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2.6.2求曲线的方程(1)


2.6.2 求曲线的方程(1) 学习目标 1. 通过对具体实例的研究,引导学生用流程图表示求曲线方程的步骤,渗透算法思想; 2. 通过例 1、例 2 让学生熟悉求曲线方程的一般步骤。 3. 提高学生的分析问题能力、解决问题能力、培养学生的数学修养、 增强学生

的数学素质. 活动过程
活动一 回忆旧知 阅读交流 讨论归纳 提炼方法 1. 回忆旧知 :方程的方程、方程的曲线的含义是什么?

2.阅读交流: 建立椭圆、双曲线、抛物线方程的过程,思考求曲线方程的一般步骤? (1)建立椭圆方程的推导过程(注:焦点在 x 轴上) 错误!未指定书签。错误! 错误!未指定书签。错误!

解:以直线 F 1 F 2 为 x 轴,线段 F 1 F 2 的垂直平分线为 y 轴, 建立如图所示坐标系.? FF c,?F 0) ; , 0) , F 1 ( c , 1 2 ?2 1 (?c

错误!未指定书签。错误 错误!未指定书签。错误!未指定 错误!未找到引用 错误!未指定书签。错误!未 未找到引用源。 未指定书签。错误!未找到引

设 P ( x, y ) 是椭圆上的任意一点,

2 2 2 2 xc ? ) ? y ? ( xc ? ) ? y ? 2 a 根据条件 PF1 ? PF2 ? 2a 得 (

2 2 2 22 2 2 2 化简: (移项,两边平方) ( , ac ? ) x ? a y ? a ( ac ? )

2 2 2 2 2 ? a ?? c0 ,? , a ? c ?0,令 a ?c ?b 22 22 22 则: b . x? a x? a b

两边通除以 a 2b 2 ,得
x2 y2 ? ? 1. ( a > b >0) a2 b2

由上述过程可知,椭圆上的点的坐标 ( x, y ) 都满足上面这个方程,并且满足上

面这个方程的点 ( x, y ) 都在已知的椭圆上。 这样, 求的椭圆的方程。

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)就是所 a2 b2

(2) 建立双曲线方程的推导过程(注:焦点在 x 轴上) 解:以直线 F 1 F 2 为 x 轴,线段 F 1 F 2 的垂直平分线为 y 轴, 建立如图所示坐标系.? FF c,?F 0) ; , 0) , F 1 ( c , 1 2 ?2 1 (?c

设 P ( x, y ) 是椭圆上的任意一点, 根据条件 PF1 ? PF2 ? 2a 得 ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x ? c)2 ? y 2 ? 2a

化 简,得
2 2 2 22 2 2 2 (c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ). ( , ac ? ) x ? a y ? a ( ac ? )

? c ? a ? 0,? c 2 ? a 2 ? 0, 令c 2 ? a 2 ? b 2 ,

则: b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 , . 两边通除以 a 2b 2 ,得
x2 y 2 , ? ? 1, ( a >0,b >0) a 2 b2

由上述过程可知,双曲线上的点的坐标 ( x, y ) 都满足上面这个方程,并且满
x2 y 2 足上面这个方程的点 ( x, y ) 都在已知的双曲线上。 这样, 2 ? 2 ? 1, ( a >0, b >0) a b
y

就是所求的双曲线的方程。
(3)建立抛物线方程的推导过程(注:开口向右)

H

P(x,y) O F x

N l

解:过 F 点作直线 l 的垂线,垂足为 N ,以直线 NF 为 x 轴,线段 NF 的垂直平分线
为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系。设 FN=p ( p ? 0) ,则 N (? p , 0) , F ( p , 0) ,
2

2

设 P( x, y ) 为抛物线上任意一点,作 PH ? l , 垂足为H ,根据抛物线的定义,由 PF=PH, 得 (x ?

p 2 p ) ? y 2 ?| x ? | 2 2

化简方程得 y 2 ? 2 px

? p ? 0? .

由上述过程可知,抛物线上的点的坐标 ( x, y ) 都满足上面这个方程,并且满 足上面这个方程的点 ( x, y ) 都在已知的抛物线上。 这样, y 2 ? 2 px
3.讨论归纳

? p ? 0? ,就是所求的抛物线的方程。

提炼方法:求曲线方程的步骤可以用下面的流程图表示

活动二 数学运用 规范展示 理解提升 例 1

长为 2a(a是正常数)的线段 的线段的两个端

点 AB 分别在相互垂直的两条直线上 滑动,求线段 AB 中点 M 的轨迹.

例2

求平面内到两个定点 A,B 的距离之比等于 2 的动点 M 的

轨迹方程.
活动三 自主归纳 梳理知识 拓展思考 通过本节课的学习,你有什么收获和困惑? 思考:例 2 中所求轨迹方程表示什么样的曲线?为什么?


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