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三角形的内角和定理的证明(第一课时)


三角形的内角和定理的证明(第一课时)
课题 项目 教 材 的 地 位 及 作 教 用 三角形的内角和定理的证明 内容 本节课是北师大版实验教科书八年级下册 第六章第五节的内容。是在学习了平角、探索两 条直线平行的条件及三角形内角和定理的基础 上,进一步探索三角形内角和定理的证明。为今 后学习多边形内角和、外角和,圆等知识打下了 良好的基础。具有承上启下的作用。且三角形内

角和定理在日常生活中 , 如 : 机械制造、工程设 计、国防等领域具有广泛应用。 一、知识目标 : 1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其 简单应用。 2、对比过去撕纸等探索过程,体会思维实 验和符号化的理性作用。 3、通过一题多解,初步体会思维的多向性, 引导学生的个性化发展。 二、能力目标: 1、 培养学生动手操作、探索、观察、分析、 归纳获得数学结论的能力。 2、培养学生转化独立获取知识的方法并解 决问题的能力。 三、情感目标: 培养学生创造性,弘扬个性发展,体验解决 问题的成就感,使学生感悟逻辑推理的数学价 值。 教 学 重 点 和 难 点 由于初二学生受年龄特 点的限制,思维往往依赖直 教学重点:三角形内角和定理的证明及其简单的 观具体的图形。另外对于几 何证明,还比较生疏,同时 应用。 又需要添加辅助线,这是学 教学难点:在三角形内角和定理的证明过程中如 生第一次接触添加辅助线的 方法证明问题。也因为这些 何添加辅助线。 知识是本章的基础知识、掌 握得如何直接将影响本章乃 至初中几何的学习。 问题 1: 前面的课程学习了三角形三条边的关系, 问题 1 通过复习旧知 那么三角形的三个内角又存在怎样的关系呢? 识、激发学生的求知欲; 问题 2 让学生通过小组讨 (三角形的内角和等于 180 0 ) 论:有什么办法得到这个 理论依据或意图

《初中数学课程标准》

材 分 析
教 学 目 标

《初中数学课程标 准》要求教师培养学生积 极主动、乐于探索、勤于 动手、分析和解决问题的 能力。因此,依教材地位 和作用及学生的具体情 况,确定了教学目标。

以 境 激 情

教 学 过 程

定 理 证 明

结论。学生会提出度量、 或拼图的方法,引导学生 你还记得这个结论的探索过程吗? 做小学做过的剪纸实验, (1) 如图,当时我们是把∠A 移到了∠1 的位臵, 并带领学生一起撕下三角 ∠B 移到了∠2 的位臵.如果不实际移动∠A 和 形的任意两个角,拼在第 ∠B,那么你还有其它方法 三个角的顶点处。观察拼 以达到同样的效果? 图结果,发现三个角拼在 A 一起刚好是一个平角,总 1 结出拼图方法,为下一环 节说理证明作好准备,通 过学生动手操作,把抽象 2 3 1 2 知识形象化、具体化,把 B D C 学生直接带入新课的学 (2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言 习,并让学生知道数学知 说说这一结论的证明思路吗 ?你能用比较简捷的 识来源于实践,让他们感 语言写出这一证明过程吗?与同伴交流。 受到学习的乐趣,增加他 们学习数学的信心。 分析命题:证明三角形的内角和等于 180°。 已知:△ABC 求证:∠A+∠B+∠C=180° 首先引导学生怎样用符号 分析:延长 BC 到 D 过 来表示三角形的三个内角 点 C 作射线 CE//BA, 和等于 180°;再与学生 这样就当于把∠A 移 一起用拼图结果,∠A 与 到了∠1 的位臵,把 ∠1 之间的数量关系是相 ∠B 移到了∠2 的位臵。 等,位臵关系是内错角, 根据内错角相等,两直线 证明: 作 BC 的延长线 CD, 过点 C 作射线 CE//BA, 平行,启发学生添加辅助 则 线,作 BC 的延长线 CD,过 ∠1=∠A (两直线平行,内错角相等) , 点 C 作 BA 的平行线, ∠2=∠B (两直线平行,同位角相等) , ∵∠1+∠2+∠ACB=180° (1 平角=180°) , 鼓励学生独立思考,寻求 证明方法。 ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换) , 问题 2: 我们知道三角形三个内角的和等于 180 0 。 [ 议一议 ] 在证明三角形内角和定理时 , 小明的

研 讨 论 证

想法是把三个角“凑”到 A 处,他过点 A 作直线 PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? Q A P 1 3 2

B C 证明:过点 A 作 PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等 又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义),

教 学 过 程

研 讨 论 证

∴ ∠BAC+∠B+∠C=180° (等量代换). 小明的想法已经变为现实 , 由此你受到什么 启发?你有新的证法吗? 各小组展示探究结果, 归纳出以下几种证法: 方法 1、过 A 点,作 DE∥BC, 方法 2、过 B 点,作 DE∥AC 方法 3、延长 BC 作∠ACE=∠A 方法 4、在 BC 边上取任一点 D,作 DE∥AB、 DF∥AC
A E A

B

C

B B D F

C

在议一议的基础上引 导学生探索新的证法并归 纳;再启发学生思考:添 加辅助线有哪些思路呢? 并归纳。通过一题多解, 初步体会思维的多向性, 引导学生的个性化发展。 让学生体会数学辅助线的 桥梁作用, 在潜移默化中, 渗透初中阶段一个重要数 学思想----转化思想,为 学好初中数学打下基础。

C E

A A

添加辅助线有那哪些思路呢?启发学生归纳如下: 添加辅助线思路:1、构造平角 2、构造同旁内角 A E A F B D 图2 S Q P M B 图4 C N A R E C

B

图1

C A

[随堂练习] 1、直角三角形的两个锐角之和是多少度?正三 角的一个内角是多少度?请证明你的结论。

学 以 致 用 图一 图二 答案:90° 60° 如图一,在△ABC 中,∠C=90° ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A+∠B=90°. 通过练习,在应用中 如图二,△ABC 是等边三角形,则:∠A=∠B=∠ 加深对三角形内角和的理 C. 解, 提高解决问题的能力, ∵∠A+∠B+∠C=180° 并对新知识的巩固。 ∴∠A=∠B=∠C=60° 2、已知:如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠C=70°,点 D 和 E 分别在 AB 和 AC 上,且 DE∥AB。求证:∠ADE=50°。 证明:∵DE∥BC(已知) A ∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等) D ∵∠C=70°(已知) E ∴∠AED=70°(等量代换) ∵∠A+∠AED+∠ADE=180° B C (三角形的内角和定理) ∴∠ADE=180°-∠A-∠AED(等式的性质) ∵∠A=60°(已知) ∴∠ADE=180°-60°-70°=50°(等量代换)

教 学 过 程

板 书 B 设

[课堂小结] 这节课我们学习了三角形内角和定理的证 明,其关键是正确引辅助线。 总 [判断评估] 结 1 、三角形的内角有怎样的关系?直角三角形 评 呢? 价 2、三角形内角和定理的证明,如何添加辅助线 是关键。辅助线是怎样添加的?为什么这样添 加? S N 学会运用定理解决实际问题。 P ] [布置作业 P241、习题 6.6 1,2 Q R 6.5 三角形内角和定理的证明 一、提出问题: 猜想出三角形的三个内角和等于 180°。 M T C 二、分析命题:

根据教学过程反馈信 息由学生回顾所学内容。 让学生学会自我检 查、评价。使老师及时掌 握学生的学习情况,供教 师的今后教学参考。 巩固知识并及时反馈 教学信息.

有利学生对本节课的 知识有个系统地认识。



证明三角内角和定理,关键是添加辅助线:1、构 造平角 2、构造同旁内角。 三、练习:随堂练习。 根据课程的特点, 本节课以创设问题情境 引导学 生探索、运用为主线来展开。采用了多媒体演示的教 学手段,使图形直观、形象,便于学生理解。以学生 发展为本的原则,我运用启发式教学方法,引导学生 动手操作、探索、讨论的引导启发式教学方法。在教 学过程中,引导学生去探索,使学生感受到添加辅助 线的数学思想,更好地掌握三角形内角和定理的证明 及简单的应用,从而实现教师的引导和学生的学习主 体的课堂教学理念。 根据本节课内容特点和学生的实际,八年级学生 基本上具备数学的动手操作、探索、猜想、说理的能 力,在多媒体辅助教学的上,主要采用“操作—观察 —讨论—证明—应用 ” 的探究式的学习方式,教会学 生“ 动手做,动脑想,大胆猜、会说理,学致用”的 学习方法。 增加学生参与的机会,使学生在掌握知识、 形成技能的同时,培养其科学的学习方法和自信心。

教 法 分 析

教学有法, 教无定法。 启发式教学是课堂教学的 重要手段,是体现课改理 念的一种主要方式。根据 教学内容和学生情况,故 采用上述教法。

学 法 分 析

依本节内容特点,结 合学生实际情况,采用探 究式学习方式。探究式学 习方式是现代课堂教学重 要模式,学生在教师引导 启发下,通过师生共同探 究活动,使学生感受知识 的形成过程,从而实现教 学目标。

评 价 分 析

本节课在教学设计上,依教材、 《课标》 及学生 的实际情况,力求调动一切极积因素,激发学生的学 习兴趣,在教师引导启发下,使学生的思维围绕探索 步步深入,最大限度挖掘学生潜能,体现学生的主体 性。因此本人认为本节课达到如下的教学效果: 1、 “提出问题”激发学生思考,培养学生的思维和自 信心。 2、通过动手操作、合作交流,使学生发现并掌握三角 形内角和定理的证明。

评价分析是教学过程 的反馈,检验教学是否达 到预期目的、教学目标是 否实现、教学方法与手段 运用是否恰当的一个重要 环节。一方面,可以了解 学生对知识的掌握、能力 的培养的程度, 另一方面,

3、 “分析命题”培养学生分析问题,解决问题的能力。 又为以后的教学构想调整 4、 “练习”巩固知识并能简单应用。 与教学措施的制订提供依 整个课堂设计关注学生个体差异, 使不同个体获 据。 得相同的学习效果。


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