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2016届浙江省稽阳联谊学校高三4月联考数学(文)试题


文科数学
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} , B ? {x | ?3 ? x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. (??, ?2) B. (?2, 0) C. (0,1) D. (1, ??) ) )

2.“ k ? 1 ”是“直线 l1 : kx ? y ? 2 ? 0 与直线 l2 : x ? ky ? k ? 0 平行”的( A.充分不必要条件
| x|

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
2

3.已知函数 f ( x) ? e ? x (其中常数 e ? 2.71828? ) ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 ( A. ( ,1) )

1 3

B. (??, ? ) ? (1, ??)

1 3

C. (? ,1)

1 3

D. (??, ? ) ? ( , ??) )

1 3

1 3

4.某四棱锥的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积是( A. 18cm3 B. 6cm3 C.

9 3 cm 2

D.

27 3 cm 2

5.设 a, b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,且 a ? ? ,下列说法正确的是( A.若 a ? b, ? / / ? ,则 b ? ? C.若 a ? b, ? ? ? ,则 b / / ? B.若 b ? ? , a ? b ,则 ? ? ? D.若 b ? ? , ? / / ? ,则 a ? b



6.已知数列 {an },{bn } ,其中 {an } 是首项为 3,公差为整数的等差数列,且 a3 ? a1 ? 3 , a4 ? a2 ? 5 ,

an ? log 2 bn ,则 {bn } 的前 n 项和 S n 为(
A. 8(2 ? 1)
n

) D.

B. 4(3 ? 1)
n

C. (4n ? 1)

8 3

4 n (3 ? 1) 3

7.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知点 P 为平面 AA1 D1 D 中的一个动点,且点 P 满足:直线 PC1 与平
1页

面 AA1 D1 D 所成的角的大小等于平面 PBC 与平面 AA1 D1 D 所成锐二面角的大小,则点 P 的轨迹为 ( A.直线 ) B.椭圆 C.圆 D.抛物线

8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x) 在 [0, ??) 上为增函数,如果

f ( x 2 ? ax ? a ) ? f (?at 2 ? t ? 1) 对任意 x ? [1, 2] ,任意 t ? [1, 2] 恒成立,则实数 a 的最大值是(
A.-1 B. ?



1 3

C. ?

2 4

D.-3

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分)
9.已知 a, b ? R ,若 8a ? 22?3b ,则 a ? b ? 10.已知 sin ? ? 2 cos ? ,则 tan 2? ? ;3
log a 2 ? logb 3

?
.

.

, cos 2? ?

? x ? 1, x ? 0 1 1 ? 11.已知 f ( x) ? ? ,若 f [ f ( ? )] ? ,则 a ? 4 2 2 x ? ? a, x ? 0 ? x ?
的取值范围是 .

,若 f ( x) 的值域为 R ,则实数 a

12.若 x ? 0, y ? 0 , 且 x ? 2 y ? 1, 那么

1 1 ? 的最小值是 x y

,2 x ? 3 y 的取值范围是
2

.

?x ? y ? 0 ? 13.在不等式组 ? x ? y ? 0 确定的平面区域中,若 z ? x ? 2 y 的最大值为 9,则 a 的值为 ?y ? a ?
14.已知单位向量 a, b 夹角为锐角,对 t ? R , | a ? t ? b | 的取值范围是 [

.

? ?

?

?

? 3 , ??) ,若向量 c 满足 2

? ? ? ? ? (c ? 2a) ? (c ? b) ? 0 ,则 | c | 的最小值为
15.设 F1 , F2 为椭圆

.

x2 y 2 x2 y 2 l ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 过右焦点的直线 与椭圆 a 2 b2 a 2 b2

交于 A, B 两点,与 y 轴交于 M 点,且满足 AF2 ? 3F2 B , MA ? AF2 ,则椭圆的离心率为

???? ?

???? ?

????

???? ?

.

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16. (本小题满分 14 分) 已知在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,函数 f ( x) ? cos(
2页

?
2

? x) cos x ? 3 sin 2 x .

(1)求 f ( x) 的最小正周期和最大值,并求出取得最大值时 x 的取值集合; (2)若 f ( A) ? 3(0 ? A ? 17. (本小题满分 15 分) 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a3 ? 1 且 a4 , a3 ? a5 , a6 为等差数列 {bn } 的前三项. (1)求 S n 与数列 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {

?
2

) ,三角形的面积 S ? 6 3 ,且 b ? c ? 1 ,求 a 的值.

1 } 的前 n 项和 Tn ,试问是否存在正整数 m ,对任意的 n ? N * 使得 Tn ? bn ? 1 ?若存在 bnbn ?1

请求出 m 的最大值,若不存在请说明理由. 18. (本小题满分 15 分) 如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥, ?ABD 为正三角形, CB ? CD ? 1 , EC ? BD , ?BCD ? 1200 ,

EA ? 2 , M 是 EC 上的点,且 EM ? 3MC .
(1)求证: BD ? 平面 AEC ; (2)求 BM 与平面 AEC 所成角的正切值.

19. (本小题满分 15 分) 如图,过顶点在原点 O ,对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的定点 A(2,1) 作斜率分别为 k1 , k2 的直线,分别交抛 物线 E 于 B, C 两点. (1)求抛物线 E 的标准方程和准线方程; (2)若 k1 ? k2 ? k1k2 ,且 ?ABC 的面积为 8 5 ,求直线 BC 的方程.

3页

20. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a, b, c ? R ) . (1)若 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,且 f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值为 (2)若 c ? 1 , 0 ? a ? 1 ,且 |

9 ,最小值为-2,试求 a, b 的值; 8

f ( x) |? 2 对任意 x ? [1, 2] 恒成立,求 b 的取值范围.(用 a 来表示) x

参考答案 BAABD CDA
4页

9.

2 ;2 3 3

10.

4 3 ? ;? 3 5
15.

11.

a ? 8; a ? 3

12. 3 ? 2 2;( , 2)

3 4

13.3

14.

7? 3 2

6 3

16.解: (1)由已知得: f ( x) ? cos(

?
2

? x) cos x ? 3 sin 2 x

1 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

? 3 ? sin(2 x ? ) ? 3 2

(2)由已知,因为 sin(2 A ? 由S ?

?
3

)?

3 ? ? ,又 0 ? A ? ,解得 A ? . 2 2 3

1 bc sin A ? 6 3 ,得 bc ? 24 ,结合 b ? c ? 1 及余弦定理知: 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c ) 2 ? bc ? 1 ? 24 ? 25 ,

a?5
17.解: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 a3 ? 1 且 a4 , a3 ? a5 , a6 为等差数列 {bn } (n ? N ) 三项,
*

则 2(a3 ? a5 ) ? a4 ? a6 ,得 2(1 ? q ) ? q ? q ? q (1 ? q ) ,得 q ? 2 .
2 3 2

1 (1 ? 2n ) 1 1 1 n ?3 从而 S n ? ? ? ? ? 2 ? 4 ? 2n ? 2 ? 4 2 1? 2 4
所以 {bn } 的前三项为 b1 ? 2, b2 ? 5, b3 ? 8 ,故等差数列的通项公式为 bn ? 3n ? 1 . (2)由(1)知,

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn ?1 (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2

所以数列 {

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] ? ( ? ). } 的前 n 项和 Tn ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 3 2 3n ? 2 bnbn ?1 1 1 1 ? Tn ? ,故由 Tnbn ? 1 知只要存在正整数 m 使 bm ? , 10 6 Tn
5页

从而得对于 ?n ? Z ,

即只要 3m ? 1 ? 6 ,解得 m ?

7 . 3

因为 m 为正整数,所以 m 的最大值为 2. 18.(1)取 BD 中点 O ,连接 AO, CO ,则由 ?ABD 为正三角形得 AO ? BD , 由 CB ? CD 得 CO ? BD ,从而 A, O, C 三点共线, AC ? BD . 又 EC ? BD , EC ? AC ? C ,所以 BD ? 平面 AEC . (2)连接 MO ,由(1)得 BD ? 平面 AEC ,从而 ?BMO 即 BM 与平面 AEC 所成的角. ∵ CB ? CD ? 1 , ?BCD ? 120? ,∴ CO ? ∴

3 1 3 , BO ? , AO ? . 2 2 2

AO EM 1 1 ? ? 3 ,从而 OM / / AE ,∴ OM ? AE ? . CO CM 4 2 3 BO ? 2 ? 3. ∴ tan ?BMO ? 1 MO 2

19.(1)抛物线 E 的方程为 x ? 2 py ,把点 A 的坐标 (2,1) 代入 x ? 2 py 得 p ? 2 ,
2 2

∴抛物线 E 的方程为 x ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 .
2

(2)∵ B, C 两点在抛物线 E 上,∴直线 BC 的斜率存在,设直线 BC 的方程为 y ? kx ? m ,

B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 )

6页

由?

? y ? kx ? m ?x ? 4 y
2

? x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4m ,

? ? 16k 2 ? 16m ? 0 ,∴ k 2 ? m ? 0

1 2 x ?1 2 x12 x2 y1 ? 1 4 1 x ?2 x ?2 ,同理, k2 ? 2 . y1 ? , y2 ? ,∴ k1 ? ? ? 1 x1 ? 2 x1 ? 2 4 4 4 4
由 k1 ? k2 ? k1k2 ,得

x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ? 4 4 16

∴ 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 12 ? 0 ,∴ 8k ? 4m ? 12 ? 0 ,∴ 2k ? m ? 3 ? 0 ,∴ m ? ?2k ? 3 , 由 ? ? 0 得 k ? 3 或 k ? ?1 . 又 | BC |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? 4 k 2 ? m ,点 A(2,1) 到直线 BC 的距离 d ?

| 2k ? 1 ? m | k 2 ?1

.

S ?ABC ?

1 | BC | d ? 2 k 2 ? m | 2k ? 1 ? m |? 8 5 , 2

又 m ? ?2k ? 3 ,∴ k 2 ? 2k ? 8 ? 0 ,解得 k ? 4 或 k ? ?2 ,都满足 ? ? 0 . 当 k ? 4 时, m ? ?2 ? 4 ? 3 ? ?11 ,则直线 BC 的方程为: y ? 4 x ? 11 ; 当 k ? ?2 时, m ? (?2) ? (?2) ? 3 ? 1 ,则直线 BC 的方程为: y ? ?2 x ? 1 . 20.(1)抛物线的对称轴为 x ? ? ①当 ?

b , 2a

b ? 2 时,即 b ? ?4a 时, 2a

b b2 b2 ?b 2 9 b 当x?? 时, f ( x) max ? f ( ? ) ? a? 2 ? ?c ? ?c ? , 2a 4a 2a 4a 8 2a

f ( x) min ? f (2) ? 4a ? 2b ? c ? ?2 ,
? b2 9 ?? ? c ? ∴ ? 4a 8, ?4a ? 2b ? ?2 ?
∴ a ? ?2, b ? 3 . ②当 ?

b ? 2 时,即 b ? ?4a 时, 2a

f ( x) 在 [0, 2] 上为增函数, f ( x) min ? f (0) ? 0 与 f ( x) min ? ?2 矛盾,无解,
综合得: a ? ?2, b ? 3 .
7页

f ( x) 1 |? 2 对任意 x ? [1, 2] 恒成立,即 | ax ? ? b |? 2 对任意 x ? [1, 2] 恒成立, x x 1 即 ?2 ? ax ? ? b ? 2 对任意 x ? [1, 2] 恒成立, x
(2) | 令 g ( x) ? ax ?

?[ g ( x)]max ? 2 1 , ? b ,则 ? x ?[ g ( x)]min ? ?2
1 ? 1, a

∵ 0 ? a ? 1 ,∴

(ⅰ)

?[ g ( x)]max ? g (1) ? 2 1 1 , ? 2 ,即 0 ? a ? 时, g ( x) 在 [1, 2] 单调递减,此时 ? 4 a ?[ g ( x)]min ? g (2) ? ?2

?a ? 1 ? b ? 2 ?b ? 1 ? a 5 7 5 ? ? 即? ,得 ? 1 5 ,此时 (?2a ? ) ? (1 ? a) ? ? a ? ? 0 ,∴ (?2a ? ) ? (1 ? a) 2 2 2 2a ? ? b ? ?2 b ? ?2a ? ? ? ? 2 ? 2
∴ ?2a ?

5 ? b ? 1? a . 2

(ⅱ) 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ,即 ? a ? 1 时, g ( x) 在 [1, ] 单调递减,在 [ , 2] 单调递增, 4 a a a 1 ) ? ?2 ? 2 a ? b ? ?2 ? b ? ?2 ? 2 a , a

此时, [ g ( x)]min ? g (

? g (1) ? a ? 1 ? b ? 2 ?b ? 1 ? a ? ? 1 3 3 1 ? ? 只要 ? g (2) ? 2a ? ? b ? 2 ? ?b ? ? 2a , (1 ? a ) ? ( ? 2a ) ? a ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ?b ? ?2 a ? 2 ?b ? ?2 a ? 2 1 3 3 当 ? a ? 1 时, 1 ? a ? ? 2a , ?2 a ? 2 ? b ? ? 2a 2 2 2 1 1 3 当 ? a ? 时, 1 ? a ? ? 2a , ?2 a ? 2 ? b ? 1 ? a . 4 2 2 1 5 综上得:① 0 ? a ? 时, ?2a ? ? b ? 1 ? a ; 4 2 1 1 ② ? a ? 时, ?2 a ? 2 ? b ? 1 ? a ; 4 2 1 3 ③ ? a ? 1 时, ?2 a ? 2 ? b ? ? 2a . 2 2

8页



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