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物理竞赛力学习题


A O

V0

450 M

※A球以V0速度从台 面抛出,粒子运动轨 迹如图示,做一个沿 运动方向的光滑曲面, 让A球从抛出点无初 速下滑,找轨道上的 一点M,M与O点连 线与竖直方向成450 角。分析小球无初速 下滚时经过M点的水 平和竖直分速度。

解析:分析轨迹方程:x ? V0t

/>A O 450 M V0

y?

1 2 1 x gt ? y ? g ( ) 2 2 2 V0
0

2V0 2 由角度45 知O到M 的竖直高度:y ? g 平抛到达该点: 2V0 2 1 mgy ? mg ? m(V 2 ? V0 2 ) ? V ? 5V0 g 2 Vx ? V0 , Vy ? 2V0 无初速下滑到该点,速度方向与 平抛到该点速度相同 2V0 2 1 mgy ? mg ? mV '2 ? V ' ? 2V0 g 2 V 'x Vx V V 2 5 ? ? V 'x ? x V ' ? 0 ? 2V0 ? V0 V' V V 5 5V0 V 'y V' ? Vy V ? V 'y ? Vy V V '? 2V0 4 5 ? 2V0 ? V0 5 5V0

※如图所示,一个小球 (视为质点)从H=12m 高处,由静止开始通过光 滑弧形轨道AB,进入半径 R=4m的竖直圆环,且圆 环动摩擦因数处处相等, 当到达环顶C时,刚好对轨 道压力为零;沿CB圆弧滑 下后,进入光滑弧形轨道 BD,且到达高度为h的D 点时的速度为零,则h之值 可能为(g=10 m/s2, 所有高度均相对B点而言) A、12 m B、10 m C、8.5 m D、7 m

A C B
VC 2 1 1 解析:C点:mg=m ? mVC 2 ? mgR R 2 2 A ? C由动能定理: 1 1 4 mg ? W f 1 ? mVC 2 ? mgR ? 2 mg 2 2 ? W f 1 ? 2 mg C ? D由动能定理: - mg ( h ? 8) ? W f 2 ? 0 ? ?? 1 mVC 2 2

D

1 mgR ? ? 2 mg 2 ? mg ( h ? 8) ? W f 2 ? 2 mg ? W f 2 ? 2 mg ? mg ( h ? 8) ? mg (10 ? h ) ? 2 mg ? 8 m ? h ? 10 m

※如图所示,质量为m=1kg的小球放在一复杂的轨道上, 轨道由无限长粗糙水平轨道(μ=0.2)和光滑的圆轨道连 接而成,AO间距为L=5m,小球在A点速度为V0=6m/s分析: (1)运动中若小球不脱离轨道,求圆轨道半径需要满足什 么条件? (2)求满足(1)条件的情况下小球最终静止时离A点的距 离。
B

V0 A O

解析:(1)分两种情况讨论:若小球能通过圆轨道最高点,考虑临界,有: VB2 1 1 2 最高点:mg=m ? EKB ? mVB ? mgR R 2 2 1 2 1 由A到B,由动能定理:W=?EK ? -?mgL-2mgR= mVB ? mV02 ? R ? 0.32m 2 2 若小球不能通过圆轨道最高点,考虑临界,则小球到达圆弧轨道上升高度不 1 超过圆轨道半径,由动能定理:W=?EK ? -?mgL-mgR=0 ? mV02 ? R ? 0.8m 2 综上,满足条件的圆轨道半径为:R ? 0.32m或R ? 0.8m 1 (2)由动能定理,考虑全过程: ? ?mgLx ? 0 ? mV02 ? Lx ? 9m 2 对应R ? 0.32m,小球静止于A点右侧 9m处。 对应R ? 0.8m,小球静止于A点右侧 1m处。
V0 A O

※如图所示,一卫星围绕地球在某一面内做椭圆轨道的运动,已知该椭圆轨道的半长轴 为a,即卫星近地点到远地点的距离为2a, 地球的质量为M,地球球心到椭圆中心的距 离为C,卫星在空中的万有引力势能以无限远处为势能零点为EP=-GMm/r,其中M为 中心天体地球的质量,m为卫星的质量, G为万有引力常量,r为卫星到地球球心的距 离。认为卫星在轨道运动时仅受地球引力作用,大气阻力忽略不计。 (1)由开普勒第二定律知,卫星与地球的连线在相等时间内扫过相等的面积,若卫星 近地点速度为V1,远地点的速度为V2,证明:(a-C)V1=(a+C)V2 (2)求卫星近地点的速度V1 (3)求卫星在椭圆轨道运动时的 总机械能E(以无限远处为万有引力 势能的零点)。 (用G,M,m,a,c等 表示(2)(3)结果)

地球

解:(1)由开普勒第二定律单位时间扫过相等面积,考虑极短时间: (a-C)V1△t=(a+C)V2△t 两边去掉△t即可 (2)由(1)结果和机械能守恒联立可得:

(a ? c)V1 ? (a ? c)V2 1 GMm 1 GMm 2 2 mV1 ? ? mV2 ? 2 (a ? c) 2 (a ? c) V1 ? (a ? c)GM a(a ? c)

(3)由于卫星运动过程中机械能守恒,所以卫星在椭圆轨道的总机械能

1 GMm (a ? c)GMm GMm 2 E ? mV1 ? ? ? 2 (a ? c) 2 a ( a ? c ) (a ? c ) GMm (a ? c) ? 2a GMm ? ( )?? (a ? c) 2a 2a

※如图所示的木板由倾斜部分和水平部分组成,两部分之间由一段圆弧面相连接。 在木板的中间有位于竖直面内的光滑圆槽轨道,斜面的倾角为θ。现有10个质量均 为m半径均为r的均匀刚性球,在施加于1号球的水平外力F的作用下均静止,力F与圆 槽在同一竖直面内,此时1号球球心距它在水平槽运动时的球心高度差为 h。现撤 去力F使小球开始运动,直到所有小球均运动到水平槽内。重力加速度为g。求: (1)水平外力F的大小; (2)1号球刚运动到水平槽时的速度; (3)整个运动过程中,2号球对1号球所做的功。

解析:() 1 F ? 10mg tan ?
1 (2)mgh ? mV 2 ? V ? 2 gh 2 (3)整体分析 18r 1 10mg(h+ sin ? ) ? ? 10mV '2 2 2 ? V ' ? 2g(h+9r sin ? )

FN F

θ mg

1 1球:mgh+W ? mV '2 2 1 ? mgh+W ? mV '2 ? mg(h+9r sin ? ) 2 ? W ? 9mgr sin ?


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