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2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数章末归纳总结课件 新人教A版必修4


第一章
三角函数

第一章
章末归纳总结

1

知 识 结 构

2

专 题 突 破

知识结构

专题突破

专题一 三角函数的概念和诱导公式 三角函数的定义及诱导公式在中学数学的

学习中主要有两 方面的作用: 一是以集合的交、并、补运算为载体,考查三角函数值在

各象限内的符号、终边相同的角及象限角等基础知识.
二是考查诱导公式在三角函数求值、化简、证明和三角恒 等变换中的应用.

5π 5π 已知角 α 终边上一点 P 的坐标为(sin 6 , cos 6 ), 则角 α 的最小正值是( 5π A. 6 ) 2π B. 3

5π 11π C. 3 D. 6 [探究] 利用特殊角的三角函数值判断点P所在的象限,再

利用特殊角的三角函数值求解,也可以利用三角函数定义和诱 导公式求解.

[答案] C

5π 1 5π 3 [解析] 方法一:由 sin 6 =2,cos 6 =- 2 可知点 P 的坐 1 3 5π 标为(2,- 2 ),故第四象限角,且 tanα=- 3,所以 α= 3 . 5π π π 方法二:由三角函数定义知,sinα=cos 6 =cos(2+3)=- π π π sin3=sin(-3),与-3有相同正弦值的第四象限的最小正角是 5π 3.

[规律总结]

由三角函数的定义可知,单位圆上任意一点 ,θ∈[0,2π].

? ?x=cosθ 的从标为(cosθ,sinθ)即? ? ?y=sinω

如下图,在 Rt△POB 中,∠PBO=90° ,以 O 为 圆心,OB 为半径作圆弧交 OP 于点 A,若弧 AB 等分△POB 的 面积,且∠AOB=α 弧度,则( A.tanα=α B.tanα=2α C.sinα=2cosα D.2sinα=cosα )

[探究] 利用正切函数定义及扇形面积是 Rt△OBP 面积的 一半求解.

[答案] B

1 BP [解析] 在 Rt△OBP 中,tanα=OB,又 S 扇形=2α· OB2,SRt 1 BP, △OBP= OB· 2 1 1 1 ∴2×2OB· BP=2α· OB2,∴tanα=2α.

专题二

利用三角函数及关系化简、证明、计算

三角函数的定义及同角三角函数的基本关系在高考中应用 比较多, 结合化简、 求值、 证明进行考查, 注意公式 sin2α+cos2α sinα =1 和 tanα=cosα及变形公式的灵活运用.

π 1 已知-2<x<0,sinx+cosx=5. (1)求 sinx-cosx 的值; sinxcosx+sin2x (2)求 的值. 1-tanx
[探究] 由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx求出sinxcosx的值,

然后根据(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx求解(1)题;(2)题先化简再

求值.

1 24 [解析] (1)将 sinx+cosx=5两边平方得 2sinxcosx=-25, 49 ∴(sinx-cosx) =1-2sinxcosx=25.
2

π ∵-2<x<0, ∴sinx<0,cosx>0,∴sinx-cosx<0. 7 故 sinx-cosx=-5.

sinxcosx+sin2x sinx?sinx+cosx? (2) = sinx 1-tanx 1-cosx 12 1 -25×5 12 = =-175. 7 5

[规律总结]

(1)sinα± cosα , sinαcosα 之 间 可 通 过

(sinα± cosα)2 = 1± 2sinαcosα 知 一 求 二 , 有 关 sin3α± cos3α , 1 sin α± cos α,sin α± cos α,tanα+tanα等化简都与此基本变形有
4 4 6 6

关. (2)统一函数名称,统一角,统一运算结构是三角函数、求 值、变形的常用方法.

专题三

正弦函数与余弦函数的对称性问题

正弦函数 y=sinx,余弦函数 y=cosx,在教材中已研究了 它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性.除了上述有 关内容之外,近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现,有必要对其作进一步的探讨.

函数 y=sinx,x∈R 的图象是中心对称图形,并且有无穷 多个对称中心, 对称中心是图象与 x 轴的任一交点, 坐标为(kπ, π 0)(k∈Z);函数 y=cosx,x∈R 的对称中心坐标为(kπ+2,0)(k ∈Z),以上两个函数图象,也是轴对称图形,它们的对称轴分 π 别是 x=kπ+2(k∈Z)和 x=kπ(k∈Z);函数 y=tanx 的对称中心 kπ 坐标为( 2 ,0)(k∈Z),但它不是轴对称图形.

π 求函数 y=sin(2x-6)的对称中心和对称轴方程. π [探究] 利用三角函数的图象,把 2x-6看作一个变量,用

换元的方法求对称中心或对称轴方程,也可以考虑 y=sinx 与 y π =sin(2x-6)的关系,利用变换的思想求对称轴与对称中心.

[解析] 0),

π 设 A=2x-6,则函数 y=sinA 的对称中心为(kπ,

π kπ π 即 2x-6=kπ,x= 2 +12, π π π k 对称轴方程为 2x-6=2+kπ,x=3+2π. π kπ π 所以 y=sin(2x-6)的对称中心为( 2 +12,0),对称轴为 x π k =3+2π(k∈Z).

[规律总结]

本例中给出求三角函数的对称轴与对称中心

的两种方法, 这都是解决三角问题的基本方法, 要切实理解好.

专题四 三角函数的值域与最值问题 求三角函数的值域 ( 最值 ) 可分为几类: (1) 是 y = Asin(ωx + φ) +k 类型的,应利用其图象与性质、数形结合求解. (2) 是可

化为以三角函数为元的二次函数类型,应确定三角函数的范
围,再用二次函数求解.(3)利用几何意义求解等.

π π 已知函数 y=asin(2x+6)+b 在 x∈[0,2]上的值 域为[-5,1],求 a、b 的值.

π [探究] 先由 x 的范围确定 sin(2x+6)的范围,再根据 a 的 符号,讨论 a、b 的值.

π π π 7 [解析] ∵x∈[0,2],∴2x+6∈[6,6π], π 1 sin(2x+6)∈[-2,1]. ? ? ?a+b=1, ?a=4, ∴当 a>0 时,? a 解得? ? -2+b=-5, ?b=-3; ? ? 1 ? ? ?- a+b=1, ?a=-4, 2 当 a<0 时,? 解得? ? ?b=-1. ? ?a+b=-5, ∴a、b 的取值分别是 4、-3 或-4、-1.

[规律总结]

本题是先由定义域确定正弦函数 y=sin(2x+

π 6)的值域,但对整个函数的最值的取得与 a 有关系,故对 a 进 行分类讨论.

设 a≥0,若 y=cos2x-asinx+b 的最大值为 0, 最小值为-4,试求 a、b 的值.

[探究] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解. a2 a2 [解析] 原函数变形为 y=-(sinx+2) +1+b+ 4 .
a 当 0≤a≤2 时,-2∈[-1,0], a2 ∴ymax=1+b+ 4 =0. a2 a2 ymin=-(1+2) +1+b+ 4 =-4 ① ②

由以上两式①②,得 a=2,b=-2,舍 a=-6(与 0≤a≤2 矛盾). a 当 a>2 时,-2∈(-∞,-1), a2 a2 ∴ymax=-(-1+2) +1+b+ 4 =0. a2 a2 ymin=-(1+2) +1+b+ 4 =-4. 由以上两式③④,得 a=2,不适合 a>2,∴应舍去.
? ?a=2, 综上知,只有一组解? ? ?b=-2.



[规律总结]

一元二次函数区间最值问题含有参数时,应

按照对称轴与区间的相对位置去讨论.

专题五 三角函数图象的平移及变换 π 函数 f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2) 的一段图象过点(0,1),如图所示.

(1)求函数 f1(x)的表达式; π (2)将函数 y=f1(x)的图象向右平移4个单位, 得函数 y=f2(x) 的图象,求 y=f2(x)的最大值,并求出此时自变量 x 的集合. 11 π [探究] 首先由图可确定周期 T=12π-(-12)=π,可得 y

=Asinωx,利用平移知识可知,图象对应的函数为 y=Asinω(x π -12).

2π [解析] (1)由图知,T=π,于是 ω= T =2.将 y=Asin2x 的 π π π π 图象向左平移12,得 y=Asin2(x+12)=Asin(2x+6),∴φ=6. π π 将(0,1)代入 y=Asin(2x+6), 得 A=2.故 f1(x)=2sin(2x+6). π π π (2)依题意,f2(x)=2sin[2(x-4)+6]=-2cos(2x+6). π 当 2x+6=2kπ+π, 5π 即 x=kπ+12(k∈Z)时,ymax=2. 5π ∴此时 x 的值集合为{x|x=kπ+12,k∈Z}.

专题六 数学思想
一、数形结合的思想 数形结合思想是重要的数学思想,它能把抽象的思维方式

转化为形象、直观的思维方式,从而使问题变得简单明了.
在本章中,数形结合思想贯穿始终,主要体现在以下几个 方面:利用单位圆给出三角函数的定义,并推导出同角三角函 数的基本关系;利用三角函数线画正 ( 余 ) 弦及正切函数的图 象.

设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x, 则在下列区间中函 数 f(x)不存在零点的是( A.[-4,-2] C.[0,2] ) B.[-2,0] D.[2,4]

[分析]

要求f(x)=0,可以将f(x)的零点转化为函数g(x)=

4sin(2x+1)与h(x)=x的交点.如图,g(x)和h(x)在同一坐标系中

的图象.由此可知,本题选A.

[答案] A

[规律总结]

本题主要考查三角函数图象的平移和函数与

方程的相关知识,将函数零点问题转化为函数图象的交点问 题,从而利用函数图象数形结合巧妙解决.

二、转化与化归思想
在解决三角函数的相关问题时,常用到转化与化归思想, 如证明三角恒等式及条件求值等,常常是化繁为简、化异为 同、化“切”为“弦”,有时也逆用,这些都体现了转化与化 归思想.

已知 tanθ= 2,求: cosθ+sinθ (1) ; cosθ-sinθ (2)sin2θ-sinθcosθ+2cos2θ.

[ 分析 ]

由于 (1) 、 (2) 中的三角函数都是齐次式,可考虑

“弦”化“切”,然后代入求值即可.
[解析] (1)∵tanθ= 2,∴cosθ≠0, sinθ cosθ+sinθ 1+cosθ 1+tanθ 1+ 2 ∴ = = = =-3-2 2. sin θ cosθ-sinθ 1-tanθ 1- 2 1-cosθ 2 2 sin θ - sin θ cos θ + 2cos θ 2 2 (2)sin θ-sinθcosθ+2cos θ= sin2θ+cos2θ

sin2θ sinθ cos2θ-cosθ+2 2- 2+2 4- 2 = sin2θ = = 3 . 2+1 + 1 cos2θ

[规律总结]

对于第(2)小题,为了“弦”化“切”,凑了

一个分母,体会其作用.


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