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2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题限时训练1 文


专题限时训练(一)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

集合、常用逻辑用语

A 组(时间:30 分钟 分数:80 分)

1.(2015?陕西卷)设集合 M={x|x =x},N={x|lg x≤0},则 M∪N=( A.[0,1] C.[0,1) 答案:A 解析:M={x|x =x}={0,1},

N={x|lg x≤0}= {x|0<x≤1},M∪N=[0,1],故选 A.
2

2

)

B.(0,1] D.(-∞,1]

2.(2015?聊城模拟)集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的 值为( A.0 C.2 答案:D 解析:因为 A={0,2,a},B={1,a },
2

2

) B.1 D.4

A∪B={0,1,2,4,16},
所以?
?a =16, ? ? ?a=4,
2

则 a=4.
2

3.(2015?湖北八校模拟)已知 a∈R,则“a>2”是“a >2a”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:因为 a>2,则 a >2a 成立,反之不成立,所以“a>2”是“a >2a”成立的充分不必 要条件. 4.已知集合 A={z∈C|z=1-2ai,a∈R},B={z∈C||z|=2},则 A∩B 等于( A.{1+ 3i,1- 3i} C.{1+2 3i,1-2 3i} 答案:A 解析:A∩B 中的元素同时具有 A,B 的特征,问题等价于|1-2ai|=2,a∈R,解得 a= ± 3 .故选 A. 2 5. (2015?济南模拟)设 A, B 是两个非空集合, 定义运算 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}. 已 知 A={x|y= 2x-x },B={y|y=2 ,x>0},则 A?B=(
2

2

2

)

B.{ 3-i} D.{1- 3i}

x

)

1

A.[0,1]∪(2,+∞) C.[0,1] 答案:A

B.[0,1)∪[2,+∞) D.[0,2]

解析: 由题意得 A={x|2x-x ≥0}={x|0≤x≤2},B={y|y>1}, 所以 A∪B=[0,+∞),

2

A∩B=(1,2],所以 A?B=[0,1]∪(2,+∞).
6.给出下列命题: ①? x∈R,不等式 x +2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; ③“若 a>b>0 且 c<0,则 > ”的逆否命题; ④若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中真命题是( A.①②③ C.①③④ 答案:A 解析:①中不等式可表示为(x-1) +2>0,恒成立; 1 ②中不等式可变为 log2x+ ≥2,得 x>1; log2x 1 1 ③中由 a>b>0,得 < ,而 c<0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真;
2 2

c c a b

) B.①②④ D.②③④

a b

④由 p 且 q 为假只能得出 p,q 中至少有一个为假,④不正确.

? ? x2+2x ?1?-x-6 7.(2015?衡中二模)设集合 P=?x?2 =? ? ?2? ? ?
T? P,则实数 m 的取值组成的集合是(
?1 1? A.? , ? ?3 2? ?1 1 ? C.? ,- ,0? 2 ? ?3

? ?,集合 T={x|mx+1=0},若 ?

)
?1? B.? ? ?3? ? 1? D.?- ? ? 2?

答案:C

x2+2x
解析:由 2
2

?1?-x-6,得 2 =? ? ?2?
2

x2+2x
=2

x+ 6



∴x +2x=x+6,即 x +x-6=0, ∴集合 P={2,-3}. 若 m=0,则 T=??P.
? 1? 若 m≠0,则 T=?- ?, ?

m?

2

1 1 由 T? P,得- =2 或- =-3,

m

m

1 1 ∴m=- 或 m= .故选 C. 2 3 8.若“0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]≤0”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,0]∪[1,+∞) C.[-1,0] 答案:C 解析:(x-a)[x-(a+2)]≤0? a≤x≤a+2, 由集合的包含关系知,?
?a≤0, ? ?a+2≥1 ?

B.(-1,0) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

? a∈[-1,0]. )
2

9.(2015?江西南昌调研)下列说法错误的是(
2

A.命题“若 x -5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x -5x+6≠0” B.若命题 p:? x0∈R,x0+x0+1<0,则綈 p:? x∈R,x +x+1≥0 C.若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≥?
2 2

?x+y?2”的充要条件 ? ? 2 ?

D.已知命题 p 和 q,若“p 或 q”为假命题,则命题 p 与 q 中必有一真一假 答案:D 解析:易知 A,B 正确;由 xy≥?

?x+y?2?4xy≥(x+y)2?4xy≥x2+y2+2xy?(x-y)2≤0 ? ? 2 ?

?x=y 知,C 正确;对于 D,命题“p 或 q”为假命题,则命题 p 与 q 均为假命题,所以 D 不 正确. 10.(2015?洛阳模拟)有如下四个命题:

?1? p1:? x0∈(0,+∞),? ? ?2?
1 1 1

x0

?1? <? ? ?3?
x0

x0


? ? ? ? p2:? x0∈? , ?,x2 =? ? ?3 2? ?3?
1 0



p3:? x∈R,2x>x2; p4:? x∈(1,+∞),? ?x-1>log1 x. 2
3 其中真命题是( )

?3? ? ?

A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 答案:D

3

解析:根据指数函数的性质,

?1?x ?1?x ? x∈(0,+∞),? ? >? ? , ?2? ?3?
故命题 p1 是假命题; 1 2

?1?x 令 f(x)=? ? -x ?3?



1 1 ?1? ?1? 3 ?1? 2 则 f? ?=? ? -? ? >0, ?3? ?3? ?3? 1 1 2 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? f? ?=? ? -? ? <0, ?2? ?3? ?2?

?1? ?1? 所以 f? ?f? ?<0, ?3? ?2?
所以命题 p2 是真命题; 当 x=2 时,2 =2 =4,x =2 =4, 故 2 >x 不成立,命题 p3 是假命题;
x
2

x

2

2

2

?3?x-1 当 x>1 时,? ? >1,log1 x<0, ?2? 3 ?3?x-1 故? ? >log1 x 恒成立, ?2? 3
命题 p4 是真命题,故选 D. 11.(2015?陕西五校第二次模拟)下列命题正确的个数是(
2 2

)

①命题“? x0∈R,x0+1>3x0”的否定是“? x∈R,x +1≤3x”; ②“函数 f(x)=cos ax-sin ax 的最小正周期为 π ”是“a=1”的必要不充分条件; ③x +2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立?(x +2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立; ④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充要条件是“a?b<0”. A.1 C.3 答案:B 2π 解析:易知①正确;因为 f(x)=cos 2ax,所以 =π ,即 a=±1,因此②正确;因 |2a| 为 x +2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立? a≤x+2 在 x∈[1,2]上恒成立? a≤(x+2)min,x∈ [1,2],因此③不正确;因为钝角不包含 180°,而由 a?b<0 得向量夹角包含 180°,因此 “平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充要条件是“a?b<0 且 a 与 b 不反向”,故④不正确.
2 2 2 2 2

B.2 D.4

4

12.(2015?江西鹰潭一模)已知命题 p:已知实数 a,b,则 ab>0 是 a>0 且 b>0 的必要不 充分条件,命题 q:在曲线 y=cos x 上存在斜率为 2的切线,则下列判断正确的是( A.p 是假命题 C.p∧(綈 q)是真命题 答案:C B.q 是真命题 D.(綈 p)∧q 是真命题 )

解析:显然命题 p 为真命题,命题 q:y=cos x 的导函数为 y′=-sin x,-1≤y′≤1, 故曲线 y=cos x 上不存在斜率为 2的切线,q 为假命题,綈 q 为真命题,所以 p∧(綈 q)为 真命题,故选 C. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (2015?济南模拟)已知集合 A={x||x-1|<2}, B={x|log2x<2}, 则 A∩B=________. 答案:{x|0<x<3} 解析:将两集合化简,得 A={x|-1<x<3},B={x|0<x<4}, 故结合数轴得 A∩B={x|-1<x<3}∩{x|0<x<4}={x|0<x<3}. 14.已知 p:? x0∈R,mx0+2≤0,q:? x∈R,x -2mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实 数 m 的取值范围是________. 答案:[1,+∞) 解析:因为 p∨q 是假命题, 所以 p 和 q 都是假命题. 由 p:? x0∈R,mx0+2≤0 为假命题知, 綈 p:? x∈R,mx +2>0 为真命题, 所以 m≥0.① 由 q:? x∈R,x -2mx+1>0 为假命题知, 綈 q:? x0∈R,x0-2mx0+1≤0 为真命题, 2 2 所以 Δ =(-2m) -4≥0? m ≥1? m≤-1 或 m≥1.② 由①和②得 m≥1. 15.设全集 U=A∪B={x∈N |lg x<1},若 A∩(?UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}, 则集合 B=________. 答案:{2,4,6,8} 解析:U=A∪B={x∈N |lg x<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(?UB)={m|m=2n+1,n =0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},所以 B={2,4,6,8}. 16.下列命题中,是假命题的是________. ①存在 α ,β ∈R,有 tan(α +β )=tan α +tan β ; ②对任意 x>0,有 lg x+lg x+1>0; ③△ABC,A>B 的充要条件是 sin A>sin B; ④对任意 φ ∈R,函数 y=sin(2x+φ )都不是偶函数.
5
2 * * 2 2 2 2 2 2

答案:④ 解析:对于①,当 α =β =0 时,tan(α +β )=0=tan α +tan β ,因此①是真命题; 1?2 3 3 ? 2 对于 ②,注意到 lg x+lg x+1=?lg x+ ? + ≥ >0,因此②是真命题;对于③,在△ABC 2? 4 4 ? 中,由 A>B?a>b?2Rsin A>2Rsin B ?sin A>sin B(其中 R 是△ABC 的外接圆半径),因此③是真命题;对于④,注意到当 φ π = 时,y=sin(2x+φ )=cos 2x 是偶函数,所以④是假命题. 2 B 组(时间:30 分钟 分数:80 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U=R,集合 M={x|-2≤x-1≤2}和 N={x|x=2k-1,k=1,2,?}的关系 的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )

A.3 个 C.1 个 答案:B

B.2 个 D.无穷多个

解析:由 M={x|-2≤x-1≤2},得 M={x|-1≤x≤3},则 M∩N={1,3},有 2 个. 2.已知集合 A={x|log2x<1},B={x|0<x<c,其中 c>0}.若 A∪B=B,则 c 的取值范围 是( ) A.(0,1] C.(0,2] 答案:D 解析:因为 A={x|log 2x<1}={x|0<x<2},由 A∪B=B,得 A? B,又 B={x|0<x<c,其 中 c>0},所以结合数轴,得 c≥2,故选 D. 3.(2015?吉林长春质检)已知 p:函数 f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数;q: 函数 g(x)=loga(x+1)(a>0 且 a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:C 解析:p 成立?a≤1,所以綈 p 成立?a>1,又 q 成立?a>1,则綈 p 是 q 的充要条件, 故选 C. 2 2 4. (2015?北京朝阳模拟)设集合 A={x|x +2x-3>0}, 集合 B={x|x -2ax-1≤0, a>0},
6

B.[1,+∞) D.[2,+∞)

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

若 A∩B 恰恰含有一个整数,则实数 a 的取值范围是(

)

? 3? A.?0, ? ? 4? ?3 ? C.? ,+∞? ?4 ?
答案:B
2

?3 4? B.? , ? ?4 3?
D.(1,+∞)

解析:A={x|x +2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3},函数 f(x)=x -2ax-1 的图象的对称 轴为 x=a(a>0),f(0)=-1<0,根据 f(x)的图象可知,要使 A∩B 中恰含有一个整数,则这 3 a≥ , ? ? 4 所以? 4 a< , ? ? 3

2

?4-4a-1≤0, ? 个整数为 2, 所以有 f(2)≤0 且 f(3)>0, 即? ?9-6a-1>0, ?

3 4 即 ≤a< . 4 3

5.已知 M={a||a|≥2},A={a|(a-2)(a -3)=0,a∈M},则集合 A 的子集共有( A.1 个 C.4 个 答案:B B.2 个 D.8 个

2

)

解析:|a|≥2? a≥2 或 a≤-2.又 a∈M,(a-2)(a -3)=0? a=2 或 a=± 3(舍),即

2

A 中只有一个元素 2,故 A 的子集只有 2 个,故选 B.
6.(2015?济宁模拟)下列说法正确的是(
2

)
2

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” B.“x=6”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“对任意 x∈R 均有 x -x+1>0”的否定是:“存在 x0∈R 使得 x0-x0+1<0” D.命题“若 x=y,则 cos x=cos y”的逆否命题为真命题 答案:D 解析: 命题“若 x =1, 则 x=1”的否命题为: “若 x ≠1, 则 x≠1”, A 错误; “x=6” 是“x -5x-6=0”的充分不必要条件,B 错误;命题“对任意 x∈R 均有 x -x+1>0”的否 定是:“存在 x0∈R 使得 x0-x0+1≤0”,C 错误;命题“若 x=y,则 cos x=cos y”为真 命题,故其逆否命题为真命题. 7.M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若 M∩N=N,则实数 a 的值为( A.1 C.-1 或 1 答案:D 解析:由于 M∩N=N,所以 N? M, 而 M={a},N={x|ax-1=0}, 当 a=0 时,N=?,符合题意;
7
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.-1 D.0 或 1 或-1

?1? 当 a≠0 时,N=? ?, ?a?

1 依题意有 a= ,所以得 a=±1.

a

综上,实数 a 的值为 0 或 1 或-1. 8.已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的负实数根.命题 q:方程 4x +4(m -2)x+1=0 无实数根, 若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题, 则 m 的取值范围是( A.{m|m≥3} C.{m|1<m≤3} 答案:D
?Δ 1=m -4>0, ? 解析:由 p,得? ?-m<0, ?
2 2 2 2

)

B.{m|1<m≤2} D.{m|m≥3 或 1<m≤2}

则 m>2.
2

由 q,得 Δ 2=16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0, 则 1<m<3. 因为“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,所以 p 与 q 一真一假. ①当 p 真 q 假时,?
?m>2, ? ?m≤1或m≥3, ?

解得 m≥3;

? ?m≤2, ②当 p 假 q 真时,? ?1<m<3, ?

解得 1<m≤2.

所以 m 的取值范围为{m|m≥3 或 1<m≤2}. 9.给出以下三个命题: ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0; ②在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B; ③在一元二次方程 ax +bx+c=0 中,若 b -4ac<0,则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( A.① C.③ 答案:B 解析:①的否命题是:若 ab>0,则 a>0 且 b>0,为假命题,也有可能是 a<0 且 b<0,对 ②,由正弦定理,得 sin A=sin B?a=b?A=B,正确.对③,原命题错误,若 b -4ac<0, 则方程无实数根,所以,只有②的四种命题都是真命题. 10.(2015?山西质检)给定下列三个命题:
2 2 2

)

B.② D.②③

p1:函数 y=ax+x(a>0,且 a≠1)在 R 上为增函数; p2:? a,b∈R,a2-ab+b2<0;

8

p3:cos α =cos β 成立的一个充分不必要条件是 α =2kπ +β (k∈Z).
则下列命题中的真命题为( A.p1∨p2 C.p1∨綈 p3 答案:D
x

) B.p2∧p3 D.綈 p2∧p3

解析:对于 p1,令 f(x)=a +x(a>0,且 a≠1), 1 ?1?0 当 a= 时,f(0)=? ? +0=1, 2 ?2?

f(-1)=? ?-1-1=1,所以 p1 为假命题; 2

?1? ? ?

? 1 ?2 3 2 2 2 对于 p2,因为 a -ab+b =?a- b? + b ≥0,所以 p2 为假命题; ? 2 ? 4
对于 p3,因为 cos α =cos β ?α =2kπ ±β (k∈Z),所以 p3 是真命题. 所以綈 p2∧p3 为真命题,故选 D. 11.已知集合 P={0,m},Q={x|2x -5x<0,x∈Z},若 P∩Q≠?,则 m 等于( A.1 5 C.1 或 2 答案:D 解析:由于 Q={x|2x -5x<0,x∈Z}
? ? 5 ? =?x?0<x< ,x∈Z 2 ? ? ? ? ? ?={1,2}, ? ?
2 2

)

B.2 D.1 或 2

而 P={0,m}且 P∩Q≠?,故 m=1 或 2.故选 D. 12.已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合 A?B={(x,y)|x∈A,y∈B}, 则集合 A?B 中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素个数是( A.3 C.8 答案:B 解析:由给出的定义得 A?B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6), (2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}.其中 log22=1,log24 =2,log28=3,log44=1,因此一共有 4 个元素,故选 B. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.(2015?西安模拟)设 A 是自然数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k ?A,则 k?
2

)

B.4 D.9

A,那么 k 是 A 的一个“酷元”,给定 S={x∈N|y=lg(36-x2)},设 M? S,且集合 M 中的两
个元素都是“酷元”,那么这样的集合 M 的个数为________.

9

答案:5 解析:由题意知,S 为函数 y=lg(36-x )的定义域内的自然数集,由 36-x >0,解得- 6<x<6,又因为 x∈N,所以 S={0,1,2,3,4,5}. 依题意可知,若 k 是集合 M 的“酷元”是指 k 与 k都不属于集合 M. 显然当 k=0 时,k = k=0;当 k=1 时,k = k=1. 所以 0,1 都不是“酷元”. 若 k=2 时,则 k =4;若 k=4,则 k=2. 所以 2 与 4 不能同时在集合 M 中,才能称为“酷元”. 显然 3 与 5 都是集合 S 中的“酷元”. 综上,若集合 M 中所含两个元素都是“酷元”,则这两个元素的选择可分为两类: ①只选 3 与 5,即 M={3,5}; ②从 3 与 5 中任选一个,从 2 与 4 中任选一个,即 M={3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}. 所以满足条件的集合 M 共有 5 个. 14.对 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x +mx+1>0,如果对? x∈R,r(x)为假命题,
2 2 2 2 2 2 2

s(x)为真命题,则 m 的取值范围是________.
答案:[- 2,2) 解析:若 r(x)为真命题,即对? x∈R,sin x+cos x>m 为真命题,

? π? ? π? 则 m<(sin x+cos x)min,又因为 sin x+cos x= 2sin?x+ ?,且- 2≤ 2sin?x+ ? 4 4? ? ? ?
≤ 2, 所以 m<- 2, 因为 r(x)为假命题,则 m≥- 2, 若 s(x)为真命题,即对? x∈R,x +mx+1>0, 所以 Δ =m -4<0,所以-2<m<2, 又因为 r(x)为假命题,s(x)为真命题,
2 2

?m≥- 2, 所以? ?-2<m<2,

所以- 2≤m<2.

15.给出下列四个命题: ①命题“若 α =β ,则 cos α =cos β ”的逆否命题; ②“? x0∈R,使得 x0-x0>0”的否定是:“? x∈R,均有 x -x<0”; ③命题“x =4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}? {a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是________.
2 2 2

10

答案:①④ 解析:对①,因命题“若 α =β ,则 cos α =cos β ”为真命题,所以其逆否命题亦为 真命题,①为真命题; 对②,命题“? x0∈R,使得 x0-x0>0”的否定应是: “? x∈R,均有 x -x≤0”,故②为假命题; 对③,由 x =4 得 x=±2, 所以“x =4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③为假命题; 对④,p,q 均为真命题,由真值表判定 p 且 q 为真命题,故④为真命题. 16.(2015?日照模拟)已知有限集 A={a1,a2,a3,?,an}(n≥2,n∈N).如果 A 中元 素 ai(i=1,2,3, ?, n)满足 a1a2?an=a1+a2+?+an,就称 A 为“复活集”, 给出下列结论:
?-1+ 5 -1- 5? ? ? ?是“复活集”; ①集合? , 2 2 ? ? ? ?
2 2 2 2

②若 a1,a2∈R,且{a1,a2}是“复活集”,则 a1a2>4; ③若 a1,a2∈N ,则{a1,a2}不可能是“复活集”; ④若 ai∈N ,则“复活集”A 有且只有一个,且 n=3. 其中正确的结论是________. 答案:①③④ 解析:易判断①是正确的; ②不妨设 a1+a2=a1a2=t,则由根与系数的关系知 a1,a2 是一元二次方程 x -tx+t=0 的两个根,由 Δ >0,可得 t<0 或 t>4,故②错; ③不妨设 A 中 a1<a2<a3<?<an,由 a1a2?an=a1+a2+?+an<nan,得 a1a2?an-1<n, 当 n=2 时,即有 a1<2,所以 a1=1, 于是 1+a2=a2,a2 无解,即不存在满足条件的“复活集”,故③正确; 当 n=3 时,a1a2<3,故只有 a1=1,a2=2,求得 a3=3,于是“复活集”A 只有一个,为 {1,2,3}. 当 n≥4 时, 由 a1a2?an-1≥1?2?3???(n-1), 即有 n>(n-1)! , 也就是说“复活集”A 存在的必要条件是 n>(n-1)! ,事实上,(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n -3n+2=(n-2) -2 +n>2,矛盾,所以当 n≥4 时不存在复活集 A,故④正确.
2 2 2 * *

11


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