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直线的倾斜角和斜率


解析几何的基本思想:建立坐标系,几何
问题化为代数问题,用代数方法研究;也可提 供代数问题的几何背景和解题思路。

学习方法:运算量大,耐心,毅力,韧劲。 存在问题:眼高手低----怕,难!

2.1.1直线的倾斜角与斜率

引入
平面上有很多不同的直线,它们的区别 就在于位置不同。

图1 O

图2

O

图1,过定点O(0,0)的直线有无数条; 图2,与x轴正方向所成30o的直线有无数条。

问题1:如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢? 两点或一点和方向

问题2:如果已知一点还需附加什么条件, y 才能确定直线? 一个方向
问题3:如何表示方向?
o x

用角

直线的倾斜角
y
l

α o

x

对于一条与X轴 相交的直线,把 X轴(正方向) 按逆时针方向绕 交点旋转到和直 线L重合时所成 的角叫直线L的 倾斜角。

练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A y y )
x o

o

a

A
y

B
y

a
C D
x x o

a

o

x

a

1、直线的倾斜角
规定:当直线和x轴平行或重合时, 它的倾斜角为0°
y o

?

p

l
x

y

l
p

y o p

y

o

?

x

?

p

x

o

l
x

l

由此我们得到直线倾斜角α的范围为:

?

o o ? [ 0 ,180 )

想一想 你认为下列说法对吗? 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。

2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。

问题引入
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

描述直线倾斜程度的量——直线的斜率

探究一:过原点,倾斜角α为的直线的斜率?

(1)0°≤α<90°的直线的斜率:
?P(1,k) α ?A(1,0)

不同的倾斜角对应不同的斜率; 斜率k=tanα,k≥0,α越大k越大.

(2)90°≤α<180°的直线的斜率:

α

?P(1,k)

斜率k=tanα; k<0; α越大k越大.

(3)α=90°直线的斜率不存在。 思考:直线不过原点呢?

2、直线的斜率
定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:

k ? tan ? , 0 ? ? ? 180
0
?

0

注:倾斜角是90 °的直线斜率不存在。
? k ? tan 45 ?1 例如:直线 l的倾斜角为 45 , 则斜率为:

直线l的倾斜角为60o , 则斜率为: k ? tan 60? ? 3

y
o

?

p

l
x

y p
o

l

y
o p

y

?

x

?

p

x

o

l
x

l

0°< ? < 90°

?

= 90°

? 90°< <180°

?

= 0°

k >0

k不存在

k<0

k=0

应用:
例1 直线 l1、 l2、 的斜率分别是k1、 k2、 试 比较斜率的大小。
l1 l2

例2:判断:

? 180 2、直线的倾斜角越大,则它的斜率也越大 ?
1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或
?

想一想

我们知道,两点也可以唯一确定一条直线。 所以我们的问题是: 如果知道直线上的两点,怎么样 来求直线的斜率(倾斜角)呢?

探究二:由两点确定的直线的斜率 k ? tan?
锐角
y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )

能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求?

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan ?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

思考:1.α不是锐角结论也成立吗? 成立
) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 )、 B (b1 , b2, 运用上述公式计算直线AB的斜率时,与 A、B的顺序有关吗?

k AB

b2 ? a2 ? b1 ? a1

?

a2 ? b2 k BA ? a1 ? b1

答:与A、B两点的顺序无关。

3、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2 P1 P1 P2

四、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a ( a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角? 之间的关系:

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式:k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan 0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? a ? 90 ? tan a (不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? tan a ? 0 ?

例1: 判断正误:
①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 tan( ? )

②因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有 斜率。 ( ) ③因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( )

例2:若直线l与x轴交点为A,其倾斜角为α (1)将直线l绕点A逆时针方向旋转45, 得到直线l1,则l1的倾斜角为_____. (2)l2与l关于x轴对称,则l2的倾斜角为_____. (3)l3与l关于y轴对称,则l3的倾斜角为_____.

例3:如图,直线l1的倾斜角α=30°, 直线l1⊥l2,求l1,l2的斜率.

α1

例4 :如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求

直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线 的倾斜角是什么角? y. 解: B . A 2?2 . . . . . . . ?0 直线AB的斜率 k AB ? o x ?8? 4 . ?2?2 ?4 1
直线BC的斜率 k BC ? 直线CA的斜率 kCA
0 ? (?8) ? 8 ?? 2

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ k BC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

例5:已知直线l经过两点A(-m,6),B(1,3m) (1)若斜率为12,则m=_____. (2)若倾斜角为0°,则m=_____. (3)若斜率不存在,则m=_____.

例 6:求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线

的斜率
变式1、在例1基础上加上点C(m,4)也在直 线上,求m。 变式2、在例1基础上加上点D(8,6),判断点 D是否在直线上。
变式3、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三 点共线,求a 的值.


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