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向量的加法课件 (2)


高中数学

向量的加法
人 教 B 版 必 修 4

教学目标:

教 学 目 标 及 重 点 难 点

理解向量的和,掌握向量加法的 三角形法则、平行四边形法则以 及向量加法的运算律。 重点: 向量的加法的三角形法则、平行 四边形法则。 难点:

对向量加法定义的理解



创 设 情 景 问 题 引 入

2008年12月15日以前,由于大陆和台湾没有开 通直航,因此要从台湾去北京,乘飞机要先从台 北到香港,再从香港到北京,这两次位移之和是 什么?

AB ? BC ? AC

向 量 的 加 法

北京 C

A 台湾 B 香港

已知向量

a , b ,求作 a ? b .
C

向 量 加 法 的 定 义

b

a?b

B

a

A

在平面任取一点A, AB ? a , BC ? b , 再作 AC 作
则 AC 叫做 a与 b的和,记作 a ? b

求两个向量和的运算叫向量的加法

向 量 加 法 的 三 角 形 法 则

上述求两个向量和的作图法则,
叫做向量求和的三角形法则

要点:尾首相接,首尾相连

当向量a,b为共线向量时,作出a ? b

思考?

(1) 同向
a

(2)反向
a

特 殊 向 量 的 加 法

b
A B C B

b
C

A

AC ? a ? b

AC ? a ? b

思考完成下面问题,并归纳出运算的规律?

探究?

(1) a ? 0 __ 0 ? a (2) a ? ( ? a )

?

?

a

探 究 思 考 一

__ ( ? a ) ? a ?

?0

向量加法的交换律:

a?b ?b?a

已知不共线向量

a , b , 作出 a ? b和 b ? a

向 量 加 法 的 交 换 律

b

a
D

a

C C

b

a?b b?a

.
A

.
A

b

a

B

已知不共线向量

a , b , 作出 a ? b和 b ? a

向 量 加 法 的 交 换 律

b

a
D

a

C

C

.
A

b
b?a

a?b

.
A

b

a

B

a?b ?b?a

向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则

已知不共线向量

a , b , 作出 a ? b
AB ? a , AD ? b ,

作法:在平面内任取一点A,作 则A,B,D三点不共线,以

AB , AD

为邻边

作平行四边形ABCD,则对角线上的向量
AC ? a ? b
A D C

b
a
B

上述作图法则叫两个向量求和的平行四边形法则。

要点:起点相同,邻边作形

已知平行四边形ABCD,完成下列各题:

试一试

⑴ ⑵

AB ? BC ?

D
AC
A

C

AB ? AD ? AC
A

O

课 堂 练 习

B

⑶ AC ? CD ? DO ? AO

BA ? BC ? DA ? AB

⑸ ( BC ? CD ) ? DA ? BA ⑹
BC ? ( CD ? DA ) ?

BA

( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

向 量 加 法 的 结 合 律

D
a?b?c

c
b?c a?b
C

A
a

b

B

想一想

1. 在求作两个向量和时,可能选择不同的始 点求和,想一想:这样作出的向量的和都相 等吗?
C
a?b

探 究 思 考 二

b
a

C’ B
a?b

b

B’

A

A’ a

2.对于多个向量相加,如何做出和向量? 对于n个向量,依次把这n个向量首尾 相连,以第一个向量的始点为始点, 第n个向量的终点为终点的向量叫这n 个向量的和向量。 上述法则叫向量求和的多边形法则。

例:某人先位移向量 a : “向东走3km”,接着再
位移向量 b : “向北走3km”,求 a ? b .
B

解:如图所示,作

例 题 讲 解

OA ? a ?“向东走
AB ? b ?“向北走

3 km ”
3 km ”
O

b
a

A

则 OB ? OA ? AB ? a ? b

因为△OAB为直角三角形,所以
OB ? 3 ? 3 ? 3 2 ( km )
2 2

又因为∠AOB=450,所以a ? b 表示向东北走3 2 km .

例:如图所示,一艘船从长江南岸A点出发, 以 2 3 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时江水的速度为向东2m/s. 求轮船实际航行的方向和航速。 解:如图所示
B

例 题 讲 解

设 AB 为船向对岸行进的 垂直速度, 为水流速度 AC ,则 AD 为船实际行进速 A 度。 在Rt△ACD中, |AC| 2, | 2 3 ? |CD ?
? AD| | | ?| | ? 4 | ? AC CD
又tan?CAD ? |CD| | AC| ? 3
2 2

D

C

? ?CAD ? 60?
所以船实际航行速度的大小为4m/s,方向 为东偏北60°.

思考

1.在上例中轮船要垂直地渡过长江,其 航向应如何确定?

变 式 思 考

2.上述两种情况中,若轮船同时出发,则轮 船到达对岸所需时间较少的为那种情况? 第一种情况,船速垂直向对岸时。

要点:尾首相接,首尾相连

小 结 与 回 顾

要点:起点相同,邻边作形

a?b ?b?a ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c)

课本P83页
练习A第2,3 题

作 业
a ? b和a, b 间的关系?


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