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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(53)


加试模拟训练题(53) (附详细答案) 1.在△ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取点 P,Q,S.证明以△APS,△BQP, A △CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. O1 P .. .. S K C B O2 Q O3 2.设 a、b、c、d 是满足 ab+bc+cd+da=1 的非负数.试证: 3. 在大小为 n×n 的正方形表格中写上实数, 并且任意一行与任意一列中各数之和等于 0. 对 这个表格施行如下运算:任何一行加到一列上去,并从另一列中减去;列的第 i 个元素加上 或减去行的第 i 个元素.试证:进行若干次这样的运算,可以得到全由 0 组成的表格. ap ?bp 4. 若 a ? b ? 1, (a, b) ? 1, p为奇素数, 证明(a ? b, ) ? 1, 或者p 。 a?b 加试模拟训练题(53) 1.在△ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取点 P,Q,S.证明以△APS,△BQP, A △CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. O1 (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) .. . . P 分析:设 O1,O2,O3 是△APS,△BQP, S △CSQ 的外心,作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外 O2 O3 心性质可知 B Q ∠PO1S=2∠A, ∠QO2P=2∠B, ∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+ ∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2QO3 绕着 O3 点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可 得△O1O2O3≌△O1KO3. 1 ∴∠O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K 2 1 = (∠O2O1S+∠SO1K) 2 1 = (∠O2O1S+∠PO1O2) 2 1 = ∠PO1S=∠A; 2 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 2.设 a、b、c、d 是满足 ab+bc+cd+da=1 K C 的非负数.试证: 【题说】第三十一届(1990 年)IMO 预选题 88.本题由泰国提供. 【证】设 则由柯西不等式 熟知 所以 3. 在大小为 n×n 的正方形表格中写上实数, 并且任意一行与任意一列中各数之和等于 0. 对 这个表格施行如下运算:任何一行加到一列上去,并从另一列中减去;列的第 i 个元素加上 或减去行的第 i 个元素.试证:进行若干次这样的运算,可以得到全由 0 组成的表格. 【题说】第二十二届(1988 年)全苏数学奥林匹克九年级题 8. 【证】以 Cij,k 表示将第 i 行加到第 j 列上去,并从第 k 列减去第 i 行. 依次施行下列运算: C1n,1,C2n,2,…,Cn-1n,n-1 得出一个表格,对角线上的所有元素(位于第 n 行、第 n 列的元素除外)都等于 0. 考虑运算序列 Cij,i,Cii,j,Cji,j,Cin,i,Cij,n 不难验证,应用这些运算得到的新表格,位于第 i 行、第 j 列的数等于 0,而不在最后一行 或最后一列的数都不变.对 i=1,2,…,n-1 和 i=1,2,…,n-1,依次应用上述运算 序列,得到一个表格,其中不为 0 的数只能位于最后一行或最后一列.因为任意一行和任意 一列上各数之和都等于 0(应用上述运算时,这个性质保持不变),所以最后一行和最后一列 上的数也是 0. ap ?bp 4. 若 a ? b ? 1, (a, b) ? 1, p为奇素数, 证明(

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