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数学大一轮复习学案 圆锥曲线综合 板块一 轨迹方程(2)


板块一.轨迹方程(2)

典例分
??? ? 【例1】 如图所示,平面内的定点 F 到定直线 L 的距离为 2, 定点 E 满足 | EF |? 2 ,且 EF ? L ???? ???? ? ? ??? ??? ? ? 于 G 点 Q 是直线 L 上的一动点,点 M 满足: FM ? MQ ,点 P 满足: PQ ∥ EF , ???? ??? ?

? PM ? FQ ? 0 ,建立适当的直角坐标系,求动点 P 的轨迹方程.
E



F P M G Q L

0 0 【例2】 如图, M ? ?2 , ? 和 N ? 2 , ? 是平面上的两点,动点 P 满足: PM ? PN ? 6.

⑴求点 P 的轨迹方程; ⑵若 PM · ? PN
y P

2 ,求点 P 的坐标. 1 ? cos ?MPN

M(-2,0) O

N(2,0)

x

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b b 【例3】 设 P ? a , ? ? b ? 0 ? 是平面直角坐标系 xOy 中的点, l 是经过原点与点 ?1 , ? 的直线,
记 Q 是直线 l 与抛物线 x 2 ? 2 py ? p ? 0 ? 的异于原点的交点,

⑴已知 a ? 1 , b ? 2 , p ? 2 ,求点 Q 的坐标; ⑵已知点 P(a , )(ab ? 0) 在椭圆 b 线 4 x 2 ? 4 y 2 ? 1 上;
b ⑶已知动点 P ? a , ? 满足 ab ? 0 , p ?
1 ,若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对 2ab

x2 1 ? y 2 ? 1 上, p ? ,求证:点 Q 在双曲 4 2ab

称的抛物线上,试问动点 P 的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.

? ? 1? ? 5? y 【例4】 已知以向量 v ? ?1, ? 为方向向量的直线 l 过点 ? 0 , ? , 抛物线 C : 2 ? 2 px( p ? 0) 的 2? 4? ? ?

顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上.

⑴求抛物线 C 的方程; ⑵设 A 、 B 是抛物线 C 上两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m ,直线 OB ??? ??? ? ? 与直线 m 交于点 N ,若 OA ? OB ? p 2 ? 0 ( O 为原点, A 、 B 异于原点),试求点
N 的轨迹方程.

【例5】 已知抛物线 C : y ? ax 2 ,点 P(1 , ? 1) 在抛物线 C 上,过点 P 作斜率为 k1 、k2 的两条直 线,分别交抛物线 C 于异于点 P 的两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,且满足 k1 ? k2 ? 0 .

⑴求抛物线 C 的焦点坐标; ???? ???? ? ⑵若点 M 满足 BM ? MA ,求点 M 的轨迹方程.

【例6】 已知圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .

2 ⑴直线 l 过点 P ?1 , ? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l

的方程; ⑵过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若 ???? ???? ???? ? 向量 OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

【例7】 已 知 曲 线 C : y ? x 2 与 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 交 于 两 点 A ? x A ,y A ? 和 B ? xB ,yB ? , 且

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x A ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边

界)为 D .设点 P ? s ,t ? 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.

⑴若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; ⑵若曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?
51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

【例8】 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ? 上的动点.

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆 3 2

⑴若 C , D 的坐标分别是 0 ,? 3 , 0 , 3 ,求 | MC | ? | MD | 的最大值; ⑵如图,点 A 的坐标为 (1 ,0) , B 是圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的点, N 是点 M 在 x 轴 ???? ???? ???? ? ??? ??? ? ? 上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA ? BA ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的轨迹方程.(椭圆的准线方程 y ? ?
y Q M

?

? ?

?

a2 ,其中 c 为半焦距长, a 为半长轴长) c

N

O B

A

x

【例9】 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1

⑴求椭圆 C 的方程 ⑵若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,
OP OM ? ? ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

【例10】 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ,

⑴已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、 y 轴上的截距相等,求直 线 l 的方程;

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⑵从圆 C 外一点 P( x , ) 向圆引一切线,切点为 M , O 为坐标原点,且 y
MP ? OP ,求点 P 的轨迹方程.求 PM 的最小值以及此时对应的 P 的坐标.

【例11】 已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,圆内有定点 P(a , b) ,圆周上有两个动点 A 、 B ,使
PA ? PB ,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.

【例12】 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , A 是椭圆上的一点, a 2 b2 1 AF2 ? F1 F2 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3

⑴ 证明 a ? 2b ; ⑵ 设 Q1 , Q2 为椭圆上的两个动点, OQ1 ? OQ2 ,过原点 O 作直线 Q1Q2 的垂 线 OD ,垂足为 D ,求点 D 的轨迹方程.

【例13】 一条变动的直线 l 与椭圆

x2 y 2 + =1 交于 P 、 Q 两点, M 是 l 上的动点,满足关系 4 2

MP ? MQ ? 2 . 若直线 l 在变动过程中始终保持其斜率等于 1 . 求动点 M 的轨迹方程,
并说明曲线的形状. 【例14】 长度为 a(a ? 0) 的线段 AB 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 P 在线段
??? ? ??? ? . AB 上,且 AP ? ? PB ( ? 为常数且 ? ? 0 )

⑴求点 P 的轨迹方程 C ,并说明轨迹类型; ⑵当 ? ? 2 时,已知直线 l1 与原点 O 的距离为 点,求直线 l1 的斜率 k 的取值范围.
a ,且直线 l1 与轨迹 C 有公共 2

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