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2013走向高考数学详细答案1-9函数与方程、函数模型及其应用


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第1章 集合与函数

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函数与方程、

第 九 节

函数模型及其应用

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第1章

/>
第九节

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第1章

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重点难点 重点:1.函数的零点和方程解的联系 2.运用数形结合判定方程解的分布 3.掌握几种常见的函数模型: (1)一次函数 函数 函数. (5)对数函数 (2)二次函数 (6)分段函数 (3)分式函数 (7)幂函数 (4)指数 (8)三角
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难点:1.二次方程根的分布问题 2.二分法的应用 3.实际问题中,如何选择模拟函数,建立函数关系 式.
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知识归纳 一、函数的零点 1.定义:对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实 数 x 叫做函数 y=f(x)的零点.
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2.函数的零点与方程的根的关系 (1)函数的零点与方程的根的关系 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根, 也就 是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标,即方程 f(x) =0 有实数根?函数 y=f(x)有零点?函数 y=f(x)的图象 与 x 轴有交点.
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(2)函数零点的判定(零点存在性定理) 一般地,如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.
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(3)零点在判断两函数图象交点中的应用 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的实 数根,也就是函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象交 点的横坐标. 一般地,对于不能使用公式求根的方程 f(x)=0,我 们可以将它与函数 y=f(x)联系起来,利用函数的图象、 性质来求解.
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(4)二次函数的零点与一元二次方程的根的关系 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是一元二 次方程 ax2+bx+c=0 的根;二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象(抛物线)与 x 轴相交时, 交点的横坐标就是一元二 次方程 ax +bx+c=0 的根.具体结论如下:
2

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1.当 Δ=b2-4ac<0 时,一元二次方程 ax2+bx+c =0 无解,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 无零点,二次函数 的图象(抛物线)与 x 轴不相交; 2.当 Δ=b2-4ac=0 时,一元二次方程 ax2+bx+c =0 有两个相等的实根,二次函数 f(x)=ax +bx+c 有一 个零点,二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相切;
2

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3.当 Δ=b2-4ac>0 时,一元二次方程 ax2+bx+c =0 有两个不相等的实根,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 有 两个零点,二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相交.若该交 Δ 点分别为 A、B,则 A、B 之间的距离为|AB|= |a|
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二、用二分法求方程近似解 用二分法求方程 f(x)=0 近似解的一般步骤: 第一步:确定一个区间[a,b],使得 f(a)· f(b)<0,令 a0=a,b0=b. 1 第二步:取区间(a0,b0)的中点 x0= (a0+b0). 2 第三步:计算 f(x0)的值,得到下列相关结论.
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(1)若 f(x0)=0,则 x0 就是方程 f(x)=0 的一个根,计 算终止; (2)若 f(a0)· 0)<0, f(x 则方程 f(x)=0 的一个根位于区间 (a0,x0)中,令 a1=a0,b1=x0; (3)若 f(x0)· 0)<0, f(b 则方程 f(x)=0 的一个根位于区间 (x0,b0)中,令 a1=x0,b1=b0.
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1 第四步:取区间(a1,b1)的中点 x1= (a1+b1),重复 2 第二、第三步,??直到第 n 次,方程 f(x)=0 的一个根 总在区间(an,bn)中. 第五步:当|an-bn|<ε,(ε 是规定的精确度)时,区间 (an,bn)内的任何一个值就是方程 f(x)=0 的一个近似根. 注意:二分法只适用于求函数 f(x)的变号零点.
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三、函数的应用 1.求解函数应用问题的思路和方法
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2.函数建模的基本流程

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误区警示 1.函数 f(x)的零点不是“点”,它是一个数,是方 程 f(x)=0 的实数根. 2.在对函数零点的判断中,(1)f(x)在[a,b]上连续; (2)f(a)· f(b)<0;这是零点存在的一个充分条件,不是必要 条件,并且满足 f(a)· f(b)<0 时,f(x)在[a,b]上至少有一 .. 个零点;不满足 f(a)· f(b)<0 时,f(x)在[a,b]上未必无零 点,也可能有多个零点.
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3.二分法是求方程根的近似值的一种计算方法,它 只能用来求函数的变号零点. 4.二次函数当 Δ=0 时,有两个相等的实数根,但 .. 零点只有一个 (二重零点). ..
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5.求解函数应用题时,关键环节是审题,审题时一 要弄清问题的实际背景,注意隐含条件;二是将文字语 .. 言恰当准确的翻译为数学语言,用数学表达式加以表示; 三是弄清给出什么条件,解决什么问题,通过何种数学 模型加以解决;四是严格按各种数学模型的要求进行推 理运算,并对运算结果作出实际解释;五要特别注意实 际问题中自变量取值范围.
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解题技巧 解决与函数零点有关的问题主要方法有:(1)零点存 在性定理;(2)解方程 f(x)=0;(3)数形结合.
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函数零点的判断
[例 1] (文)方程 2x+x-4=0 的解所在区间为( A.(-1,0) C.(1,2) B.(0,1) D.(2,3) )
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解析:令 f(x)=2x+x-4,∵f(1)· f(2)=-2<0, ∴f(x)在(1,2)内有零点.
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答案:C

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1 (理)设函数 f(x)= x-lnx(x>0)则 y=f(x)( 3
?1 ? A.在区间? ,1?,(1,e)内均有零点 ?e ? ?1 ? B.在区间? ,1?, ?e ?

)

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(1,e)内均无零点

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?1 ? C.在区间? ,1?内有零点;在区间(1,e)内无零点 ?e ? ?1 ? D.在区间? ,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点 ?e ?

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?1 ? 1 1 e ? ?= +1>0,f(1)= -0>0,f(e)= -1<0, 解析:f 3 3 ?e ? 3e

又因为 f(x)在(0,3)上单调递减, 根据开区间上根的存在性 定理知选 D.

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答案:D

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(文)(2011· 温州一模)已知函数 f(x)=lnx-x+2 有一 个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N*),则 k 的值为 ________.
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解析:由题意知,f(3)=ln3-1>0,f(4)=ln4-2<0, 所以该函数在区间(3,4)内有零点,所以 k=3.
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答案:3

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(理)已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)= log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则( A.a<b<c C.b<a<c B.a<c<b D.c<a<b )
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1 1 解析: 由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0, f(x) 故 2 2 =2x+x 的零点 a∈(-1,0);∵g(2)=0,故 g(x)的零点 b
?1 ? 1 1 ? ?=-1+ =- <0,h(1)=1>0,故 =2;h 2 2 ?2 ? ?1 ? ∈? ,1?,因此,a<c<b. ?2 ?

h(x)的零点 c

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答案:B

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二分法
[例 2] 下图是函数 f(x)的图象, 它与 x 轴有 4 个不同 的公共点. 给出下列 4 个区间, 不能用二分法求出函数 f(x) 的零点的区间是( )
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A.[-2.1,-1] C.[4.1,5]

B.[1.9,2.3] D.[5,6.1]

分析:二分法只能求函数的变号零点.

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解析:在区间[1.9,2.3]上,f(1.9)>0,f(2.3)>0,两者 同号,故不能利用二分法求函数的零点.
答案:B
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若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近 的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表: f(1)=-2 f(1.25)=-0.984 f(1.438)=0.165 f(1.5)=0.625 f(1.375)=-0.260 f(1.4065)=-0.052
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那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) B.1.3 D.1.5
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A.1.2 C.1.4

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解析:由表格可知零点位于1.4065至1.438之间,所以

近似解为1.4,选C.
答案:C
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正、反比例函数,一次函数模型
[例 3] 学校请了 30 名木工, 要制作 200 把椅子和 100 张课桌. 已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比 为 10? 7 ,问 30 名工人应当如何分组(一组制课桌,另一 组制椅子),能最快完成全部任务? 分析:弄清题意,建立完成全部任务的时间与制课桌 或椅子的人数的函数关系,转化为求函数的最值问题.
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解析:设 x 名工人制课桌,(30-x)名工人制椅子, 一个工人在一个单位时间里可制 7 张课桌或 10 把椅子, 所以 100 制作 100 张课桌所需时间为 P(x)= , 7x 制作 200 把椅子所需时间为 200 20 Q(x)= = , 10?30-x? 30-x
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完成全部任务所需的时间为 P(x)与 Q(x)的最大值 F(x). 为求得 F(x)的最小值,需满足 100 20 P(x)=Q(x),即 = ,解得 x=12.5, 7x 30-x 考虑到 x 表示人数,所以 x∈N*. ∵P(12)>P(13), Q(12)<Q(13), 故考查 P(12)与 Q(13).
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100 20 P(12)= ≈1.19,Q(13)= ≈1.18. 84 17 即 F(12)>F(13). 所以用 13 名工人制作课桌, 名工人制作椅子完成 17 任务最快.
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二次函数模型
[例 4] 某市现有从事第二产业人员 100 万人,平均
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每人每年创造产值 a 万元(a 为正常数),现在决定从中分 流出 x 万人去加强第三产业.分流后,继续从事第二产业 的人员平均每人每年创造产值可增加 2x%(0<x<100),而 分流出的从事第三产业的人员, 平均每人每年可创造产值 1.2a 万元.在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流 出多少人,才能使该市第二、三产业的总产值增加最多?
第1章 第九节

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解析:设分流出 x 万人,为保证第二产业的产值不 减少,必须满足(100-x)· (1+2x%)≥100a, a· 因为 a>0,x>0,可解得 0<x≤50, 设该市第二、三产业的总产值增加 f(x),则 f(x)=(100-x)· (1+2x%)+1.2ax-100a a· =-0.02a(x-55)2+60.5a, ∵x∈(0,50]且 f(x)在(0,50]上单调递增,
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∴当 x=50 时,f(x)max=60a. 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流 出 50 万人, 才能使该市第二、 三产业的总产值增加最多.
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(文)有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能 获得的利润依次是 p 和 q(万元). 它们与投入的资金 x(万 1 3 元)的关系有经验公式:p= x,q= x,今有 3 万元资 5 5 金投入经营甲、 乙两种商品, 为了获得最大利润, 对甲、 乙两种商品的资金投入分别是多少时能获得最大利 润?
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分析:总利润是经营甲、乙两种商品所获利润的和, 即 S=p+q,总投入资金 3 万元,若投入甲 x 万元,则投 入乙应为 3-x 万元.
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解析:设投资甲商品 x 万元,则投资乙商品(3-x) 1 3 万元,则经营甲、乙商品分别获利润 P= x 万元,q= 5 5 3-x万元. 1 3 ∴S= x+ 3-x(0≤x≤3). 5 5 令 t= 3-x,则有 0≤t≤ 3. 1 1? 3 ?2 21 2 ∴S= (3+3t-t )=- ?t- ? + , 5 5? 2 ? 20
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? 3 ? 3 21 ?0< < 3? ,Smax= . 当 t= 时 2 ? 2 20 ?

3 此时 x=3-t = =0.75(万元),3-x=2.25(万元). 4
2

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因此, 对甲种商品投资 0.75 万元, 乙种商品投资 2.25 万元,此时获得利润最大为 1.05 万元.

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点评:①经营甲、乙两种商品所获利润 p、q 与投入 资金有关,它们是投入资金数的函数,而不是常量.甲、 乙两种商品共投入资金 3 万元,投入甲 x 万元,则投入 1 3 乙为 3-x 万元,从而利润 p= x 万元,q= 3-x万元, 5 5 3 而不是 q= x万元!这是最容易出错的地方. 5
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②x 与 3-x是“二次关系”, 据此可设 3-x=t, 得到关于 t 的二次函数, 但换元后要注意新元变化范围.
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(理)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产 品, 其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关 x2 系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产 5 线年产量最大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本 最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元, 那么当年产量 为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
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解析:(1)由题意知 0<x≤210 y 每吨平均成本为 (万元). x y x 8000 则 = + -48≥2 x 5 x x 8000 · -48=32, 5 x
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x 8000 当且仅当 = ,即 x=200 时取等号. 5 x ∴年产量为 200 吨时, 每吨平均成本最低为 32 万元.

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(2)设年总利润为 R(x)万元, x2 则 R(x)=40x-y=40x- +48x-8000 5 x 1 = - + 88x - 8000 = - (x - 220)2 + 5 5 1680(0≤x≤210). ∵R(x)在[0,210]上是增函数,
2

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1 ∴x=210 时,R(x)有最大值 R(210)=- (210-220)2 5 +1680=1660. ∴当年产量为 210 吨时,可以获得最大利润,最大 利润为 1660 万元.
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分段函数问题
[例 5] 依法纳税是每个公民应尽的义务.国家征收 个人工资、 薪金所得税是分段计算的. 总收入不超过 1000 元的免征个人工资、薪金所得税;超过 1000 元部分需征 税. 设全月纳税所得额为 x(x=全月总收入-1000 元), 税 率见下表:
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级别 1 2 3 ? 9

全月纳税所得额 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2000 元部分 超过 2000 元至 5000 元部分 ? 超过 100000 元部分

税率 5% 10% 15% ? 45%
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(1)若应纳税额为 f(x),试用分段函数表示 1-3 级纳 税额 f(x)的计算公式; (2)李某 2010 年 4 月份工资收入为 4200 元,试计算 这个人 4 月份应缴纳个人所得税多少元? (3)王某 2010 年 6 月份缴纳了 166 元个人所得税, 问 这个人 6 月份的工资是多少元?
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分析:仔细读题,解释“工资、薪金所得额”、“纳 税所得额”的含义及税率表中级别是如何划分的,正确 理解“部分”二字的基础上,准确列出第二、三级中的 f(x)是解决本题的关键.
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解析:(1)由题意知 第一级,即当 0<x≤500 元时,应纳税 f(x)=x· 5%= 0.05x 元; 第二级,即当 500<x≤2000 元时,其中 500 元纳税 500×5%=25 元, 其余的(x-500)元应纳税(x-500)· 10% 元,故此时 f(x)=(x-500)· 10%+25=0.1x-25 元;
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第三级,即当 2000<x≤5000 元时,其中 500 元纳税 500×5%=25 元,1500 元纳税 1500×10%=150 元,其 余的(x-2000)元应纳税(x-2000)· 15%元.共纳税 f(x)= (x-2000)· 15%+150+25=0.15x-125 元. 所以 1~3 级纳税额 f(x)的计算公式是 ?0.05x, ?0<x≤500? ? f(x)=?0.1x-25, ?500<x≤2000? ?0.15x-125, ?2000<x≤5000? ?
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(2)此人 2010 年 4 月份纳税所得额 x=4200-1000=3200 元, 因为 3200∈(2000,5000),所以应选用第三个解析式 f(3200)=0.15×3200-125=355 元.
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(3)因为 500<x≤2000 时,25<0.1x-25≤175, 而 166∈(25,175] 所 以 0.1x- 25 = 166, 2910(元). 答:李某 2010 年 4 月份应纳税 355 元,王某 2010 年 6 月份工资为 2910 元. x= 1910, ∴ x+ 1000=
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综合应用
[例 6] 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成 本为 3 元, 并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的管 理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年 的销售量为(12-x)2 万件.
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(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a).
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解析: (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数 关系式为 L=(x-3-a)· (12-x)2,x∈[9,11]. (2)L′(x) = (12- x)2 - 2(x- 3- a)(12 - x) = (12 - x)(18+2a-3x). 2 令 L′=0 得 x=6+ a 或 x=12(不合题意,舍去). 3 2 28 ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ . 3 3
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2 在 x=6+ a 两侧 L′(x)的值由正变负. 3 2 9 所以(1)当 8≤6+ a<9,即 3≤a< 时, 3 2 Lmax(x)=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).
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2 28 9 (2)当 9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5 时, 3 3 2
? 2 ? Lmax(x)=L?6+ a? 3 ? ? ? ? ?? ? 2 ??2 2 1 ?3 =?6+ a-3-a??12-?6+3a ?? =4?3- a? . 3 3 ? ? ?? ? ?? ?

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9 ? 3≤a< ?9?6-a? 2 所以 Q(a)=? ? 1 ?3 9 ?4?3- a ? ≤a≤5 ? ? 3 ? 2



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9 即:若 3≤a< ,则当每件售价为 9 元时,分公司一 2 9 年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6-a)(万元);若 2
? 2 ? ≤a≤5,则当每件售价为?6+ a? 元时,分公司一年的利 3 ? ?
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润 L 最大,最大值

? 1 ?3 Q(a)=4?3- a? (万元). 3 ? ?

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一、选择题 1.函数 f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个 零点,则 a 的取值范围是( 1 A.-1<a< 5 1 C.a> 或 a<-1 5 ) 1 B.a> 5 D.a<-1
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[答案] C

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[解析] 显然 a≠0,故 f(x)为单调函数, ∵f(x)在(-1,1)上存在零点, ∴f(-1)· f(1)<0, 1 ∴(-5a+1)(a+1)<0,∴a<-1 或 a> . 5
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第1章

第九节

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?x-1?ln?x-2? 2.(2010· 黑龙江哈三中)函数 f(x)= 的 x-3 零点有( ) B.1 个 D.3 个
人 教

A.0 个 C.2 个

A


[答案] A

第1章

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[解析] 令 f(x)=0,得 x=1 或 ln(x-2)=0,∴x=1 或 x=3, 但 x=1 时,ln(x-2)无意义,x=3 时,分母为 0, 故 f(x)无零点.
人 教

A


第1章

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3.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x、 f(x)对应值表: x f(x) 1 2 3 4 5 6
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123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49

A


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函数 f(x)在区间[1,6]上的零点有( A.2 个 C.至多 2 个 B.3 个

)

D.至少 3 个

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[答案] D

A


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[解析] 由表知 f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内都至 少有一个零点,故选 D.
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A


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4.( 文 )如 图是某 汽车 维修公 司的维 修点环 形分布 图.公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点某种配 件各 50 件.在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点 的这批配件分别调整为 40、45、54、61 件,但调整只能 在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的 调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调 动件次为 n)为( )
人 教

A


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A


A.15 C.17

B.16 D.18

[答案] B

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[解析] 由题意知:应从 A 中调出 10 件,从 B 中调 出 5 件,C 调入 4 件,D 调入 11 件,以就近原则,先从 A 调 10 件给 D,B 调 4 件给 C,则已经调 14 次,B 需调 出 1 件给 D,应通过 A 或 C,都需 2 次调动,∴共需 14 +2=16 次.
人 教

A


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(理)(2010· 广东佛山顺德区质检)甲、乙两工厂的月产 值在 09 年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加 相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分 比相同. 09 年 11 月份发现两工人的月产值又相同. 到 比 较甲、乙两工厂 09 年 6 月份的月产值大小,则有( )
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A


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A.甲的产值小于乙的产值 B.甲的产值等于乙的产值

C.甲的产值大于乙的产值
D.不能确定 [答案] C

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A


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[解析] 设六月份两厂产值都是 a,甲每月增加产值 b,乙每月比前一月增加的百分比为 q,由条件知 a+10b=a(1+q)10, ∴ 10b= a[(1+ q)10 - 1] = a[(1 + q)5 - 1][(1+ q)5 + 1]>2a[(1+q) -1], ∴5b+a>a(1+q)5,即甲厂 6 月份产值比乙厂 6 月份 产值大.
5

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A


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二、解答题 5.(文)(2010· 广东罗湖区调研)某汽车运输公司购买 了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营 运的总利润 y 万元与营运年数 x(x∈N*)的关系为 y=-x2 +18x-36. (1)每辆客车营运多少年,可使其营运总利润最大? (2)每辆客车营运多少年,可使其营运年平均利润最 大?
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A


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[解析]

(1)每辆客车营运的总利润为 y=-x2+18x

-36=-(x-9)2+45, 故 x=9 时,y 取最大值 45. 即营运 9 年可使其营运总利润最大.
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A


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(2)每辆客车营运年平均利润为
2 ? y -x +18x-36 36? = =18-?x+ ? x x x? ?

≤18-2

36 x· =18-12=6. x

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A


36 当且仅当 x= 时等号成立,解得 x=6. x 即每辆客车营运 6 年,可使其营运年平均利润最大.

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(理)(2010· 常德市检测)某种商品的生产成本为 50 元/ 件,出厂价为 60 元/件.厂家为了鼓励销售商多订购,决 定当一次性订购超过 100 件时,每多订购一件,所订购 全部商品的出厂价就降低 0.01 元.根据市场调查,销售 商一次订购不会超过 600 件. (1)设销售商一次订购 x 件商品时的出厂价为 f(x), 请 写出 f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件商品时,厂家获得的利 润最大?最大利润是多少?
第1章 第九节

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A


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[解析] (1)当 0<x≤100 时,f(x)=60; 当 100<x≤600 时,f(x)=60-(x-100)×0.01=61- 0.01x.
?60 ? ∴f(x)=? ?61-0.01x ?
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0<x≤100 100<x≤600

A

.



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(2)设利润为 y 元,则 0<x≤100 时, y=60x-50x=10x, ∴x=100 时,ymax=1000 元. 当 100<x≤600 时, y=(61-0.01x)· x-50x=11x-0.01x2 =-0.01(x-550)2+3025,
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A


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当 x=550 时,ymax=3025. 显然 3025>1000,故当一次定购 550 件时,厂家的利 润最大,最大利润为 3025 元.
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A


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A


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