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人教A版选修2-1第三章第一课时导学案3.1.1空间向量及其加减运算(已修改)


§3.1.1 空间向量及其加减运算
学习目标
1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P84~ P86,找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本概念: 具有 和 的量叫向量, 向量,记作 ; 相反向量记作 有 . ,

叫向量的模(或长度) ; 叫单位向量.

叫零

叫相反向量, a 的 叫相等向量. 向量的表示方法 ,和 共三种方法.

复习 2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向量的加法和减法的运算法则有 2. 实数与向量的积: 实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 a ; 当 λ<0 时,λa 与 a ; 当 λ=0 时,λa= .

法则



法则.

,其长度和方向规定如下:

3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb 二、新课导学

※ 学习探究 探究任务一:空间向量的相关概念 问题: 什么叫空间向量?空间向量中有零向量,单位向量,相等向量吗?空间向量如何 表示? 新知:空间向量的加法和减法运算: 空间任意两个向量都可以平移到同一平面 内,变为两个平面向量的加法和减法运算, 例如右图中,

OB =

, AB ?



试试:1. 如图所示,分别用平行四边形法则和三角形法则 求 a ? b,a ? b.

2. 点 C 在线段 AB 上,且

AC 5 ? ,则 AC ? CB 2

AB ,

BC ?

AB .

反思:空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? ⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:( a + b) + c = a + ( b + c); ⑶数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb.

※ 典型例题 例 1 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' (如图) ,化简下列向量表达式,并标出化简结果 的向量:
⑴ AB ? BC ; ⑵ AB ? AD ? AA' ⑶ AB ? AD ? ⑷

1 CC ' ; 2

1 ( AB ? AD ? AA ' ) . 2

变式:在上图中,用 AB , AD , AA' 表示 A' C , BD' 和 DB' .

小结:空间向量加法的运算要注意:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指 向末尾向量的终点的向量,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的 向量. 例 2 化简下列各式: ⑴ AB ? BC ? CA ; ⑵ AB ? MB ? BO ? OM ; ⑶ AB ? AC ? BD ? CD ; ⑷ OA ? OD ? DC .

变式:化简下列各式: ⑸ OA ? OC ? BO ? CO ; ⑹ AB ? AD ? DC ; ⑺ NQ ? QP ? MN ? MP .

小结:化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇到减法既可转化成加 法,也可按减法法则进行运算,加法和减法可以转化.

※ 动手试试 练 1. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点,化简下列表达式:
⑴ AA 1 ? A 1 B1 ;

1 1 A1 B1 ? A1 D1 ; 2 2 1 1 ⑶ AA1 ? A1 B1 ? A1 D1 ; 2 2
⑵ ⑷ AB ? BC ? CC1 ? C1 A1 ? A1 A .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量基本概念; 2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律

※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平 移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ,空间的平移 包含平面的平移.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法中正确的是( )
A. 若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a , b 的长度相同,方向相反或相同; B. 若 a 与 b 是相反向量,则∣ a ∣=∣ b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律; D. 在四边形 ABCD 中,一定有 AB ? AD ? AC . 2. 长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,化简 AA' ? A' B ' ? A' D ' ? 3. 已知向量 a , b 是两个非零向量, a 0 , b0 是与 a , b 同方向的单位向量,那么下列各式 正确的是( ) A. a 0 = b0 C. a 0 =1 B. a 0 = b0 或 a 0 = ? b0 D. ∣ a 0 ∣=∣ b0 ∣

4. 在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

课后作业
1. 在三棱柱 ABC-A'B'C' 中,M, N 分别为 BC, B'C' 的中点,化简下列式子:


AM ? BN



A' N ? MC ' ? BB'

2. 如图, 平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 M 为 AC 与的 BD 的交点,AB ? a ,AD ? b ,

A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 B 相等的是( 1 1 A. ? a ? b ? c 2 2 1 1 a? b?c B. 2 2 1 1 a? b?c C. 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2





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