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2011年中国西部数学奥林匹克试题


2011 年中国西部数学奥林匹克试题 江西 玉山
第一天 10 月 29 日 上午 8:00~12:00 每题 15 分
1、已知 0 ? x, y ? 1,求 2、设集合 M ? {1, 2,

xy (1 ? x ? y ) 的最大值. ( x ? y )(1 ? x)(1 ? y )

, 2011},满足:在 M

的任意三个元素中,都可以找到两个元

素 a , b 使得 a | b 或 b | a .求 | M | 的最大值(其中 | M | 表示集合 M 的元素个数) . 3、给定整数 n ? 2 , (I)求证:可以将集合 {1, 2,

, n} 的所有子集适当地排列为 A1, A2 ,

, A2n ,使得 Ai 与

Ai ?1 的元素个数恰相差 1,其中 i ? 1, 2,3,
(II)对于满足(I)中条件的子集 A 1, A 2,

, 2n ,且 A2n ?1 ? A1 ;

, A2n ,求 ? (?1)i S ( Ai ) 的所有可能值,其中
i ?1

2n

S ( Ai ) ? ? x , S (?) ? 0 .
x?Ai

4、如图,线段 AB 、CD 是⊙ O 中长度不相等的两条弦, AB 与 CD 的交点为 E ,⊙ I CD 相切于点 G 、H . CD 内切⊙ O 于点 F , 且分别与弦 AB 、 过点 O 的直线 l 分别交 AB 、 于点 P 、 Q ,使得 EP ? EQ .直线 EF 与直线 l 交于点 M ,求证:过点 M 且与 AB 平行 的直线是⊙ O 的切线.

M B P E Q G A C F O H

D

第二天 10 月 30 日 上午 8:00~12:00 每题 15 分
5、是否存在奇数 n ? 3 及 n 个互不相同的质数 p1 , p2 ,

, pn ,使得

pi ? pi ?1 (i ? 1, 2,

, n, 其中pn?1 ? p1 ) 都是完全平方数?请证明你的结论.
(a ? b)2 (b ? c)2 (c ? a)2 ( a ? b) 2 ? ? ? 2 2 2. (c ? a)(c ? b) (a ? b)(a ? c) (b ? c)(b ? a) a ? b ? c

, c? 0 , 6、 设 a, b 求证:

7、如图,在 ?ABC 中, AB ? AC ,内切圆⊙ I 于边 BC 、CA 、 AB 分别相切于点 D 、 E 、 F , M 是边 BC 的中点, AH ? BC 于点 H . ?BAC 的平分线 AI 分别于直线 DE 、 DF 交于点 K 、 L . 求证: M , L, H , K 四点共圆.

A

F E I L B M K
8、求所有的整数对 ( a, b) ,使得对任意正整数 n ,都有 n | (a ? b
n n?1

D

H

C

).


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