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2013高考最后五天冲刺黄金卷:数学文2


2013 高考最后五天冲刺黄金卷:数学文 2
数 学(理科)

考试说明:本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 (2)请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,在草稿纸和试卷上答题视为无效。 (3)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄皱,不准使用涂改

液和刮纸刀等用具。

第Ⅰ卷(选择题
1. 若集合 A ? { x x ? 2 ? x ? 2} , B ? {x A. (?2,0) 2. 复数 B. [?2,0)
2

共 60 分)

一.选择题(每题 5 分,共 12 小题,满分 60 分,每小题只有一个选项正确。 )

? 2x ? 0}, 则 A ? B ?
C. (0,??) D. [0,??)

2i 的共轭复数是 1? i A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i ? 3 3.已知 sin( x ? ) ? ? ,则 sin 2 x 的值是 4 4
A. ?

D. ?1 ? i

1 8
2

B.

1 8

C.

2 4

D. ?

2 4

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形面积是 4. 抛物线 y ? ?12x 的准线与双曲线 9 3
A. 5.

3

B. 2

3

C. 2

D. 3

3

A、B 两名同学在 4 次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示,若 A、B 的平均成绩分别是 X A 、

X B ,则下列结论正确的是
A. X A > X B ,B 比 A 的成绩稳定 B. X A < X B ,B 比 A 的成绩稳定 C. X A > X B ,A 比 B 的成绩稳定 D. X A < X B , A 比 B 的成绩稳定

x2 y2 6. 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率为 e ,过的直线与双曲线的右 a b

支交与 A、B 两点,若 △F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e ?
2

A. 3 ? 2

3

B. 3 ? 2

3

C. 5 ? 2

2

D. 5 ? 2

2

7. 函数 y ? f (x) 在定义域 (? 等式 f ?( x) ? 0 的解集为

3 ,3) 内可导,其图像如图所示,记 y ? f (x) 的导函数为 y ? f ?(x) ,则不 2

1 ,1] ? [ 2,3] 3 1 4 8 B. [ ?1, ] ? [ , ] 3 3 3 3 1 C. [? , ] ? [1,2] 2 2 3 1 D. [? , ] ? [1,2] ? [3,?? ) 2 2 8.执行下面的程序框图,若 P ? 9 ,则输出的 S ?
A. [ ? A.

7 18 8 9 2 5 10 13
2

B.

C.

D.

9. 已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆) ,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表 面积是(单位: cm ) A. 4 ? 2? B. 4 ? 3? C. 6 ? 2? D. 6 ? 3? 10.现将一个边不等的凸五边形的各边进行染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许 相邻的边有相同的颜色,则共有( A.30 A. m ? “ B.36 11.下列命题中正确的一项是 )种染色方法 C.48 D.50

1 ”是“直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (2 ? m) y ? 3 ? 0 相互平行”的充分 2

不必要条件 B. “直线 l 垂直平面 ? 内无数条直线”是“直线 l 垂直于平面 ? ”的充分条件 C.已知 a,b,c 为非零向量,则“a?b=a?c”是“b=c”的充要条件

D. p : ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 。则 ?p : ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0
2 2

12.若 (1 ? 2x) 则 (a0

2012

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? a2012 x 2012 ( x ? R) ,

? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? ? (a0 ? a2012 ) =
B.2008 C.2009 D.2010

A.2007

第Ⅱ卷(非选择题
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设

共 90 分)


f ( x) ? (2 x ? 1) 6 ,则 y ? f (x ) 的导函数 y ? f ?(x) 展开式中 x 2 的系数为 ? e x , x ? 2 , y ? 1 围成封闭图形的面积是


14.以曲线 y

15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,则 25 16

sin A ? sin C ? sin B



?2 x ? y ? 0 ? 16. 若实数 x、 y 满足 ? y ? x 且 z ? 2 x ? y 的最小值为 3,则实数 b ? ?y ? ?x ? b ?
三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)



袋中有 6 张卡片,编号分别是 1、2、3、4、5、6,现从袋中任意抽取 3 张卡片,并记号码最大的为 ? (1)求 ? 的分布列和期望; (2)若 3 张卡片是有放回的抽取,则最大号码为 4 的概率是多少?

18.(本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。EF//AC,AB= (1)求证:AF//平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDF。

2 ,CE=EF=1

19.(本小题满分 12 分)

1 2 1 ? 2 ? 3 x x x 1 (1)求 y ? f (x ) 在 [ ?4,? ] 上的最值; 2 1 2 a (2)若 a ? 0 ,求 g ( x) ? ? 2 ? 3 的极值点。 x x x
已知函数 f ( x) ?

20.(本小题满分 12 分)

y2 x2 已知 F1 、 F2 分别为椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 a b

C 2 : x 2 ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C 2 在第二象限的焦点,且 MF1 ?
(1)求椭圆的方程; (2)已知点 P(1,3)和圆 O : x
2

5 。 3

? y 2 ? b 2 ,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A,B,
? ?

在线段 AB 取一点 Q,满足: AP ? ?? PB , AQ ? ? QB ( ? ? 0 且 ? ? ?1 ) 。求证:点 Q 总 在某定直线上。

?

?

21.(本小题满分 12 分) 已知 S n 为正向数列 {an } 的前 n 项和,满足 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 1 a n ? a n (n ? N * ) 2 2

1 n ? , 数列 {bn } 的通项公式为 bn ? f ( )( m ? N , n ? 1,2,3, ?, m) , m 前 m 4 ?2
x

a a t m t m?1 项的和为 Tm ,若 m ? N 时,不等式 恒成立,求实数 t 的取值范围。 ? Tm Tm?1
?

请考生在第 22,23,24 题中选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分。

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE∥AC,交 CD 于 E,交圆于 F,过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2。 (1)求 AC 的长; (2)求证:BE=EF

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 ?

?
6



? x ? 2 cos? (? ? R) 相交与两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点间的距离之积。 ? y ? 2 sin ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数

f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。

(1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集 (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为

?x | x ? ?1 ?

,求 a 的值。

姓名

班级

2012 年高考模拟试题 数 学(理科)答题卡

考号

考试说明:本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 (2)请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,在草稿纸和试卷上答题视为无效。 (3)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄皱,不准使用涂改液和刮纸刀等用具。

第Ⅰ卷(选择题
1. □ □ □ □ A B C D 4. □ □ □ □ A B C D 2. □ □ □ □ A B C D 5. □ □ □ □ A B C D

共 60 分)
3. □ □ □ □ A B C D 6. □ □ □ □ A B C D

一.选择题(每题 5 分,共 12 小题,满分 60 分,每小题只有一个选项正确。 )

装 订 线 外 禁 止 答 题

7. □ □ □ □ A B C D 10. □ □ □ □ A B C D

8. □ □ □ □ A B C D 11. □ □ □ □ A B C D

9. □ □ □ □ A B C D 12. □ □ □ □ A B C D

方 框 外

第Ⅱ卷(非选择题
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 15. 14. 16.

共 90 分)

禁 止 答 题

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 12 分)

方 框
19.(本小题满分 12 分)

外 禁 止 答 题

20.(本小题满分 12 分)


21.(本小题满分 12 分)

框 外 禁

请考生在第 22,23,24 题中选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分。

所选题号□ 22

23 24 □ □

方 框 外 禁
(第 23 题图)

止 答 题

2012 高考最后五天冲刺黄金卷:数学文 2 参考答案
一.选择题(每题 5 分,共 12 小题,满分 60 分,每小题只有一个选项正确。 ) 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 A 6 D 7 A 8 C 9 B 10 A 11 D 12 D

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 480 14. e ? 3
2

15.

5 4

16.

9 4

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。 ) 17. (1)

?
P

3 0.05

4 0.15

5 0.3

6 0.5 ??????(4 分)

E? ? 0.15 ? 0.6 ? 1.5 ? 3 ? 5.25
(2) P ?

??????(6 分) ??????(12 分)

4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 3 ? 3 37 ? 6?6?6 216
AG=

18. 证明: (1)设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EF∥AG,且 EF=1,

1 AG=1 ??????(2 分) 2

所以四边形 AGEF 为平行四边形??????(3 分) 所以 AF∥EG??????(4 分) 因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE, ?????? 分) (5 所以 AF∥平面 BDE??????(6 分) (2)连接 FG。因为 EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边

形 CEFG 为菱形。??????(8 分) 所以 CF⊥EG. ??????(9 分) 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD⊥AC. ??????(10 分)又因为平面 ACEF ⊥平面 ABCD,且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC,所以 BD⊥平面 ACEF. ??????(11 分) 所以 CF⊥BD.又 BD∩EG=G,所以 CF⊥平面 BDE. ??????(12 分) 19. (1) f ?( x) ? ?

( x ? 1)( x ? 3) ??????(1 分) x4

当 f ?( x) ? 0,?3 ? x ? ?1 当 f ?( x) ? 0,?? ? x ? ?3,?1 ? x ? 0,0 ? x ? ??

x
f ?(x) f (x)
?

-4

(-4, -3)

-3

(-3, -1)

-1

( ? 1, ?

1 ) 2

?

1 2


9 64

0
极小值

+ ↗

0
极大值 0





?

4 27



?2

??????(4 分) ∴最大值为 0,最小值为 ? 2 (2) g ?( x) ??????(6 分) 设 u ? x ? 4 x ? 3a
2

??

x 2 ? 4 x ? 3a x4

? ? 16 ? 12 a 4 当 a ? 时, ? ? 0, g ?( x) ? 0 ,所以 y ? g (x) 没有极值点 3 4 当 0 ? a ? 时, x1 ? ?2 ? 4 ? 3a , x2 ? ?2 ? 4 ? 3a ? 0 3
减区间: (??, x1 ), ( x2 ,0) ∴有两个极值点 x1 , x 2 当 a ? 0 时, g ( x) ? 减区间: (??,?4) 增区间: ( x1 , x2 )

??????(8 分)

??????(9 分)

1 2 x?4 ? 2 , g ?( x) ? ? 3 x x x
增区间: (?4,0) ??????(10 分)

∴有一个极值点 x ? ?4 综上所述:当 a ? 0 时有一个极值点 x ? ?4 ;当 0 ? a ? 极值点。 20. (1)由 C 2 : x
2

4 4 时有两个极值点 x1 , x 2 ;当 a ? 时没有 3 3

??????(12 分) ,设 ? 4 y 知 F1 (0,1) M ( x0, y0 )(x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C 2 上,故 又 MF1 ?

2 x0 ? 4y0 ①

5 5 ,则 y 0 ? 1 ? ②, 3 3

由①②解得 x0

??

2 6 2 , y0 ? 3 3

??????(3 分)

椭圆 C1 的两个焦点 F1 (0,1) F2 (0,?1) ,点 M 在椭圆上, , 有椭圆定义可得

2a ? MF1 ? MF2
? (?
?4
∴ a ? 2, 又 c ? 1 ,∴ b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

2 6 2 2 6 2 ? 0) 2 ? ( ? 1) 2 ? (? ? 0) 2 ? ( ? 1) 2 3 3 3 3

y2 x2 ? ? 1。 椭圆 C1 的方程为: 4 3
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x, y) , 由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? 即?
? ?

??????(6 分)

y1 ) ? ?? ( x2 ? 1, y2 ? 3) ,

? x1 ? ?x2 ? 1 ? ? ? y1 ? ?y 2 ? 3(1 ? ? )
??????(9 分)
? ?

由 AQ ? ? QB 可得: ( x ? x1 , y ? 即?

y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) ,

? x1 ? ?x 2 ? (1 ? ? ) x ? y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? ) y
2 2 ? ?2 x2 ? (1 ? ?2 ) x

⑤×⑦得: x1 ⑥×⑧得:

2 y12 ? ?2 y2 ? 3? (1 ? ?2 ) 2 2 2 ? y12 ) ? ?2 ( x2 ? y2 ) ? (1 ? ?2 )(x ? 3 y) 2

??????(10 分) ??????(11 分)

两式相加得 ( x1

又点 A,B 在圆 x 所以 x1
2

? y 2 ? 3 上,且 ? ? ?1 ,

2 2 ? y12 ? 3 , x2 ? y2 ? 3

即 x ? 3 y ? 3 ,所以点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上

??????(12 分)

21.(1) S n ?

an 1 2 ? an ① 2 2

S n ?1 ?

a n ?1 1 2 ? a n ?1 ② 2 2

①-②即得 (an 由于 an

? an?1 ? 1)(an ? an?1 ) ? 0
??????(4 分)

? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 1, an ? n

(2)∵注意到: f ( x) ? f ( x ? 1) ?

1 , 2 1 2 m ?1 Tm ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) ① m m m m ?1 m?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) ② 又 Tm ? f ( m m m 1 (3m ? 1) ①+②整理可得 Tm ? 12

a a t m t m?1 1 1 m ? ) ? 0 ,对 m ? N * 恒成立 得 12t ( ? 3m ? 1 3m ? 2 Tm Tm?1
m

3m ? 2 ) ? 0 对 m ? N * 恒成立 ③ ??????(7 分) 3m ? 1 3m ? 2 m ) ? 0 对偶数 m 不成立 易知在 t ≤0 时不等式 t (t ? 3m ? 1 3m ? 2 m ) ? 0 对 m ? N * 恒成立 ∴③等价于 t >0 且 t (t ? ??????(10 分) 3m ? 1 3m ? 2 3 * * 对 m ? N 恒成立 ? t ? 1 ? 对 m ? N 恒成立 ?t ? 3m ? 1 3m ? 1 3 考虑到 随正整数 m 的增大而减小 3m ? 1 3 5 则 m ? 1 时, 1 ? 有最大值 , 3m ? 1 2 5 ∴t ? ??????(12 分) 2
∴ t (t ?

PD 22. (1)? PA ? PC· , PA ? 2, PC ? 1
2

? PD ? 4 ,
??????(3 分)

又? PC ?

ED ? 1,

? CE ? 2

? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB,?△ PAC ∽△ CBA
? PC AC ? AC AB ? AC 2 ? PC · ? 2 AB AC ? 2
??????(7 分)

(2)? CE· ? BE· , BE ? ED EF

AC ? 2
??????(10 分)

? EF ?

2 ?1 2

? 2

? EF ? BE

? 3 ?x ? 1 ? ? 2(t是参数 ) 23.(1)直线 l 的参数方程 ? 1 ? y ? 1? t ? 2 ?

??????(2 分)

(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设点 A,B 所对应的参数分别为 t1 和 t 2 ,则点 A,B 的坐标分别为 A (1 ?

3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ) ,B (1 ? t 2 ,1 ? t 2 ) 2 2 2 2
??????(4 分)

以直线 l 的参数方程代人圆的方程 x

2

? y 2 ? 4 整理得到
??????(8 分)

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 ①
因为 t1 和 t 2 是方程①的解,从而 t1t 2 所以

? ?2
??????(10 分)

PA· ? t1t 2 ? ? 2 ? 2 PB

24. (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。
??????(4 分)

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 (2) 由 f ( x) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组
??????(6 分)

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0
?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4 ?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2
a 2

??????(8 分)

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?

??????(9 分) ??????(10 分)

a = ?1 ,故 a ? 2 2


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