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江苏省2016届高考数学冲刺卷(一)


江苏省 2016 届高考数学冲刺卷(一)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题 卡相应位置上 . .. ...... 1.已知集合 A ? {0, a} , B ? {0,1,3} ,若 A ? B ? {0,1,2,3} ,则实数 a 的值为 2.已知复数 z ? i ?1 ? i ? ( i 为虚数单位) ,则复数 z

在复平面上对应的点位于第 3.运行如图所示的伪代码,其结果为 . S←1 For I From 1 To 7 step 2 S←S + I End For Print S . 象限.

4.某校共有教师 200 人,男学生 800 人,女学生 600 人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容 量为 n 的样本,已知从男学生中抽取的人数为 100 人,那么 n ? 5.函数 f ? x ? ? .

? x ? 1?? 3 ? x ? 的单调减区间是

. .

6.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数,则这 2 个数的和为偶数的概率是 7.以抛物线 y =4x 的焦点为焦点,以直线 y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为________. 8.已知△ABC 是等边三角形, 有一点 D 满足 AB ? 9.若 ? 、 ? 均为锐角,且 cos ? ?
2

??? ?

??? ? ???? ??? ? 1 ???? ???? AC ? AD , 且 | CD |? 3 , 那么 DA ? DC ? 2




1 47 , cos(? ? ? ) ? ? ,则 cos ? ? 17 51

10. 若实数 x, y 满足 x ? y ? 0 ,且 log2 x ? log2 y ? 1,则

x2 ? y 2 的最小值为 x? y

.

11.已知矩形 ABCD 的边 AB ? 4 , BC ? 3 若沿对角线 AC 折叠,使得平面 DAC ? 平面 BAC ,则三棱 锥 D ? ABC 的体积为 .

12.过点 P(?4,0) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 5 相交于 A, B 两点,若点 A 恰好是线段 PB 的中点,则 直线 l 的方程为 .

13. Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

a Sn n ?1 ? ,则 3 ? ________. a5 S 2 n 4n ? 2

2 14. 已知函数 f ( x) ?| x ? 3x | , x ? R .若方程 f ( x) ? a | x ? 1|? 0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值

范围为

.

二、解答题 :本大题共 6 小题,共计 90 分.请 在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明
1

过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,满足 ⑴求角 A 的值; ⑵若 a , c , b 成等差数列,试判断 ?ABC 的形状. 16. (本小题满分 14 分) 如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E,F 分别是 AB,BC 的 中点,A1C1 与 B1D1 交于点 O. (1)求证:A1,C1,F,E 四点共面; (2)若底面 ABCD 是菱形,且 OD ? A1E,求证: OD ? 平面 A1 D F 17. (本小题满分 14 分) 已知美国苹果公司生产某款 iPhone 手机的年固定成本为 40 万 美元,每生产 1 万只还需另投入 16 万美元.设苹果公司一年内共生产该款 iPhone 手机 x 万只并全部销售 A E B D1 C1 O B1 C
b ? a sin B ? sin C . ? c sin B ? sin A

A1C1FE.

?400 ? 6 x, 0 ? x ? 40, ? 完,每万只的销售收入为 R(x)万美元,且 R(x)=? ? 7400 40000 ? , x ? 40. ? x2 ? x
(Ⅰ)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式; (Ⅱ)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款 iPhone 手机的生产中所获 得的利润最大?并求出最大利润. 18. (本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a>b>0 )的左、右焦点为 F1 、 F2 , P a2 b2

是 椭 圆 上 一 点 , M 在 PF1 上 , 且 满 足 F1 M ? ? MP ( ? ? R ) ,

PO ? F2 M , O 为坐标原点.
x2 y2 ? ? 1 ,且 P( (1)若椭圆方程为 ,求点 M 的横坐标; 2,2 ) 8 4
(2)若 ? ? 2 ,求椭圆离心率 e 的取值范围

2

19. (本小题满分 16 分)已知数列 {an },{bn } 满足 2Sn ? (an ? 2)bn ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {an } 是首项为

2 1 ,公比为 ? 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式; 3 3

(2)若 bn ? n , a2 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式; (3)在(2)的条件下,设 cn ? 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? (ax 2 ? x ? 2)e x ( a>0 ) ,其中 e 是自然对数的底数. (1)当 a ? 2 时,求 f ( x ) 的极值;

an ,求证:数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积. bn

2?上是单调增函数,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x ) 在 ?? 2,
(3)当 a ? 1 时,求整数 t 的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 4 在 ?t,t ? 1? 上有解.

数学Ⅱ(附加题) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多答, 则按作答的前两小题给分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图,AB 为⊙ O 的直径, 直线 CD 与⊙ O 相切于点 D ,AC ? CD , C D

DE ? AB , C 、 E 为 垂足,连接 AD, BD . 若 AC ? 4 ,
DE ? 3 ,求 BD 的长.
A · O E B

B. 【选修 4-2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)

?1 2? 已知矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值和特征向量. ? ?1 4?
C. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,求圆 ? ? 8 sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R )距离的最大值.

D. 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分)
2 3 已知正实数 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 ? 4 ? 6 ≥ 27 . 2 a b c

3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=AC=4, AA1⊥平面 ABC; AB⊥AC, (1)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (2)在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,求

BD 的值. BC1
C1

A1

B1

A

B

23. (本小题满分 10 分)已知 k , m ? N* , 若存在互不相等的正整数 a1 , a2 , … , am , C 使得 a1a2 , a2 a3 , … , am?1am , am a1 同时小于 k ,则记 f ( k ) 为满足条件的 m 的最大值. (1) 求 f (6) 的值; (2) 对于给定的正整数 n (n ? 1) , (ⅰ)当 n(n ? 2) ? k ? (n ? 1)(n ? 2) 时,求 f ( k ) 的解析式; (ⅱ)当 n(n ? 1) ? k ? n(n ? 2) 时,求 f ( k ) 的解析式.

4

2016 年高考数学冲刺卷 01(江苏卷)答案 数学Ⅰ 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题 卡相应位置上 . .. ...... 1.【命题意图】本题考查集合的运算,解题关键是掌握集合并集的概念. 【答案】2 【解析】由题意,得 2 ? B ,则 2 ? A ,则 a ? 2 . 2.【命题意图】本题考查复数的运算与复数的几何意义,考查运算求解能力. 【答案】一 【解析】因为 z ? i ?1 ? i ? ? 1 ? i ,所以复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限. 3.【命题意图】本题考查算法中的循环结构、伪代码等知识,考查学生阅读图表能力与运算求解能力. 【答案】17 【解析】第一次循环,I=1,S=1+1=2;第二次循环,I=3,S=2+3=5;第三次循环,I=5,S=5+5=10;第四 次循环,I=7,S=10+7=17,结束循环输出 S=17. 4. 【命题意图】本题考查抽样方法中的分层 抽样,考查学生的数据处理能力与运算求解能力. 【答案】200 【解析】男学生占全校总人数为

800 ? 1 ,那么 100 ? 1 , n ? 200 200 ? 800 ? 600 2 n 2

5. 【命题意图】本题考查复合函数的单调性、函数的定义域与一元二次不等式的 解法,考查学生的运算求 解能力. 【答案】 [2,3]

6. 【命题意图】本题考查古典概型的基本计算方法,考查用列举法求事件的个数,考查运算求解能力.
2 5 【解析】从 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数共有 10 种情况,其中满足 2 个数的和为偶数共有

【答案】

1+3,1+5,2+4,3+5 这 4 种,则这 2 个数的和为偶数的概率是

4 2 ? . 10 5

7.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、抛物线与双曲线的几何性质,考查运算求解能力. 【答案】

x2 y 2 ? ?1. 1 1 2 2
5

【解析】设双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,y2=4x 的焦点为 ?1,0 ? ,则双曲线的焦点为 ?1,0 ? ;y=±x a 2 b2

为双曲线的渐近线, 则

x2 y 2 b 1 2 1 2 ? 1, ? ?1. 又因 a 2 ? b2 ? c 2 , 所以 a ? , b ? , 故双曲线标准方程为 1 1 a 2 2 2 2

8.【命题意图】本题考查向量的数量积运算,考查向量的线性运算,考查运算求解能力. 【答案】3 【解析】设正 ?ABC 边长为 a , DC ? AC ? AD ? AC ? ( AB ? 所以 DC ? 即

????

???? ????

????

??? ?

? 1 ???? 1 ???? ??? AC ) ? AC ? AB , 2 2

???? 2

? ??? ?2 1 ? 1 ???? 2 ???? ??? AC ? AC ? AB ? AB ? a 2 ? a 2 cos ? a 2 , 4 3 4

??? ? ???? ??? ? 1 ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 1 ???? 2 3 3 2 a ? 3 ,即 a ? 2 ,则 DA ? DC ? ?( AB ? AC ) ? ( AC ? AB) ? AB ? AC ? a 2 ? 3 . 4 2 2 4 4

9.【命题意图】本题考查三角恒等变换中的两角和与差的余弦公式、同角三角函数关系,考查对公式的灵 活运用能力以及配角法等方法. 【答案】
1 3

10.【命题意图】本题考查 用基本不等式求最值,考查对数的运算性质及配方法.考查学生的推理论证能 力. 【答案】4 【解析】由已知 log2 xy ? log2 x ? log2 y ? 1 , xy ? 2 ,又 x ? y ? 0 ,所以

x 2 ? y 2 ( x ? y)2 ? 2 xy ? x? y x? y

? ( x ? y) ?

4 4 ,所以最小值为 4. ? 2 ( x ? y) ? ? 4 (当且仅当 x ? y ? 2 时取等号) x? y x? y

11. 【命题意图】本题考查棱锥的体积,考查空间想象能力和运算求解能力. 【答案】

24 5

【解析】因为平面 DAC ? 平面 BAC ,所以 D 到直线 BC 距离为三棱锥 D ? ABC 的高,
6

S?ABC ? VD ? ABC

1 3 ? 4 12 3 ? 4 12 ? 3 ? 4 ? 6, h ? ? ,h ? ? 2 5 5 5 5 1 1 12 24 ? S?ABC ? h ? ? 6 ? ? . 3 3 5 5

12. 【命题意图】本题考查直线与圆相交问题、 点到直线的距离、直线方程等基础知识,考查运算求解能 力. 【答案】 x ? 3 y ? 4 ? 0 【解析】如果直线 l 与 x 轴平行,则 A(1 ? 5,0), B(1 ? 5,0) , A 不是 PB 中点,则直线 l 与 x 轴不平行; 设 l : x ? my ? 4 , 圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离 d ?

5 m2 ? 1

, 令 AB 中 点 为 Q , 则

AQ ? 5 ? d 2 , PQ ? 3AQ ? 3 5 ? d 2 ,在 Rt? CPQ中 PQ2 ? CQ2 ? PC 2 , 得 d 2 ?
m ? ?3 ,则直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 4 ? 0 .
13. 【命题意图】本题考查等差数列的前 n 项和公式,考查推理能力与运算求解能力. 3 【答案】 . 5

5 25 ? ,解得 2 1 ? m2

14. 【命题意图】本题考查含绝对值的二次函数的图象与性质,以及函数与方程、零点等知识,考查学生 运用分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想等综合解决问题的能力. 【答案】(0,1)∪(9,+∞) 【解析】由 f ( x) ? a | x ? 1|? 0 ,得 f ( x) ? a | x ? 1| ,作出函数 y ? f ( x) , y ? g ( x) ? a | x ? 1| 的图象, 当 a ? 0 ,两个函数的图象不可能有 4 个交点,不满足条件,则 a ? 0 ,此时

? a( x ? 1), x ? 1 , g ( x) ? a | x ? 1|? ? ??a( x ? 1), x ? 1
2 当 ?3 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 3x , g ( x) ? ?a( x ? 1) ,当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时

? x2 ? 3x ? ?a( x ? 1) ,即 x2 ? (3 ? a) x ? a ? 0 ,则由 ? ? (3 ? a)2 ? 4a ? 0 ,即 a 2 ? 10a ? 9 ? 0 ,解得
a ? 1 或 a ? 9 ,当 a ? 9 时, g ( x) ? ?9( x ? 1) , g (0) ? 9 ,此时不成立,∴此时 a ? 1 ,要使两个函数有
四个零点, 则此时 0 ? a ? 1 , 若 a ?1, 此时 g ( x) ? ?a( x ? 1) 与 f ( x) 有两个交点, 此时只需要当 x ? 1 时,
7

f ( x) ? g ( x) 有两个不同的零点即可, 即 x2 ? 3x ? a( x ?1) ,整理得 x2 ? (3 ? a) x ? a ? 0 ,则由

? ? (3 ? a)2 ? 4a ? 0 ,即 a 2 ? 10a ? 9 ? 0 ,解得 a ? 1 (舍去)或 a ? 9 ,综上 a 的取值范围是
(0,1) ? (9, ??) .

二、解答题 :本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 【命题意图】本题考查正 弦定理、余弦定理,等差数列的性质,考查运算求解能力.

16. (本小题满分 14 分) 【命题意图】本题考查平面的基本性质,线面垂直的判断与性质. 【解析】

8

(1)连接 AC,因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF 是△ABC 的中位线, 所以 EF∥AC. ………………………2 分

? CC ,所以四边形 AAC C 为平行四边形,所以 AC∥ AC .……5 分 由直棱柱知 AA1 ? 1 1 1 1 1

所以 EF∥ AC 1 1, 故 A1 , C1 ,F,E 四点共面.……………7 分

17. (本小题满分 14 分) 【命题意图】本题考查函数的应用题,用基本不等式求函数的最值等数学知识,考查学生阅读理解能力、 数学建模能力与运算求解能力.渗透了数形结合思想与数学应用意识. 【解析】(1)当 0<x≤40,W=xR(x)-(16x+40)=-6x +384x-40; ........ 2 分 当 x>40,W=xR(x)-(16x+40)=-
2

40000 -16x+7360... .........4 分 x

?-6 x 2+384 x-40, 0 ? x ? 40, ? 所以,W= ? 40000 ....... .............................6 分 - - 16 x + 7360 , x ? 40. ? x ?
(2)①当 0<x≤40,W=-6(x-32) +6104,
9
2

所以 Wmax=W(32)=6104;.............10 分 ②当 x>40 时,W=-

40000 -16x+7360, x

由于

40000 40000 ?16 x =1600, +16x≥2 x x
40000 =16x,即 x=50∈(40,+∞)时,W 取最大值为 5760...........12 分 x

当且仅当

综合①②知,当 x=32 时,W 取最大值为 6104..................14 分 18. (本小题满分 16 分) 【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆相交问题、直线的位置关系等基础知识, ,考 查运算求解能力和数形结合思想的应用.

? x0 2 ? y0 2 ? 2cx0 ? 联立方程得: ? x0 2 y0 2 ,消去 y 0 得: c2 x02 ? 2a2cx0 ? a2 (a2 ? c2 ) ? 0 ? ? 1 ? 2 b2 ? a

解得: x0 ?

a ( a ? c) a (a ? c) 或 x0 ? c c ? x0 ? a(a ? c) ? (0, a) c
? 0 ? a 2 ? ac ? ac

…………14 分 解得: e ?
1 2

? ?a ? x0 ? a

1 综上,椭圆离心率 e 的取值范围为 ( ,1) . 2 19. (本小题满分 16 分)

…………16 分

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式,等差数列的判断与通项公式,函数与方程思 想,考查代数推理、转 化与化归以及综合运用数学知识解决问题的能力.

10

(3)由(2)得 cn ?

n ?1 , n

对于给定的 n ? N * ,若存在 k , t ? n, k , t ? N * ,使得 cn ? ck ? ct , 只需

n ?1 k ?1 t ?1 ? ? , n k t 1 1 1 1 1 1 1 n(k ? 1) 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? ,则 t ? , n k t n k t kt k ?n

…………12 分

取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) , ∴对数列 {cn } 中的任意一项 cn ? 使得 cn ? cn?1 ? cn2 ?2n . 20. (本小题满分 16 分) 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性以及零点等知识,考查综合运用数学方法分析与 解决问题的能力.

n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n?2 ,都存在 cn ?1 ? 和 cn2 ? 2 n ? n n ?1 n 2 ? 2n
…………16 分

11

①当 ?1 ?

1 1 ? ?2 ,即 0 ? a ? 时, g ( x) 在 [ ?2, 2] 上单调增, 2 2a ?0 ? a ? 1 2

? g ( x)min ? g (?2) ? 1 ? 0

………8 分

②当 ?2 ? ?1 ?

1 1 1 1 ? 0 ,即 a ? 时, g ( x) 在 [?2, ?1 ? ] 上单调减,在 [?1 ? , 2] 上单调增, 2 2a 2a 2a

?? ? (2a ? 1)2 ? 12a ? 0 解得: 1 ?
综上, a 的取值范围是 (0,1 ?

3 3 ? a ?1? 2 2

1 3 ? ? a ?1? 2 2
………10 分

3 ]. 2

(3)? a ? 1, 设 h( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x ? x ? 4 , h' ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 令 ? ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 , ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)e x 令 ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)e x ? 0, 得x ? ?2, ?3
x
(??, ?3)
?

?3
0 极大值

(?3, ?2)
?

?2
0 极小值

(?2, ??)
?

? ' ( x)
? ( x)
?? ( x)极大值 =? (?3) ?







3 1 ? 1 ? 0 , ? ( x)极小值 =? (?2) ? 2 ? 1 ? 0 3 e e

………13 分

1 ? ( x) ? 0 , ? ( x) ? 0 . x ? (??, x0 ) 时, x ? ( x0 , ??) 时, ?? (?1) ? ? 1 ? 0,? (0) ? 2 ? 0 , ∴存在 x0 ? (?1,0) , e
? h ( x ) 在 (??, x0 ) 上单调减,在 ( x0 , ??) 上单调增
12

又? h(?4) ?

14 8 ? 0, h(?3) ? 3 ? 1 ? 0, h(0) ? ?2 ? 0, h(1) ? 4e ? 5 ? 0 e4 e

由零点的存在性定理可知: h( x) ? 0 的根 x1 ? (?4, ?3), x2 ? (0,1) ,即 t ? ?4, 0 .

………16 分

数学Ⅱ(附加题) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多答, 则按作答的前两小题给分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力与推理论证能力.

B. 【 选修 4-2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查矩阵的特征值与特征向量的概念、矩阵乘法等基础知识,考查运算求解能力. 【解析】矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? ?

? ?1
1

?2 ? ? 2 ? 5? + 6 , ……………2 分 ? ?4

由 f ? ? ? ? 0 ,解得 ?1 ? 2 , ?2 ? 3 . …………………………………………4 分

? x ? 2 y ? 0, 当 ?1 ? 2 时,特征方程组为 ? ? x ? 2 y ? 0,
? 2? 故属于特征值 ?1 ? 2 的一个特征向量 ?1 ? ? ? ;………………………………7 分 ?1 ?

?2 x ? 2 y ? 0, 当 ?2 ? 3 时,特征方程组为 ? ? x ? y ? 0,
?1? 故属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量 ? 2 ? ? ? . ?1?
…………………………10 分

C. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查极坐标系与极坐标的概念、圆与直线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的
13

互化、点到直线的距离公式,考查转化与化归能力与运算求解能力.

D. 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查基本不等式的应用,考查转化与化归能力和推理论证能力. 【解析】因为正实数 a , b, c 满足 a ? b2 ? c3 ? 1 ,

1 , 所以 1 ? 3 3 ab2c3 ,即 ab c ? 27
2 3

…………………………5 分

1 ? 27 ab2c3 1 1 1 1 因此, 2 ? 4 ? 6 ? 3 3 2 4 6 ? 27 a b c abc
所以

……………………10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查空间向量、二面角和直线垂直的应用等基础知识,考查应用向量法 解决空间角和距 离的能力与运算求解能力. 【解析】 (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A- xyz , 则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,

???? ? ?3 y ? 4 z ? 0 ? n ? A1 B ? 0 则 ? ????? ,即 ? , 4x ? 0 ? ? ?n ? A1C1 ? 0
令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) . 同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) , 所以 cos n,m ?

n?m 16 . ? | n || m | 25

由题知二面角 A1-BC1-B1 为锐角,
14

所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为

16 . 25

………5 分

23.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查分类讨论思想、归纳推理能力,考查对有一定难度和新颖性问题的进行分析与解决 的能力. 【解析】 (1)由题意,取 a1 ? 1, a2 ? 2 , a1a2 ? 6 ,满足题意, 若 ?a3 ? 3 ,则必有 a2 a3 ? 6 ,不满足题意, 综上所述: m 的最大值为 2 ,即 f (6) ? 2 . (2)由题意,当 n(n ? 1) ? k ? (n ? 1)(n ? 2) 时, ………………4 分

} 设A 1 ? {1, 2, … , n} , A 2 ? {n ? 1, n ? 2, n ? 3, … ,
显然, ? ai , ai ?1 ? A1 时,满足 ai ai ?1 ? n(n ? 1) ? n(n ? 1) ? k , ∴从集合 A1 中选出的 ai 至多 n 个,

15

? a j , a j ?1 ? A2 时, a j a j ?1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? k ,
∴从集合 A2 中选出的 a j 必不相邻, 又∵从集合 A1 中选出的 ai 至多 n 个, ∴从集合 A2 中选出的 a j 至多 n 个,放置于从集合 A1 中选出的 ai 之间, ∴ f (k ) ? 2n , ………………6 分

(ⅱ)当

n(n ? 1) ? k ? n(n ? 2) 时,
从 A1 中选出的 n 个 ai : 1, 2, … , n ,考虑数 n 的两侧的空位,填入集合 A2 的两个数 a p , aq ,不妨设

na p ? naq ,则 na p ? n(n ? 2) ? k ,与题意不符,
∴ f (k ) ? 2n ? 1 , 取一串数 ai 为: 1, 2n ? 1, 2, 2n ? 2,3, 2n ? 3, … , n ? 2, n ? 2, n ? 1, n ? 1, n

(写出(ⅰ) 、 (ⅱ)题的结论但没有证明各给 1 分. )

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