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高一数学集合练习题及答案


高一数学集合的练习题及答案
一、 、知识点: 本周主要学习集合的初步知识,包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及 集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用 Venn 图。 本 章 知 识 结 构

集合的概念 列举法 集合的表示法 集合 特征性质描述法 真子集 包含关系 集合与集合的关系 交集 集合的运算 并集 补集
1、集合

的概念 集合是集合论中的不定义的原始概念,教材中对集合的概念进行了描述性说明: “一般 地, 把一些能够确定的不同的对象看成一个整体, 就说这个整体是由这些对象的全体构成的 集合(或集) ” 。理解这句话,应该把握 4 个关键词:对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的,它关注的是这些对象的全体。 确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。 不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义 有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记做 Φ。理解它时不妨思考一下“0 与 Φ”及 “Φ 与{Φ}”的关系。 几个常用数集 N、N*、N+、Z、Q、R 要记牢。 3、集合的表示方法 (1)列举法的表示形式比较容易掌握,并不是所有的集合都能用列举法表示,同学们 需要知道能用列举法表示的三种集合: ①元素不太多的有限集,如{0,1,8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集,如{1,2,3,?,100} ③呈现一定规律的无限集,如 {1,2,3,?,n,?} ●注意 a 与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时,集合元素的“无序性” 。 (2)特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准,然后适当地表示 出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外,弄清“代表元素”也是 非常重要的。如{x|y=x2}, {y|y=x2}, {(x,y)|y=x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。

子集 相等

“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念,掌握集合相等的概 念,学会正确使用“ ”等符号,会用 Venn 图描述集合之间的关系是 基本要求。 ●注意辨清 Φ 与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程,是一个创造新的集合的过程。在这里,我们学习了三种创造新集合的 方式:交集、并集和补集。 一方面,我们应该严格把握它们的运算规则。同时,我们还要掌握它们的运算性质:

A ? CU A ? U

A? B ? B ? A A? A ? A A?? ? ? ? A ? ? A ? B ? A? B ? A
二、典型例题

A? B ? B ? A A? A ? A A?? ? ? ? A ? A A ? B ? A? B ? B

A ? CU A ? ? CU (CU A) ? A A ? B ? A ? CU B ? ? ? B ? CU A ? U

还要尝试利用 Venn 图解决相关问题。

例 1. 已知集合 A ? {a ? 2, (a ? 1) , a ? 3a ? 3} ,若 1 ? A ,求 a。
2 2

a ? 2 ? 1, 或(a ? 1 ) ? 1, 或a ? 3a ? 3 ? 1 ?1 ? A ? 根据集合元素的确定性, 解: 得:
2 2
2 若 a+2=1, 得: a ? ?1 , 但此时 a ? 3a ? 3 ? 1 ? a ? 2 ,不符合集合元素的互异性。

若 (a ? 1) ? 1,得: a ? 0, 或 - 2 。但 a ? ?2 时, a ? 3a ? 3 ? 1 ? (a ? 1) ,不符合 集合元素的互异性。
2 2 2

若 a ? 3a ? 3 ? 1,
2

2。 得: a ? ?1, 或-

但a ? -1 时, a ? 2 ? 1; a ? -2 时, (a ? 1) 2 ? 1,都不符合集合元素的互异性。
综上可得,a = 0。 【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点,互异性 是检验结论的工具。 例 2. 已知集合 M= x ? R | ax ? 2x ? 1 ? 0 中只含有一个元素,求 a 的值。
2
2 解:集合 M 中只含有一个元素,也就意味着方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 只有一个解。

?

?

2 x ? 1 ? 0 ,只有一个解 (1) a ? 0时, 方程化为
2

x??

1 2

(2) a ? 0时, 若方程ax ? 2 x ? 1 ? 0只有一个解

需要? ? 4 ? 4a ? 0,即a ? 1.
综上所述,可知 a 的值为 a=0 或 a=1 【小结】熟悉集合语言,会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求,另外 多体会知识转化的方法。 例 3. 已知集合 A ? {x | x ? x ? 6 ? 0}, B ? {x | ax ? 1 ? 0}, 且 B A,求 a 的值。 解:由已知,得:A={-3,2}, 若 B A,则 B=Φ,或{-3},或{2}。 若 B=Φ,即方程 ax+1=0 无解,得 a=0。
2

1 若 B={-3}, 即方程 ax+1=0 的解是 x = -3, 得 a = 3 。

若 B={2}, 即方程 ax+1=0 的解是 x = 2, 得 a =

?

1 2。

1 1 ? 综上所述,可知 a 的值为 a=0 或 a= 3 ,或 a = 2 。
【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。
2 例 4. 已知方程 x ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实根 x1, x2. 设 C={x1, x2}, A={1, 3,

5,7,9}, B={1,4,7,10},若 A ? C ? ?, C ? B ? C ,试求 b, c 的值。 解:由 C ? B ? C ? C ? B , 那么集合 C 中必定含有 1,4,7,10 中的 2 个。 又因为 A ? C ? ? ,则 A 中的 1,3,5,7,9 都不在 C 中,从而只能是 C={4,10} 因此,b=-(x1+x2 )=-14,c=x1 x2 =40 【小结】对 A ? C ? ?, C ? B ? C 的含义的理解是本题的关键。 例 5. 设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} , (1)若 A ? B ? ? , 求 m 的范围; (2)若 A ? B ? A , 求 m 的范围。 解: (1)若 A ? B ? ? ,则 B=Φ,或 m+1>5,或 2m-1<-2 当 B=Φ 时,m+1>2m-1,得:m<2 当 m+1>5 时,m+1≤2m-1,得:m>4 当 2m-1<-2 时,m+1≤2m-1,得:m∈Φ 综上所述,可知 m<2, 或 m>4 (2)若 A ? B ? A , 则 B ? A, 若 B=Φ,得 m<2

? m ? 1 ? ?2 ? ? 2m ? 1 ? 5 ?m ? 1 ? 2 m ? 1 若 B ≠ Φ,则 ? ,得: 2 ? m ? 3
综上,得 m ≤ 3 【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。 例 6. 已知 A={0, 1}, B={x|x ? A}, 用列举法表示集合 B, 并指出集合 A 与 B 的关系。 解:因为 x ? A,所以 x = Φ, 或 x = {0}, 或 x = {1}, 或 x = A, 于是集合 B = { Φ, {0}, {1}, A}, 从而 A∈B

三、练习题
1. 设集合 M= {x | x ? 17}, a ? 4 2 , 则( A. a ? M B. a ? M C. a = M ② 2. 有 下 列 命 题 : ① {?} 是 空 集 ) D. a > M 集合 若 a ? N, b ? N , 则 a ? b ? 2 ③

{x | x ? 2 x ? 1 ? 0} 有两个元素 ④ 集合
2

B ? {x |

100 ? N , x ? Z} x 为无限集,其中正确命

题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列集合中,表示同一集合的是( ) A. M={(3,2)} , N={(2,3)} B. M={3,2} , N={(2,3)}

C. M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1} D.M={1,2}, N={2,1}

},若 M ? N ? {2} , 则 a 的取值集 4. 设集合 M ? {2,3, a ? 1}, N ? {a ? a ? 4,2a ? 1 合是( )
2 2

1 {?3,2, } 2 A.
A. a ? 2

B. {-3} B. a ? 2

1 {?3, } 2 C.
C. a ? 1

D. {-3,2} ) D. a ? 1

5. 设集合 A = {x| 1 < x < 2}, B = {x| x < a}, 且 A ? B , 则实数 a 的范围是 (

6. 设 x, y∈R, A={ (x, y) |y=x}, B= ) ? A. A B B. B A C. A=B D. A B 7. 已知 M={x|y=x2-1} , N={y|y=x2-1}, 那么 M∩N=( ) A. Φ B. M C. N D. R 8. 已知 A = {-2, -1, 0, 1}, B = {x|x=|y|, y∈A}, 则集合 B=_________________ 9. 若 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? ax ? a ? 1 ? 0}, 且B ? A , 则 a 的值为_____ 10. 若{1,2,3} ? A ? {1,2,3,4,5}, 则 A=____________ 11. 已知 M={2,a,b}, N={2a,2,b2},且 M=N 表示相同的集合,求 a,b 的值
2 2

{( x, y ) |

y ? 1} x , 则集合 A, B 的关系是 (

12. 已知集合 A ? {x | x ? 4x ? p ? 0}, B ? {x | x ? x ? 2 ? 0}且A ? B, 求实数 p 的范 围。
2 2

13. 已知 A ? {x | x ? ax ? a ? 19 ? 0}, B ? {x | x ? 5x ? 6 ? 0} ,且 A,B 满足下列三
2 2 2

个条件:① A ? B

② A?B? B

③ Φ

A ? B ,求实数 a 的值。

四、练习题答案
1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C 8. {0,1,2} 9. 2,或 3 10. {1,2,3}或{1,2,3,4}或{1,2,3,5}或{1,2,3,4,5}

? ?a ? 2 ? ?a ? 2a ?a ? b ?a ? 0 ?a ? 0 ?b ? ? ? ? ? 2 b ? 2 a b ? b b ? 0 b ? 1 ? ? ? ? 11. 解:依题意,得: 或 ,解得: ,或 ,或 ? 1 ? ?a ? 4 ?a ? 0 ? 1 ?b ? ? 2。 结合集合元素的互异性,得 ? b ? 1 或 ?
12. 解:B={x|x<-1, 或 x>2} ① 若 A = Φ,即 ? ? 16 ? 4 p ? 0 ,满足 A ? B,此时 p ? 4

1 4 1 2

② 若A ? ? , 要使 A ? B, 须使大根 ? 2 ? 4 ? p ? ?1 或小根 ? 2 ? 4 ? p ? 2(舍) , 解得:

3? p ? 4
所以 p ? 3 13. 解:由已知条件求得 B={2,3},由 A ? B ? B ,知 A ? B。 而由 ①知 A ? B ,所以 A B。

又因为 Φ

A ? B ,故 A≠ ? ,从而 A={2}或{3}。

2 2 2 当 A={2}时, 将 x=2 代入 x ? ax ? a ? 19 ? 0 , 得 4 ? 2a ? a ? 19 ? 0 ? a ? ?3或5 经检验,当 a= -3 时,A={2, - 5}; 当 a=5 时,A={2,3}。都与 A={2}矛盾。
2 2 当 A = {3}时,将 x=3 代入 x ? ax ? a ? 19 ? 0 ,得

9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 ? a ? ?2或5
经检验,当 a= -2 时,A={3, - 5}; 当 a=5 时,A={2,3}。都与 A={2}矛盾。 综上所述,不存在实数 a 使集合 A, B 满足已知条件。


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