n ? 1 ? 2(a n ? 1 ? 2a n ) ? 2b n (n ? N *),

?

bn ?1 ? 2, bn

?{bn } 是以 2 为公比的等比数列,

? b1 ? a2 ? 2a1 , 而a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,? a2 ? 3a1 ? 2 ? 5, b1 ? 5 ? 2 ? 3, ? bn ? 3 ? 2 n?1 (n ? N *)
(II) C n ?

bn 1 1 1 ? ? , ? 2 n ?1 , ? n n ?1 log 2 C n ?1 ? log 2 C n ? 2 log 2 2 ? log 2 2 n(n ? 1) 3



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? , ?Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? . n(n ? 1) n n ? 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

6


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