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11-12学年高二数学:3.1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1 同步练习(人教A版选修2-3)【含解析】


选修 2-3

3.1

第 1 课时 回归分析的基本思想及其初步应 用1

一、选择题 1.对于回归分析,下列说法错误的是( )

A.在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,那么因变量不能由自变量唯一确 定 B.线性相关系数可以是正的,也可以是负的 C.回归分析中,如果 r2=1 或 r=± 1,说明 x 与 y 之间完全线性相关 D.样本相关系数 r∈(-1,1) [答案] D 2.对于线性相关系数 r,下列说法正确的是( )

A.|r|∈(-∞,+∞),|r|越大,相关程度越大;反之,相关程度越小 B.|r|≤1,r 越大,相关程度越大;反之,相关程度越小 C.|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小 D.以上说法都不正确 [答案] C ^ 3.已知某车间加工零件的个数 x 与所花费时间 y(h)之间的线性回归方程为y=0.01x+ 0.5,则加工 600 个零件大约需要________h. A.6.5 C.3.5 [答案] A ^ 4.设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量 x 增加一个单位时( A.y 平均增加 2.5 个单位 B.y 平均增加 2 个单位 C.y 平均减少 2.5 个单位 D.y 平均减少 2 个单位 [答案] C ^ ^ ^ 5.y 与 x 之间的线性回归方程y=bx+a必定过( A.(0,0)点 C.(0, y )点 [答案] D
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B.5.5 D.0.5

)

)

B.( x ,0)点 D.( x , y )点

6.研究统计问题的基本思想方法是( A.随机抽样

)

B.使用先进的科学计算器计算样本的频率等 C.用正态分布中的小概率事件理论控制工业生产过程 D.用样本估计总体 [答案] D 7.下列变量之间的关系是函数关系的是( )

A.二次函数 y=ax2+bx+c 中,a 和 c 是已知常数,取 b 为自变量,因变量是这个函数 的判别式 Δ=b2-4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雨量和交通事故发生率 D.每亩施用肥料量和粮食亩产量 [答案] A 8.2009 年春季,某国家 HINI 流感流行,该国政府采取果断措施,防治结合,很快使 病情得到控制,如下表所示是 5 月 1 日至 5 月 12 日该国每天患 HINI 流感治愈者数据,根 据这些数据绘制出的散点图如图所示.

日期 人数 日期 人数

5.1 100 5.7 141

5.2 109 5.8 152

5.3 115 5.9 168

5.4 118 5.10 175

5.5 121 5.11 186

5.6 134 5.12 203

下列说法:①根据散点图,可以判断日期与人数具有线性相关关系;②根据散点图,可 以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的为( A.① C.①② [答案] A [解析] 由散点图知时间与人数(治愈人数)具有一定的相关关系,并不是确定性的函数 关系,这种相关关系可以通过回归直线进行预测,但不能说具有一次函数关系,故 A 正确. B.② D.以上都不对 )

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二、填空题 9.(2010· 江苏金陵中学)已知三点(3,10),(7,20),(11,24)的横坐标 x 与纵坐标 y 具有线性 关系,则其线性回归方程是________. ^ 7 23 [答案] y= x+ . 4 4 10.为考虑广告费用 x 与销售额 y 之间的关系,抽取了 5 家餐厅,得到如下数据: 广告费用(千元) 销售额(千元) 1.0 19.0 4.0 44.0 6.0 40.0 10.0 52.0 14.0 53.0

现要使销售额达到 6 万元,则需广告费用为________.(保留两位有效数字) [答案] 1.5 万元 11.已知两个变量 x 和 y 之间线性相关,5 次试验的观测数据如下: x y 100 45 120 54 140 62 160 75 180 92

那么变量 y 关于 x 的回归方程是________ ^ [答案] y=0.575x-14.9 12.对于 n 个复数 z1、z2、…、zn,如果存在 n 个不全为零的实数 k1、k2、…、kn,使得 k1z1+k2z2+…+knzn=0,就称 z1、z2、…、zn 线性相关.若要说明 z1=1+2i,z2=1-i,z3 =-2 线性相关,那么可取{k1,k2,k3}=________(只要写出一组即可). [答案] {2,4,3} [解析] 由 k1(1+2i)+k2(1-i)-2k3=0, 即(k1+k2-2k3)+(2k1-k2)i=0,
?k1+k2-2k3=0, ? ∴? ? ?2k1-k2=0,

3 即 k1∶k2∶k3=1∶2∶ . 2 三、解答题 13.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x y (1)画出散点图; (2)求回归直线方程. [解析] (1) 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

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^ (2)y=6.5x+17.5 14. (2007· 广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据. x y (1)请画出上表数据的散点图;
^ ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a;

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(3)已知该 厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出的线性回 归方程, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值: 3×2.5 +4×3+5×4+6×4.5=66.5) [解析] (1)由题设所给数据,可得散点图如图:

(2)由对照数据,计算得 ?x2=86, x = i
i=1

4

3+4+5+6 2.5+3+4+4.5 =4.5, y = =3.5, 4 4
4

?xiyi-4 x
已 知 ?x iyi = 66.5 , 所 以 , 由 最 小 二 乘 法 确 定 的 回 归 方 程 的 系 数 b =
i=1 4 ^ i=1

y =

x2-4 i i=1

?

4

x

2

^ 66.5-4×4.5×3.5 ^ =0.7,a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35. 2 86-4×4.5

因此,所求的线性回归方程为 y=0.7x+0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗,知降低的生产能耗为 90- (0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤).
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[点评] ①本题主要考查最小二乘法求线性回归方程和数据处理、运算求解能力及应用 意识.②求回归直线方程的一般步骤:一检验,二系数,三方程,四预测. 15.在一段时间内,某种商品价格 x(万元)和需求量 y(t)之间的一组数据为: 价格 x 需求量 y (1)画出散点图; (2)求出 y 对 x 的回归直线方程,并在(1)的散点图中画出它的图象; (3)若价格定为 1.9 万元,预测需求量大约是多少?(精确到 0.01t) [解析] (1) 1.4 12 1.6 10 1.8 7 2 5 2.2 3

^ ^ (2)采用列表的方法计算a与回归系数b.

序号 1 2 3 4 5 ∑

x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 9

y 12 10 7 5 3 37

x2 1.96 2.56 3.24 4 4.84 16.6

xy 16.8 16 12.6 10 6.6 62

1 1 x = ×9=1.8, y = ×37=7.4, 5 5
^

b=

62-5×1.8×7.4 ≈-11.5 16.6-5×1.82

^ a=7.4+11.5×1.8=28.1 ^ ^ ^ y 对 x 的回归直线方程为y=a+bx=28.1-11.5x (3)当 x=1.9 时,y=28.1-11.5×1.9=6.25 所以价格定为 1.9 万元,需求量大约是 6.25(t). 16.为了研究三月下旬的平均气温(x)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系, 某地区观察了 2005 年至 2010 年的情况,得到下面的数据:

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年份 x(℃) y

2005 24.4 19

2006 29.6 6

2007 32.9 1

2008 28.7 10

2009 30.3 1

2010 28.9 8

据气象预测,该地区在 2011 年三月下旬平均气温为 27℃,试估计 2011 年四月化蛹高 峰日为哪天? [解析] 16 16 x = ?xi=19.13, y = ?yi=7.5, 6i=1 6i=1
6

?x2=5130.92, ?xiyi=1222.6, i
i=1 i=1 6

6

?xiyi-6 x
^ i=1

y =-2.2,

∴b= x2-6 i i=1

?

6

x

2

^ ^ a= y -b x =7.5-(-2.2)×29.13=71.6.

^ ∴回归直线方程y=-2.2x+71.6. ^ 当 x=27 时,y=-2.2×27+71.6=12.2. 据此,可估计该地区 2011 年 4 月 12 日或 13 日为化蛹高峰日.

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