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高代二复习卷


高代复习卷(时间 150 分钟)
一、选择题。
1、设向量组为

?1,? 2, ?,? s ,则下列结论中不正确的是(



?,? s 线性无关 ? 每个向量都不是其余向量的线性 A. ?1,? 2,
组合

?,? s 线性相关 ? 其中每一个向量是其余向量的线

B. ?1,? 2,
性组合. C. ? 为向量空间 V 的线性变换, ?1 、 ? 2 、…、 ? r ? V ,且 ?1 、 ? 2 、…、
? r 线性无关,则 ? ??1 ? 、 ? ?? 2 ? 、…、 ? ?? r ? 也线性无关。 ?2 、 ?r ? V , ?1 、 ? ?? 2 ? 、 D. …、 且 ? ??1 ? 、 …、 ? 为向量空间 V 的线性变换,

? ?? r ? 线性无关,则 ?1 、 ? 2 、…、 ? r 也线性无关。
2、下列不能作为 n 元实二次型 f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? X ? AX 正定的充要条件的

是 (



A. A 的主对角元素 aii 全大于零 C. A 的正惯性指数 p ? n
二、填空题。

B. A 合同于单位矩阵 I D. A 的顺序主子式大于零

1、设 ?1 ? (1,1,3,1) , ? 2 ? (1,?3,0,1) , ? 3 ? (0,1,3,?1) ,则 L( ?1 ,? 2 ,? 3 )的维 数为_________。 2、已知标准欧氏空间 R 4 中向量 ? ? (1, ?1,1), ? ? (2, a, b) ,则向量 ? 与 ? 的 正 交 , 向 量 ? 与 ? ? (1, 0, 0) 的 夹 角 为 _____________________。 3、二次型 q( x1 , x2 , x3 ) ? 2x12 ? x22 ? x32 ? 2x1 x2 ? tx2 x3 正定,t 的取值范围是
1

? ,则 a 与 b 分别为 4

______________。 4 、 若 A 有特征值 ? , |A| ? 0, , , 则 A*- A2 ? 3 A ? I 必 有特征值 __________。
1、设?1 ? (1,1,0),? 2 ? (1,3,-1),?3 ? (5,3,t)? R 3,
t?
时, ?1,?2,?3 线性相关。1

6、方程组 ?

? x1 ? x2 ? 2 x3 ? 1 的全部解为__________________。 ? ? x1 ? 2 x3 ? 2

7、实二次型 q( x1 , x2 , x3 ) ? x12 ? x22 ? ax32 ? 2x1 x2 ? 2x1 x3 ? 2x2 x3 与二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) ? x12 ? x22 等价,当且仅当____________。

三、判断题 1、设 V ? ??a1,a2 ? a1,a2 ? R?定义向量加法与标量与向量的乘法如下:

0? ? a1,a2 ? ? ? b1,b2 ? ? ? a1 ? b1,

k ? ? a1,a2 ? ? ? ka1,0 ?
V 关于上述向量加法与标量与向量的乘法作成一个向量空间。 2.在 R n里对于任意两个向量 ? ? ( x1 , x2 ,?, xn ), ? ? ( y1 , y2 ,?, yn ) 规定:
? ? ,? ?? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? (?1) n xn yn

验证向量空间R n 是否是欧式空间
3、令 ? ? ( x1 , x2 , x3 ) 是 R 3 的任意向量则 ? (? ) ? (sin x1 ,0,0) 是 R 3 到线性变换。

2

四、计算题。
1、设?1 ?(1,1,0,0),?2 ?(1,-1,0,0)?3 ?(0,0,1,1),?4 ?(0,0,1,-1)? R 4 R 4的自然基为?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4,R 4上有线性变换? ,使得? (? i ) ? (?i ),i ? 1, , 4 1)证明?1 ,?2 ,?3 ,?4为R 4的基。 2)求向量? ?(1,0,1,0)在基?1 ,?2 ,?3 ,?4的坐标 3)求? 在自然基?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4下的矩阵。 4)求? 在自然基?1 ,?2 ,?3 ,?4下的矩阵。

3

2、已知 M n ( F ) 上的线性变换为 ?X ? M n ( F ), ? ( X ) ? AX ? XA, A ? ?
1)求? 在自然基下的矩阵; 2)判断? 是否为可逆线性变换; 3)求ker(? )的维数。

?1 0 ? ?, ? 0 ?1?

4

3、求向量组? ? (1,1,1,1),? ? (1, ?1,1,2) 的生成子空间 W 的正交补, 2 1

? 2 ? (1, ?1,1,2)在 W 的正交补上的最佳逼近元。

5

?1 1 1 1 ? ? ? 1 1 ?1 ?1? ? 4、已知 A ? ,求 A10 。 ?1 ?1 1 ?1? ? ? ?1 ?1 ?1 1 ?

5、把二次型 q( x1 , x2 , x3 ) ? 2x12 ? 2x22 ? 3x23 ? 2x1 x2用可逆线性替换化为标 准型,并写出相应的可逆线性替换。

6

五、证明题 1 、设 ??1 , ? 2 , ? 3 ?是欧氏空间 V 的一个标准正交基 ,线性变换 σ ,使得
? (? 1 ) ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3
? (? 2 ) ? ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3
2 3 1 3 2 3

1 3

2 3

2 3

? (? 3 ) ? ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3

2 3

2 3

1 3

证明:σ 为正交变换。

7


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