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2015创新设计(高中理科数学)第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


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知识与方法回顾

知识梳理

辨析感悟
例1

探究一 含有逻辑联结词命题 的真假判断

训练1
例2 训练2 例3 训练3

能与规律探究

探究二 含有一个量词的命题 否定 探究三 含有量词的命题的 真假判断

经典题目再现
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1.简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词 p 或 ”、 真 且 ”、 命题中的“____ “____ 非 ”叫做逻辑联结词. 真 “_____ (2)命题 p∧q,p∨q, 假 乛 p 的真假判断 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 __ 假 __ 假 __ __ 假 p∨q 真 __ 真 __ 真 __ __ 假
乛p

假 __ 假 __ 真 __ 真 __

2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有: “任意一个”“一切”“每一个”“任 给”“所有的”等. 至少 有一个”“有 (2)常见的存在量词有:“存在一个”“_______ 些”“有一个”“某个”“有的”等. ? ”表示. ? ”表示;存在量词用符号“__ (3)全称量词用符号“__
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3.全称命题与特称命题

全称 量词的命题叫全称命题. (1)含有________ (2)含有________ 存在 量词的命题叫特称命题.
4.命题的否定

特称 命题;特称命题的否定是全称 (1)全称命题的否定是_____ ____命题. 非 p 或非 q (2)p 或 q 的否定为:非 p 且非 q;p 且 q 的否定为: _________.

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1.逻辑联结词的理解与应用
(1)命题 p∧q 为假命题的充要条件是命题 p, q 至少有一个假命题. ( ) (2)命题 p∨q 为假命题的充要条件是命题 p, q 至少有一个假命题. ( )

2.对命题的否定形式的理解
(3)(2013·山西四校联考改编 )“ 有些偶数能被 3 整除” 的否定是“ 所 有的偶数都不能被 3 整除” .( ) (4)(2013·东北联考改编)命题 p:?n 0∈N,2n 0>1 000, 则乛 p:?n ∈ N,2n ≤1 000.( ) (5)(2013·四川卷改编)设 x ∈Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数 集,若命题 p:?x ∈A ,2x ∈B ,则乛 p:?x ? A ,2x ? B .( ) (6)已知命题 p:若 x +y>0,则 x ,y 中至少有一个大于 0,则 乛 p:若 x +y≤0,则 x ,y 中至多有一个大于 0.( )
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一个区别
逻辑联结词“或”与日常生活中的 “或”是有区别的,前者包括“或此、 或 彼、 或兼”三种情形, 后者仅表示“或此、 或 彼 ” 两 种 情 形 . 有 的 含 有 “且”“或”“非”联结词的命题, 从字 面上看不一定有“且”“或”“非”等 字样,这就需要我们掌握一些词语、符号 或 式 子 与 逻 辑 联 结 词 “ 且 ”“ 或 ”“ 非 ” 的 关 系 . 如 “ 并 且”、“ ”的含义为“ 且”;“或 者”、 “≤”的含义为“或”; “不是”、 “?”的含义为“非”.

两个防范
一是 混淆 命题 的否 定与 否命 题的 概念 导致失误,? p 指的 是命题的否定, 只需 否 定 结 论 . 如 (5)(6) ; 二 是 否 定 时, 有关的否定词否 定不当,如(6).

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含有逻辑联结词命题的真假判断

考 点

π 【例 1】设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q :函数 2 π y=cos x 的图象关于直线 x = 对称.则下列判断正确的是 ( D ). 2 A .p 为真 B .乛 q 为假 C.p∧q 为假 D.p∨ q 为真

解析 函数 y=sin 2x 的最小正周期为2π=π,故命题 p 为假命题; 2
π x= 不是 y=cos x 的对称轴, 2 命题 q 为假命题,故 p∧q 为假.故选 C.

π y= y=cosx 2

若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构 成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“或”——一 真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相对,做 出判断即可.
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规律方法

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含有逻辑联结词命题的真假判断

考 点

1【训练】 (2013·湖北卷)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员 各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落 在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范 围”可表示为(A ). A .(乛 p)∨(乛 q) B .p∨(乛 q) C.(乛 p)∧(乛 q) D.p∨q
解析 命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” “甲、乙均没有降落在指定范围” 包含以下三种情况: “甲降落在指定范围,乙没有降落在指定范围” “乙降落在指定范围,甲没有降落在指定范围”.选 A. 或者,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题, 即“p∧q”的否定.选 A.

包括几种 情形?对 立事件又 是什么?
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相比较,法2更简单
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含有一个量词的命题否定
例 2 写出下列命题的否定,并判断其真假: 1 2 (1)p:?x∈R,x -x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2 0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3 0+1=0.
解析

规律方法

对含有存在(全称) 量词的命题进行否 定需两步操作: (1)将存在(全称) 量词改写成全称( 存在)量词;

(2)将结论加以否 (1)乛 定.这类问题常见 4 的错误是没有变换 (2)乛 q:至少存在一个正方形不是矩形, 量词,或者对于结 假命题. 论没给予否定.有 (3)乛 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题. 些命题中的量词不 明显,应注意挖掘 3 (4)乛 s:?x∈R,x +1≠0,假命题. 其隐含的量词.
1 2 p:?x0∈R,x0-x0+ <0,假命题.
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含有一个量词的命题否定

考 点

【训练 2 】 (1)(2013·江门、佛山模拟)已知命题 p:?x 0>1,x 2 0-1>0, 那么乛 p 是( ). A .? x >1,x 2-1>0 B .?x >1,x 2-1≤0 C.? x 0>1,x 2 D.?x 0≤ 1,x 2 0-1≤0 0-1≤0 (2)命题: “对任意 k >0, 方程 x 2+x -k = 0 有实根”的否定是________.
解析

(1) 特称命题的否定为全称 (2)将“任意”改为“存在”, 命题,所以乛 p:?x>1, “有实根”改为“无实根”,所以 x2-1≤0,故选 B. 原命题的否定为“存在 k>0, 使方程 x2+x-k=0 无实根”.
答案 (1)B
(2)存在 k>0,使方程 x2+x-k=0 无实根
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含有量词的命题的真假判断
【例 3】下列四个命题
?1? ?1? x log 1 x >log 1 x ; p1:?x0∈(0,+∞),?2? <?3?x;p2:?x0∈(0,1), ? ? ? ? 2 3 ?1? ? ? ? ? 1 1 x log x x ? ? ? ? ? 1 p3:?x∈(0,+∞), 2 > log 1 x ;p4:?x∈ 0,3 , 2? < ? ? ? ? ? ? 3

.

其中真命题是(

).A.p1,p3

2

B.p1,p4 C.p2,p3

D.p2,p4
?1? y?? ? ? 2? ?1? y?? ? ? 3?
x

解析 根据幂函数的性质,对?x∈(0,+∞),
lg x lg x 由于 log 1 x- log 1 x = 1 - -lg 2 -lg 3 2 3 2 lg x?lg 2-lg 3? 故对?x∈(0,1),log 1 x> log 1 x , 1 = , 2 3 lg 2lg 3
?1? ?1? x ? ? >? ?x, 故命题 p1 是假命题; 2 3 ? ? ? ?

x

log 1 x > log 1 x , 命题 p2 是真命题; 所以?x0∈(0,1),
2

3

3
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含有量词的命题的真假判断
?1? p3:?x∈(0,+∞),?2?x> ? ?

log 1
2

? 1? ?1?x log x ;p4:?x∈?0, ?,? ? < 1 3 2 ? ? ? ? 3

x

.

解析



? 1? 0, ? 时, x ∈? ? 2?

? 1 ?x log 1 ? ? < 1, ?2?

x > 1,

1? x 故? ? ? > ?2?

log 1 x 不成立, 命题 p3 是假命题;
2

2

? 1? ?1?x log ?x ∈? 0, ?, ? ? < 1, 1 ? 3? ?2? 3

x > 1,
答案 D



? 1 ?x ? ? < log 1 ?2?

x, 命题 p4 是真命题.

3

对于特称命题的判断,只要能找到符合要求的元素使命题 成立,即可判断该命题成立,对于全称命题的判断,必须 对任意元素证明这个命题为真,而只要找到一个特殊元素 使命题为假,即可判断该命题不成立.
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规律方法

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含有量词的命题的真假判断
【训练 3】(2013· 开封二模)下列命题中的真命题是( B ). 3 A.?x∈R,使得 sin x+cos x= B.?x∈(0,+∞),ex>x+1 2 C.?x∈(-∞,0),2x<3x D.?x∈(0,π),sin x>cos x

解析

因为 sin x+cos x=

? π? ? 2sin?x+4 ? ? ? ?

3 ≤ 2< ,故 A 错误; 2

故 C 错误; 当 x<0 时,y=2x 的图象在 y=3x 的图象上方,
因为
? 1? 0, ? 时有 x ∈? ? 4?

sin x <cos x ,故 D 错误.所以选 B .

答案

B
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----课堂小结---1.逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中 的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补” 的意义来解答由“或、 且、 非”三个联结词构成的命题问 题. 2.正确区别命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论 分别加以否定而得的命题, 它既否定其条件, 又否定其结 论; “命题的否定”即“乛 p”, 只是否定命题 p 的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的, 即两者中有 且只有一个为真

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(见教辅)

山东金榜苑文化传媒有限责任公司 课件部制作
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【真题探究】? (2012· 山东)设命

题p:函数y=sin 2x的最小正周 ? 期 ;命题q:函数y=cos x的 2 ? 图象关于直线x= 对称.则 2 下列判断正确的是( ).
A.p为真 C.p∧q为假 B.¬q为假 D.p∨q为真

[教你解题] 第1步:判断命题p的真假; 第2步:判断命题q的真假; 第3步:结合含逻辑联结词构成命题 判断真假.
[解法] 命题p为假命题,命题q为假命 题,故p∧q为假. [反思] 含有逻辑联结词命题真假的判 断方法:p∧q“见假就假”,p∨q“见 真就真”,¬p“真假相对”.
解析 由题意知:抛物线准线方程为 y= ? 1 ,故命题p为假;函数f(x+1)为 8 偶函数,则函数f(x)的图象向左平移1个 单位关于y 轴对称,即f(x+1)的图象关 于x=1对称,故命题q为真,故p∨q必 为真.所以选D. 答案 D
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【试一试】 已知命题p:抛物线 1 y=2x2的准线方程为y= ? ; 2 命题q:若函数f(x+1)为偶函数, 则f(x)关于x=1对称.则下列命题 是真命题的是( ). A.p∧q B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.p∨q
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