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1.5函数y=Asin(ωx+φ)图像【教学设计】


高中数学必修 4

第一章 三角函数

编制人:万志飞

1.5 函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的图像教学设计

一.教材分析及重难点把握 (一)教材分析
1.地位与作用:本节内容选自普通高中课程标准实验教科书数学 4(必修) 【人教 A 版】 .本 ?

变化时对函数图像的形状和位置的影响, 节通过图像变换, 揭示参数 A、 ω、 讨论函数 y=Asin (ω x+ ? )的图像与正弦曲线的关系,以及 A、ω 、 ? 的物理意义,并通过图像的变换过程, 进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是三角函数性质的 一个直观体现.这节是本章的一个难点,也是高考考查的重点. 2.教学内容及课时安排:函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像(2 课时) 第一课时:正确理解 A、ω 、? 对 y=Asin(ω x+ ? )的图像的影响,通过图形变换由 y=sin x 得图像可得到 y=Asin(ω x+ ? )的图像。 第二课时:了解 y=sin x 到 y=Asin(ω x+ ? )的图像变换规律,在对周期变换、相位变化先 后顺序调整后,将影响图像平移量。以及 A、ω 、φ 的物理意义。 本节课重点针对第一课时的教学内容来展开.

(二)目标分析
根据课程标准与教学内容并结合学生实际,确定本节课的教学目标为: 1.了解 y=Asin(ω x+ ? )的实际意义,理解参数 A、ω 、? 对 y=Asin(ω x+ ? )的图像的影 响,理解 y=sin x 的图像对 y=Asin(ω x+ ? )的图像之间的关系。 2.通过引导学生对函数 y=sin x 的图像到 y=Asin(ω x+ ? )的图像变换规律的探索,让学生 体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想。 3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合的思想.培养学生的独立意识和独立思考能 力.培养合作意识,培养学生理解动与静的辨证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学 生抓主要矛盾解决问题的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情 感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观。

(三)重、难点分析
重点:正确理解 A、ω 、 ? 对 y=Asin(ω x+ ? )的图像的影响,通过图形变换由 y=sin x 得图 像可得到 y=Asin(ω x+ ? )的图像。 难点:图像变换与函数解析式变换的内在联系的理解。

二.教法学法 (一)学情分析
从知识上来讲,在高一年级第一学期的函数教学中学生已经基本掌握了一般函数图像的 平移变换、对称变换等比较简单的函数图像变换的方法,但对于伸缩变换还是初次明确提出, 并加以研究.所以平移变换与伸缩变换综合研究成为本节课的难点. 从认知心理上来讲,学生对于运用函数图像这一形象手段研究问题比较感兴趣.

(二)教法分析
教学过程是教师和学生共同参与的过程,要在课堂教学过程中,加强知识发生过程的教

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第一章 三角函数

编制人:万志飞

学,启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性;有效地渗透数学思想方法,培养 学生的思维品质.根据以上教学原则和所要完成的教学目标,并为激发学生的学习兴趣,我 采用如下的教学方法: (1)对比教学法:通过学生观察 y=A sin(ω x+ ? )的图像与 y=sinx 图像之间的区别,理解 ? 、 ω 、A 对函数图像的影响. (2)发现教学法:通过动态的图像演示,引导、启发学生发现问题、联想类比、猜想验证、从而 解决问题.形象直观的演示有利于提高学生的学习兴趣,减轻学习抽象概念的难度,符合学 生的认知特点. (3)引导探究法:从 ? 、ω 、A 对函数图像的单独影响到综合影响,是一个整合的过程,也恰 恰是能力提高的过程.通过 “积零为整”的引导,使学生完成 ? 、ω 、A 整合过程的探究学 习.

(三)学法分析
教给学生方法比教给学生知识更重要,本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可 能地增加学生参与教学活动的时间和空间,我进行了以下学法指导: (1)对比学习法 (2)探究学习法 (3)协作学习法(4)观察法 (5)练习巩固法

(四) 多媒体教学
本节课涉及函数图像多,手工绘图复杂,为了增加绘图的形象性、准确性,发现 y ? sin x 与 y=Asin(ω x+ ? )的图像之间的关系,提高课堂效率,采用几何画板和PPT制作多媒体 课件辅助教学.

三.教学过程 (一)创设情境 观察交流电电流 y 随时间 x 的变化图像,它与正弦曲线有何关系? 设计意图:先行组织者策略――通过生活实例引入学习内容,激发学生的学习兴趣;通过类
比正弦、余弦曲线,寻找新知识的“固着点” .同时提出解决问题的方法,让学生体会化难为易, 化复杂为简单的化归转化的思想方法. 思考:你认为可以怎样讨论参数 A、ω、 ? 对函数 y=Asin(ωx+ ? )的图像的影响? 可以将上述问题分解以下几个步骤来进行:

(1)y=sinx 与 y=sin(x+?)的图象关系; (2)y=sinx 与 y=Asinx 的图象关系; (3)y=sinx 与 y=sin?x 的图象关系; (4)y=sinx 与 y=Asin(?x+?)的图象关系. (二)探究新知

设计意图:运用控制变量法将多因素问题转
化为多个单因素问题,分别研究最后综合解决

探究活动一:探究 ? 对函数 y ? sin( x ? ? ) 图像的影响:
1

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第一章 三角函数

编制人:万志飞

小组讨论交流,完成下列问题. 1.把 y ? sin x 图像上所有的点向____平移____个单位, 就得到 y ? sin( x ? ) 的图像. 2.把 y ? sin x 图像上所有的点向____平移____个单位, 就得到 y ? sin( x ? ) 的图像.
4

?

?

3

3.把 y ? sin x 图像上所有的点向____ (? ? 0) 或向____ (? ? 0) 平移____个单位,就得 到 y ? sin( x ? ? ) 的图像。 设计意图:考虑到学生已有“左加右减,上加下减”等函数图像平移的初步知识,把问题交给学
生小组讨论完成,培养学生合作交流的能力和抽象概括能力.

探究活动二:探究 A 对函数 y ? A sin x 图像的影响: 作出函数 y ? 2sin x 和 y ? sin x 的简图,并说明它们与函数 y ? sin x 的关系.
x
y ? sin x
y ? 2sin x
y? 1 sin x 2



? 2

1 2

?

3? 2

2?

设计意图:学生通过动手,探究,思考,形成自己对问题的认识.并明确知识依附于问题
而存在,方法为解决问题的需要而产生.将问题的解决过程自然的贯彻到教学活动中去,由 此把学生的思维推到更高的层次.

探究活动三:探究 ? 对函数 y ? sin ? x 图像的影响: 播放【动画】 观察动画演示,思考问题: 1.A、B 两点坐标之间有什么关系? 2.函数 y ? sin 2 x 与 y ? sin x 的图像之间有什么关系? y ? sin x 呢? 3.你能否概括一下 ? 对函数 y ? sin ? x 图像的影响? 设计意图:采用设疑,演示,引导,启发学生逐步发现规律,概括结论.并通过对问题的
思考提高理解能力,强化自我意识,促进由学会到会学转化,形成良好的思维品质.
1 2

探究活动四:探究 y ? Asin ??x ? ? ? 的图像与 y ? sin x 的图像之间的关系:
2

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第一章 三角函数

编制人:万志飞

如何由 y ? sin x 的图像得到 y ? 3sin(2 x ? ) 的图像?
3
π

?

y=sinx 的图象 y=3sin (2x+ 的图象
π 3

y=sin(x+ 3 ) 的图象 ) y=sin (2x+
π 3

)

类比思考:如何由 y=sin x 到 y=Asin(ωx+φ)
y=sinx 的图象 y=Asin (ωx+φ) y=sin(x+φ) 的图象 y=sin (ωx+φ)

的图象 的图象 设计意图 :从 ? 、ω、A 对函数图像的单独影响到综合影响,是一个整合的过程,也恰恰是 能力提高的过程.通过 “积零为整”的引导,使学生完成 ? 、ω、A 整合过程的探究学习,从 而完善学生的知识结构.

(三)反馈练习

设计意图:及时巩固是学习和发展的需要,只有及时巩固,才能迁移应用.这样更能突出
重点、突破难点,使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高.

π π 1.把函数y ? sin(x ? )的图像向左平移 个单位长度,再把图像 上各点 8 4 1 的的横坐标缩短为原来 的 ,则所得到的图像对应 的函数解析式为: __________ _ 2 1 π 2.y ? sin x图像经过哪一系列的变 化可以得到 y ? 2sin( x - )的图像 3 6

(四)课堂小结 (1)在这节课中,你有什么收获? (2)你想继续探究些什么? 设计意图:1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图像及三角
函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.为了使学生真正掌握图 像变换的规律,教师有意识的引导学生总结概括出以下结论: (1)由 y=sinx 到 y=Asin(ωx+ ? )的图像变换过程探究式的发问 “先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”两种不同的变换方法. (2)思想方法:数形结合 化归转化 分类讨论
3

归纳概括

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第一章 三角函数

编制人:万志飞

四、作业
层次 1:习题 1.5A 组 1.2
π 层次 2 :层次 1 的题目做完后,思考:把函数 y ? cos (3x ? ) 的图像适当变动可得到 4

y ? sin(- 3x) 的图像,这种适当变动可以是________________

设计意图:布置作业有梯度,避免一刀切,使学有余力的学生进一步训练逆向思维,使知识
掌握更加深刻

五.板书设计 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像 ( A ? 0, ? ? 0)
1. y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) 2. y ? sin x ? y ? A sin x 3. y ? sin x ? y ? sin ? x 4. y ? sin x ? y ? A sin(? x ? ? ) 学生演板

六.评价与反思
现代教育心理学的研究认为,有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的,因 此我在教学设计过程中着重在学生已有知识结构和新概念间寻找学生思维的“最近发展区” ,引 导学生通过观察、类比、探究掌握新概念,在教学过程中,我坚持精讲精练的原则,向四十 五分钟要质量,减轻学生负担,使他们听有所思 ,练有所获,使知识传授与培养能力融为一 体.并且设法走出了“概念一带而过,演习铺天盖地”的误区,促使自己与学生一起走进“重视 探究、重视交流、重视过程” 的新天地.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确 的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导,剖析纠正,使课堂学习成为再发现,再创造 的过程.

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