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【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:2-3 函数的单调性和最值]


课时作业(六)
1.(2012· 广东)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) 1 C.y=(2)x 答案 解析 A ∵函数 y=ln(x+2)的定义域为(-2,+∞),y′= 1 在(-2,+∞) x+2 B.y=- x+1 1 D.y=x+ x )

上大于 0 恒成立,(0,+∞)?(-2,+∞). 2.函数 y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数,则 b 的取值范围是( A.b≥0 C.b>0 答案 A ) B.b≤0 D.b<0 )

3.若函数 f(x)是 R 上的增函数,对实数 a,b,若 a+b>0,则有( A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b) 答案 解析 A ∵a+b>0,∴a>-b,b>-a.

∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),∴选 A. 4.函数 f(x)=1- 1 ( x-1 )

A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(1,+∞)上单调递增 C.在(-1,+∞)上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减

答案 解析 所示.

B 1 f(x)可由- x沿 x 轴向右平移一个单位,再向上平移一个单位得,如图

1 5.设函数 f(x)=2x+x -1(x<0),则 f(x)( A.有最大值 C.是增函数 答案 解析 A B.有最小值 D.是减函数

)

1 1 当 x<0 时, -x>0, -(2x+x )=(-2x)+(- x)≥2

1 ?-2x?· ?- x ?=2 2,

1 1 即 2x+x ≤-2 2,2x+ x -1≤-2 2-1,即 f(x)≤-2 2-1,当且仅当-2x= 1 2 -x,即 x=- 2 时取等号,此时函数 f(x)有最大值,选 A. 1 6. 已知 f(x)为 R 上的减函数, 则满足 f(|x |)<f(1)的实数 x 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) 答案 解析 C 1 由已知得|x|>1?-1<x<0 或 0<x<1,故选 C. B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

7.设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2 -a)x3 在 R 上是增函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A )

解析

若函数 f(x)=ax 在 R 上为减函数,则有 0<a<1.若函数 g(x)=(2-a)x3

在 R 上为增函数,则有 2-a>0,即 a<2,所以“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数” 是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的充分不必要条件,选 A. f?x? 8. 已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(0, +∞)上有最小值, 则函数 g(x)= x 在区间(0,+∞)上一定( A.有最小值 C.是减函数 答案 解析 ∴a>0. f?x? a ∴g(x)= x =x+x -2a 在(0, a)上单调递减,在( a,+∞)上单调递增. ∴g(x)在(0,+∞)上一定有最小值. ax ?x>1?, ? ? 9. 已知 f(x)=? 是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取 a ?4-2?x+2 ?x≤1? ? ? 值范围为( ) B.[4,8) D.(1,8) A ∵f(x)=x2-2ax+a 在(0,+∞)上有最小值, ) B.有最大值 D.是增函数

A.(1,+∞) C.(4,8) 答案 B

1 1 10.给定函数①y=x2,②y=log2(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区 间(0,1)上单调递减的函数的序号是________. 答案 ②③

11.若奇函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,则不等式 f(lgx)+f(1)>0 的解集是 ________. 答案 解析 1 (0,10) 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),又因为 f(x)在(-∞,0]上单

调递减,所以 f(x)在[0,+∞)上也为单调递减函数,所以函数 f(x)在 R 上为单调 递减函数.

1 不等式 f(lgx)+f(1)>0 可化为 f(lgx)>-f(1)=f(-1), 所以 lgx<-1, 解得 0<x<10. 12.函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的单调递增区间是________. 答案 [1,+∞)

解析

函数图像如图.

13.在给出的下列 4 个条件中, ?0<a<1, ①? ?x∈?-∞,0? ?a>1, ③? ?x∈?-∞,0? ?0<a<1, ②? ?x∈?0,+∞? ?a>1, ④? ?x∈?0,+∞?

1 能使函数 y=logax2为单调递减函数的是________. (把你认为正确的条件编号都填上). 答案 解析 ①④ 利用复合函数的性质,①④正确.

1 14. 若函数 f(x)=loga(x2-ax+2)有最小值, 则实数 a 的取值范围是________. 答案 解析 ?1<a< 2. ?2,x≥0, 15.已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(3-x2)<f(2x)的 x 的取 ?-x+2,x<0, 值范围为________. 答案 解析 (-3,0) 作出 f(x)图像如图. (1, 2) 2-a2 ?a>1, 1 当 a>1 且 x -ax+2有最小值时, f(x)才有最小值 loga 4 , ∴? ?Δ<0
2

∵f(3-x2)<f(2x),
2 ?3-x >2x, ∴? ?2x<0.

解得-3<x<0. 16.函数 f(x)= 答案 解析 1 2 当 x=0 时,y=0. 1 x+ ∵ x+ 1, x x 的最大值为________. x+1

当 x≠0 时,f(x)=

1 1 1 1 ≥2, 当且仅当 x= , 即 x=1 时成立, 故 0<f(x)≤2, ∴0≤f(x)≤2. x x x (x≠a). x-a

17.已知 f(x)=

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 答案 解析 (1)略 (1)证明 (2)0<a≤1 任设 x1<x2<-2, 2?x1-x2? x1 x2 - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

则 f(x1)-f(x2)=

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则 a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

f(x1)-f(x2)=

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1.


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