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高中数学必修5和选修1-1综合测试带答案


必修 5 和选修 1-1 综合测试
班级:
一、选择题 (每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集是 A. ?x x ? ?2或x ? ?1? C. ?x 1 ? x ? 2? B. ?x x ? 1或x ? 2? D. ?x ?2 ? x ? ?1? ( ) ( )

姓名:

/>2.已知命题“若 p 则 q ”为真,则下列命题中一定为真的是 A.若 ?p 则 ?q C.若 q 则 p B.若 ?q 则 ?p D.若 ?q 则 p

3.已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? a5 ? 10 ,则数列 ?an ? 的第四项是 A. 5 B.10 C. 10 D. 5

(

)

4.在 ?ABC 中,若 a ? 6 3 , A ? 60? , b ? 6 ,则角 B 是 A. 30 ? 或 150? B. 30 ? C. 150?

( D. 45 ? (

)

5.离心率为 2 是双曲线为等轴双曲线(实轴长与虚轴长相等的双曲线)的 A.充分非必要条件 C.充要条件 6.曲线 y ? 2 x ? x3 在 x ? ?1 处的切线方程为 A. x ? y ? 2 ? 0
2 2

)

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ( C. x ? y ? 2 ? 0 )

B. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

7.设椭圆

1 x y ? 2 ? 1 (m ? 0, n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同,离心率为 ,则 2 2 m n 此椭圆的方程为 ( )
A. D.

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 B. ? C. ? ? ?1 ?1 ?1 64 48 48 64 12 16 8.在等差数列 ?an ? 中 a3 ? a13 ? 3 , a5 ? a11 ? 4 ,则 a13 ? a3 ?
A.1 或 3
2 2

x2 y 2 ? ?1 16 12
( )

B.-2

C.2

D.2 或-2

9 .椭圆

x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F2 作倾斜角为 120 的直线 2 a b
( D.
12 ? 2 3 11

与椭圆的一个交点为 M ,若 MF1 垂直于 x 轴,则椭圆的离心率为 A. 2 ? 3 B. 2(2 ? 3) C.
3 3

)

10.已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,如果存在两项 am 和an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n 3 A. 2

( B.

)

5 3

C.

25 6

D.不存在

1

二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分) 11.在 ?ABC 中, a2 ? (b ? c)2 ? bc ,则 A 等于
?x ? 2 ? 12.若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的取值范围是 ?x ? y ? 6 ?





13.抛物线 y 2 ? x ? 0 的焦点坐标为

,准线方程为



14 .已知命题 p : ?x ? R , x 2 ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是真命题,则实数 a 的取值范围 是 .

三、解答题 (共 80 分)
15 .(12 分)已知不等式 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 的解集为 B.

(1)求 A

B; B ,求 ax 2 ? x ? b ? 0 的解集.

(2)若不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集是 A

16.(12 分)已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 2 处有极值,其图象在 x ? 1 处的切线平 行于直线 y ? ?3x ? 2 ,求实数 a 、 b 的值.

2

17.(14 分)已知条件 p : x ?

1? a 1? a 或x ? ,(a>0)和 q : 2 x2 ? 3x ? 1 ? 0 . 5 5

(1)如果 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. (2)是否存在实数 a ,使得 p 是 q 的充要条件. 若存在,求出 a 的值;否则,说明理由.

18.(14 分)已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ?2 2 ,0)、F2( 2 2 ,0),长轴长为 6,设直线
y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点.

(1)求椭圆的标准方程; (2)求 ?OAB 的面积.

3

19.(14 分)围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的 旧墙需维修),其他三面围墙用新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出 口,如图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧 墙长度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

20.(14 分)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an ?1 ? 2Sn n ? N ? . (Ⅰ)证明数列 ?Sn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项 a n ; (Ⅲ)求数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn .

?

?

4

必修 5 和选修 1-1 综合测试答案
1-5 BBDBC 6-10 BDDAA 二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分) 11.

2π . 3

12. ?8,14?.

13. x ? ?

1 . 4

14. (0,1)



三、解答题 (共 80 分)
15 .解:(1)解不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 A ?
2

?x | ?1 ? x ? 3? ??2 分 解不等式 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,得 B ? ?x | ?5 ? x ? 1? ??4 分
? A B ? ?x | ?5 ? x ? 3?
??6 分

(2)由 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集是(-5,3)

?25 ? 5a ? b ? 0 ?a ? 2 ∴? ,解得 ? ?9 ? 3a ? b ? 0 ?b ? ?15
? 2 x 2 ? x ? 15 ? 0
5 ,-3<x< , 2

??8 分

??10 分

? 故不等式解集为 ? x | ?3 ? x ? ?

5? ? 2?
2

??12 分

16.解:函数 f ?x ? 的导函数是 f ??x ? ? 3x ? 2ax ? b 由题意可知: ?

???? 4 分 ???? 10 分 ???? 12 分

?3 ? 2 2 ? 4a ? b ? 0 ?f ??2? ? 0 即? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ?f ??1? ? ?3

解得: a ? ?3 , b ? 0 ;

17.解: q : 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 或 x ? 1 ; (1) 由题意得 p ? q 且 p ? q , 2
?1 ? a 1 ? 5 ?2 ? 则 ?1 ? a ? 1 得 a ? 4 , ? ? 5 ?a ? 0 ? ?

1

----------2 分

故实数 a 的取值范围是 a ? 4

-----7 分

(2)假设存在实数 a ,使 p ? q ,

5

?1 ? a 1 3 ? ? 5 ?2 ?a ? ? 2 ? 则 ? 1 ? a ? 1 ? ? a ? 4 ? a ?? ? ? ? 5 ? a?0 ? a?0 ? ? ? ?

,无解,所以这样的实数 a 不存在。-----14 分

x2 y 2 18.解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 a b
由题意 a ? 3, c ? 2 2 ,于是 b ? 1 , 所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1 9

?????? 1 分

?????? 4 分

? y ? x?2 ? (2) 由 ? x 2 , 得 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0 ?????? 6 分 2 ? y ? 1 ? ?9 由于该二次方程的 ? ? 0 ,所以点 A、B 不同。设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

则 x1 ? x2 ?

?18 27 , x1 x2 ? 5 10

?????? 8 分
|0?0?2| ? 2 2

解一、设点 O 到直线 y ? x ? 2 的距离为 d ,则 d ?

??? 10 分

2 2 2 所以 | AB |? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4x1 x2 ? 2 (?18/ 5) ? 4 ? 27 /10 ? 6 3 / 5 ? 12 分

所以 S

AOB

1 6 3 3 6 ? ? 2? ? 2 5 5

?????? 14 分

解二、设直线 y ? x ? 2 与 x 轴交于点 M (?2,0) ,则 S?OAB 由①可知, y1 ? y2 ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 4 ?

? S?OAM ? S?OBM



2 , 5

1 y1 y2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? ,则 2 1 1 S?OAB ? ? 2 | y1 | ? ? 2 | y2 |?| y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 2 2
? 2? ? 1? 3 6 。 ? ? ? ? 4? ? ? ? 5 ?5? ? 2?
19. 解:(1)如图,设矩形的另一边长为 a m
2

Y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 360 a= , x 所 y=225x+
360 ? 360( x ? 0) x
6
2

??2 分

??4 分


?

?6 分

(2)∵

x>0,∴225x+
? y ? 225x ?

3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 x

??10 分

3602 ? 360 ? 10440. x 3602 当且仅当 225x= 时,等号成立. x

??12 分 ??14 分

20. 解:(Ⅰ)

an?1 ? 2Sn , S1 ? a1 ? 1 ,

? Sn?1 ? Sn ? 2Sn , ?

Sn ?1 ? 3. Sn



? 数列 ?Sn ? 是首项为1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ? N* ) .???? 4 分
(Ⅱ)当 n ≥ 2 时, a n ? 2Sn ?1 ? 2 ? 3n?2

?n ? 2? ,
???? 8 分

?1, ?n ? 1?, ?an ? ? n ?2 ?2 ? 3 , ?n ? 2 ?.
(Ⅲ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 当 n ? 1 时, T1 ? 1; 当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ? ? 2n ? 3n?2 ,????①

? nan ,

3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ?? 2n ? 3n?1 ,

????②

???? 11 分

① ? ② 得: ? 2Tn ? ?2 ? 4 ? 2 31 ? 32 ? ? ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1

?

?

3 1 ? 3n ? 2 ? 2 ? 2? ? 2n ? 3n ?1 ? ?1 ? ?1 ? 2n ? ? 3n ?1 1? 3

?

?

?Tn ?


1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) . 2 ? 2?

???? 13 分

T1 ? a1 ? 1也满足上式,
1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?
???? 14 分

?Tn ?

7

8


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