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几何概型


3.3 几何概型

复习
1.求随机事件发生的概率,我们已经学习了哪些 方法?
(1)试验法 P(A) ≈fn(A) (2)古典概型的概率公式法
事件 A 所包含的基本事件数 P( A) ? 试验的基本事件总数

Ω

A

事件A的概率就是事件A包含的基本事件个 数在

事件空间中所占的比例
注意:在几何概型中,概率为0的事件一定是不可能事 件,概率为1的事件一定为必然事件。

2.古典概型有哪两个基本特点? (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 (有限性); (2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能 性). 3.在现实生活中,许多试验的所有结果可能是无 限个,这时就不能用古典概型来计算事件发生的 概率.对此,我们必须学习新的方法来解决这类问 题.

(一):几何概型的概念

1:某班公交车到终点站的时间可能是11:30~12: 00之间的任何一个时刻。对此公交车到达终点的 时间进行观察。 2:如图,假设在下面每个图形上随机撒一粒小 黄豆,分别求它落到阴影部分的概率(可以猜 想)。

这两个试验可能出现的结果分别是什么?是 有限个,还是无限个?每个试验结果出现的 可能性是否相等?

3:下图中有两个转盘,甲乙两人用其中一个转盘 玩游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则 乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少?
B N B N N B N B N B B

结论:

(1)实验可能出现的结果无限个,每个结果出现的 可能性相同 (2)事件发生的概率只与构成事件的区域的面积大小 (或弧长、圆心角)大小有关。 (3)事件发生的概率等于表示事件的区域与表示事件 空间的区域的面积(或长度)之比。

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率 模型为几何概型. 几何概型有下面两个基本特征 (1)可能出现的结果有无限多个; (2)每个结果发生的可能性相等. 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

Ω

A

例1 判断以下各题的是何种概率模型,并求 相应概率 (1)在集合 A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中任 取一个元素a,则a≥ 3 的概率为-----(2)已知点O(0,0),点M(60,0), 在线段OM上任取一 点P ,则 PM ? 10的概 率为 ------

例2:某班公交车到终点站的时间等可能是11:30 ~12:00之间的任何一个时刻,那么“公交车在 11:40~11:50到终点站”这个随机事件是几何 概型吗?若是,怎样用几何图形表示?

练习:有一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么剪得的两段的长度都不小于1m的概 率是多少?你是怎样计算的?

例3:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环,从外 向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金 色,金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面 直径是122cm,黄心直径是12.2cm,运动员在距离 靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任 何一点,那么如何计算射中黄心 的概率?

练习:在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒, 现从中随机取出1升水,那么这1升水中含有病毒 的概率是多少?你是怎样计算的?

例4:向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻, 那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中 心的概率分别是多少? 练习: 半径为2的圆内有一点A,现在随 机向圆内扔一颗小豆子,(1)求小豆 子落点正好为点A的概率。(2)求小豆 子落点不为点A的概率。 注意:在几何概型中,概率为0的事件可能会发生, 概率为1的事件不一定会发生. 所以:

概率为0的事件不一定是不可能事件,概率 为1的事件也不一定是必然事件!

例5 某人午觉醒来,发现表停了,他打 开收音机,想听电台报时,已知电台每 到整点时刻都会报时,求他等待的时间不 多于10分钟的概率.
改为某人等车,已知每躺车间隔时 间为1小时,求他能在10分钟之内等 到车的概率

例6 o 在平面直角坐标系内,射线OT落在60 角的终边上,

任作一条射线OA,求射线OA落在∠xOT内的概率.
A y
T

oo 60 11 60 方法 1:P(A)= = = (角度法 ) ) o 方法 1:P(A)= ( 角度法 360 o 6

O

π π r r 1 3 方法2:P(A)= 3 = 1 (弧长法) 方法2:P(A)= 2πr =6 (弧长法) 2 πr 6 x 1π ? r ? 1π 1 2 3 ? = (面积法) 方法3:P(A)= ? r 2 1 2 3 方法3:P(A)= πr2 = 6 (面积法)

360

6

πr

6

练习1:在半径为1的圆上随机地取两点, 连成一条线,则其长超过圆内等边三角形 的边长的概率是多少? B

.

o
D

C

1 P ( A) ? 3

E

1 3

练习2: 平面上画了一些彼此相距2a的平行 线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个 平面上,求这枚硬币不与任一条平行线 相碰的概率 M

2a

O
r

例7.任取一根长为30cm木棍,在任意 位置截成三断,求三段的长都不小于 8cm概率。 练习.在一个圆上任取三点A,B,C,求 三角形为锐角三角形的概率.如果 A,B两点为已知的两点,C点任取,则 该三角形为锐角三角形的概率又是 多少?

例8 甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面, 先到者等候另一人20分钟,过时离去,求甲乙两 人能会面的概率. y

60 - 40 5 P (A ) = = 2 60 9

2

2

60 20 O 20 60

x

? 练习 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开 家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父 亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是 多少?

巩固性练习(课后思考题2)
1.某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自 由转动的转盘,并规定 : 顾客每购买 100 元 的商品,就能获得一次转动转盘的机会。如 果转盘停止时,指针正好对准红、黄或绿的 区域,顾客就可以获得 100 元、 50 元、 20 元的购物券(转盘等分成20份)
绿 黄



绿 绿 绿 红

2.如图,假设你在图形上随机撒一粒黄豆, 计算它落到阴影部分 的概率

3.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机 取出10ml,含有麦锈病的种子的概率是

2 ? 5. 校门口有12路公交车站点,某同学要乘 m 12路 30m 回家,假设12路公交车每隔25分钟有一辆到达 (每辆汽车可以带走车站上的所有乘客),小张 到达站点的时刻是任意的,求他候车时间不超过 10分钟的概率?

4:一海豚在水池中自由游弋, 水池为长30m,宽为20m的长方形。 求此海豚嘴尖离岸边不超过2m的 A 概率 20 m

课堂小结
? 1.几何概型的特点. ? 2.古典概型与几何概型的区别: 1)两种模型的基本事件发生的可能性都相 等; 2)古典概型要求基本事件是有限个,而几 何概型则要求基本事件有无限多个。 ? 3.几何概型的概率公式及运用. 作业: P135 练习: 1,2. P137 习题3.3A组:1.2


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