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2008年全国高中数学联合竞赛一试


2008 年全国高中数学联合竞赛一试 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) ? A.0

5 ? 4x ? x2 在 (?? , 2) 上的最小值是 2?x
B.1 C.2
2

( C ) D.3

[解] 当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f (

x) ?

1 ? (4 ? 4 x ? x ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2?x

? 2 ,当且仅当 1 ? 2 ? x 时上式取等号.而此方程有解 x ? 1? (??, 2) ,因此 f ( x) 在 (??, 2) 上的最小值为 2.
2?x
2.设 A ? [ ?2, 4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. [ ?1, 2) B. [ ?1, 2] C. [0,3] D. [0,3) , x2 ? ( D )

[解] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根

x1 ?

a a2 ? 4? 2 4

a a2 ? 4? , 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即

a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ? 4 ,解之得 0 ? a ? 3 . 2 4 2 4

3. 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得 1 分, 负者得 0 分, 比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止. 设 甲在每局中获胜的概率为 望 E? 为 A.

2 1 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期 3 3
( B ) C.

241 81

B.

266 81

274 81

D.

670 243

[解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? . 3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影 响.从而有

4 5 20 5 , P(? ? 4) ? ( )( ) ? P (? ? 2) ? , 9 9 81 9 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? . ? 6? ? 9 81 81 81
[解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.

4 16 P (? ? 6) ? ( )2 ? , 9 81

令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得

5 , 9 P (? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P ( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P ( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81 P (? ? 6) ? P ( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P ( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 16 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? . ? 4( )2 ( )2 ? , ? 6? ? 3 3 81 9 81 81 81 P (? ? 2) ? P ( A1 A2 ) ? P ( A1 A2 ) ?
4 . 若 三 个 棱 长 均 为 整 数 ( 单 位 : cm ) 的 正 方 体 的 表 面 积 之 和 为 564 cm2 , 则 这 三 个 正 方 体 的 体 积 之 和 为 ( A ) A. 764 cm3 或 586 cm3 B. 764 cm3 3 3 C. 586 cm 或 564 cm D. 586 cm3 [ 解 ] 设 这 三 个 正 方 体 的 棱 长 分 别 为 a, b, c , 则 有 6 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 564 , a 2 ? b 2 ? c 2 ? 94 , 不 妨 设

?

?

1 ? a ? b ? c ? 10 ,从而 3c ? a ? b ? c ? 94 , c ? 31 .故 6 ? c ? 10 . c 只能取 9,8,7,6. 若 c ? 9 ,则 a 2 ? b 2 ? 94 ? 9 2 ? 13 ,易知 a ? 2 , b ? 3 ,得一组解 ( a, b, c) ? (2,3,9) .
若 c ? 8 ,则 a 2 ? b 2 ? 94 ? 64 ? 30 ,b ? 5 .但 2b
2

2

2

2

2

2

? 30 ,b ? 4 ,从而 b ? 4 或 5.若 b ? 5 ,则 a 2 ? 5 无

2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准( A 卷)第 1 页(共 6 页)

解,若 b ? 4 ,则 a
2

2

? 14 无解.此时无解.
2

? 3,b ? 6 . 2 b 2 ? 29 . 若c ? 6 , 则 a ? b ? 94 ? 36 ? 58 , 此时 2b ? a ? b ? 58 , 故b ? 6 , 但b ? c ? 6 , 故b ? 6 , 2 此时 a ? 58 ? 36 ? 22 无解. ?a ? 2, ?a ? 3, ? ? 综上,共有两组解 ?b ? 3, 或 ?b ? 6, ?c ? 9 ?c ? 7. ? ?
2 2

若 c ? 7 ,则 a ? b 2 ? 94 ? 49 ? 45 ,有唯一解 a

2

体积为 V1

? 23 ? 33 ? 93 ? 764 cm3 或 V2 ? 33 ? 63 ? 73 ? 586 cm3.
( B )

? x ? y ? z ? 0, 的有理数解 ( x, y , z ) 的个数为 5.方程组 ? ? xyz ? z ? 0, ? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

? x ? y ? 0, ? x ? 0, ? x ? ?1, 解得 ? 或? [解] 若 z ? 0 ,则 ? ? xy ? y ? 0. ? y ? 0 ? y ? 1. ① 若 z ? 0 ,则由 xyz ? z ? 0 得 xy ? ?1 . 由 x ? y ? z ? 0 得 z ? ?x ? y . ② 2 2 将②代入 xy ? yz ? xz ? y ? 0 得 x ? y ? xy ? y ? 0 . ③ 1 由①得 x ? ? ,代入③化简得 ( y ? 1)( y 3 ? y ? 1) ? 0 . y 易知 y 3 ? y ? 1 ? 0 无有理数根,故 y ? 1 ,由①得 x ? ?1 ,由②得 z ? 0 ,与 z ? 0 矛盾,故该方程组共有两组

? 有理数解 ? ? y ? 0, 或 ? y ? 1,
?z?0 ?

? x ? 0,

? x ? ?1, ? z ? 0. ?

6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则

sin A cot C ? cos A 的取值范围是( C ) sin B cot C ? cos B

A. (0, ?? ) C. (

B. (0,

5 ?1 5 ? 1 , ) 2 2 [解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq 2 ,而 sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C sin( A ? C ) sin(? ? B ) sin B b ? ? ? ? ?q. sin( B ? C ) sin(? ? A) sin A a 因此,只需求 q 的取值范围.
因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且只需 a ? b

5 ?1 ) 2 5 ?1 D. ( , ??) 2

?c且

b ? c ? a .即有不等式组

?1 ? ? ? ? 2 ?a ? aq ? aq , ? ?q ? q ? 1 ? 0, 即 解得 ? ? ? 2 2 ? ?aq ? aq ? a ? ?q ? q ? 1 ? 0. ?q ? ? ? 5 ?1 5 ?1 ?q? 从而 ,因此所求的取值范围是 ( 2 2
2 2

5

?q?

5 ?1 , 2

5 ?1 5 ?1 或q ? ? . 2 2
5 ?1 5 ? 1 , ). 2 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准( A 卷)第 2 页(共 6 页)

7. 设 f ( x) ? ax ? b , 其中 a, b 为实数,f1 ( x) ? f ( x) ,f n?1 ( x ) ? f ( f n ( x )) , 若 f 7 ( x) ? 128 x ? 381 , n ? 1, 2,3,? , 则a ?b ? 5 . [解] 由题意知 f n ( x) ? a n x ? (a n ?1 ? a n ?2 ? ? ? a ? 1)b

an ?1 ?b , a ?1 a7 ? 1 由 f 7 ( x) ? 128 x ? 381 得 a 7 ? 128 , ? b ? 381 ,因此 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? 5 . a ?1 1 8.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2 a (1 ? cos x) 的最小值为 ? ,则 a ? . ?2 ? 3 2 [解] f ( x ) ? 2 cos 2 x ? 1 ? 2a ? 2a cos x a 1 ? 2(cos x ? )2 ? a 2 ? 2a ? 1 , 2 2 (1) a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ? 1 时取最小值1 ? 4 a ; (2) a ? ?2 时, f ( x) 当 cos x ? ?1 时取最小值 1; a 1 (3) ?2 ? a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ? 时取最小值 ? a 2 ? 2 a ? 1 . 2 2 1 又 a ? 2 或 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值不能为 ? , 2 1 2 1 故 ? a ? 2a ? 1 ? ? ,解得 a ? ?2 ? 3 , a ? ?2 ? 3 (舍去). 2 2 ? an x ?
9.将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 [解法一] 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如 222 种.

| ???? | ?? ? | ?? |
表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额. 若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于 24 ? 2 ? 26 个 位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”. “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“|”, 故有 C 2 种. 23 ? 253 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. [解法二] 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1 , x2 , x3 ,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

x1 ? x2 ? x3 ? 24 .
的正整数解的个数,即方程 x1 ? x2 ? x3 ? 21 的非负整数解的个数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合:
21 2 . H 21 3 ? C 23 ? C 23 ? 253

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. 10.设数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? an ? [解] an ?1 ? S n ?1 ? S n ?

n ?1 1 1 . , n ? 1, 2,? ,则通项 a n = ? n n(n ? 1) 2 n( n ? 1)

n n ?1 ? an ?1 ? ? an , (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) n?2?2 1 1 即 2 a n ?1 ? ? ? ? an ( n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n( n ? 1) ?2 1 = , ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) 1 1 由此得 2 (a n ?1 ? . ) ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) 1 1 1 令 bn ? an ? , b1 ? a1 ? ? ( a1 ? 0 ), 2 2 n(n ? 1)

有 bn?1 ?

1 1 1 1 . bn ,故 bn ? n ,所以 a n ? n ? 2 2 2 n(n ? 1)

答 12 图 1

2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准( A 卷)第 3 页(共 6 页)

11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2 x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2 x ,则 f ( 2008) =
[解法一] 由题设条件知

2 2008 ? 2007



f ( x ? 2) ? f ( x) ? ?( f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x )) ? ?3 ? 2 x ? 2 ? 3 ? 2 x ? 4 ? 63 ? 2 x ? 3 ? 2 x , 因此有 f ( x ? 2) ? f ( x ) ? 3 ? 2 x ,故 f (2008) ? f (2008) ? f (2006) ? f (2006) ? f (2004) ? ? ? f (2) ? f (0) ? f (0) ? 3 ? (22006 ? 2 2004 ? ? ? 2 2 ? 1) ? f (0)

41003?1 ? 1 ? f (0) 4 ?1 ? 2 2008 ? 2007 . [解法二] 令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 0 , g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 x ? 6 ? 2 x ? 63 ? 2 x ? 63 ? 2 x ? 0 , 即 g ( x ? 2) ? g ( x), g ( x ? 6) ? g ( x ) , 故 g ( x ) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) , 得 g ( x ) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) ? g (2008) ? 22008 ? g (0) ? 22008 ? 22008 ? 2007 . ? 3?
12. 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触 到的容器内壁的面积是

72 3



作平面 A 1 B1C1 //平面 ABC , 与小球相切于点 D , [解] 如答 12 图 1, 考虑小球挤在一个角时的情况, 记小球半径为 r , 则小球球心 O 为正四面体 P ? A 1 B1C1 的中心, PO ? 面A1B1C1 ,垂足 D 为 A 1 B1C1 的中心. 因 VP ? A B C ? 1 1 1

1 S?A B C ? PD 3 111 ? 4 ? VO ? A1 B1C1

1 ? 4 ? ? S ?A1B1C1 ? OD , 3 故 PD ? 4OD ? 4 r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4 r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P ,连接 OP ,则 1 1
2 2 PP (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 ? PO ? OP 1 ? 易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时的情况, 正三角形,记为 P ,如答 12 图 2 .记正四面体 EF 1 的棱长为 a ,过 P 作P 于M . 1 1 M ? PA



6 . P 1 E ? PA ? 2 PM ? a ? 2 6 r 小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴 3 2 2 S ?PAB ? S?P1EF ? (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4 又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以

?MPP 1 ?

?

, 有

PM ? PP 1 ? cos MPP 1 ? 2 2r ?

3 ? 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 2
影部分)

S ?PAB ? S ?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 .
由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的 面积共为

72 3 .
三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 答 12 图 2 13.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为 ? ,求证:

2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准( A 卷)第 4 页(共 6 页)

cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4? [ 证 ] f ( x) 的图象与直线 y ? kx (k ? 0) 的三 3? 个交点如答 13 图所示,且在 (? , ) 内相切,其 2 3? 切点为 A(? , ? sin ? ) , ? ? (? , ). 2
…5 分 由于 f ?( x) ? ? cos x , x ? (? ,

3 ? ) ,所以 2
…10 分

? cos ? ? ?
因此

sin ?

?

,即 ? ? tan ? .

答 13 图

cos ? cos ? ? sin ? ? sin 3? 2sin 2? cos ? 1 ? 4sin ? cos ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 4sin ? cos ? 1 ? tan 2 ? ? 4 tan ? 1? ? 2 . ? 4?
14.解不等式

…15 分

…20 分

log 2 ( x12 ? 3 x10 ? 5 x8 ? 3 x6 ? 1) ? 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) .
[解法一] 由1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ?? ) 上为增函数,故原不等式等价于 即 分组分解

x12 ? 3 x10 ? 5 x8 ? 3 x 6 ? 1 ? 2 x 4 ? 2 . x12 ? 3 x10 ? 5 x8 ? 3 x 6 ? 2 x 4 ? 1 ? 0 . x12 ? x10 ? x8 ?2 x10 ? 2 x8 ? 2 x 6 ?4 x 8 ? 4 x 6 ? 4 x 4 ? x6 ? x 4 ? x 2 ? x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

…5 分

( x8 ? 2 x 6 ? 4 x 4 ? x 2 ? 1)( x 4 ? x 2 ? 1) ? 0 ,
所以

…10 分

x ? x ?1 ? 0 ,

4

2

(x2 ?
所以 x 2 ?

?1 ? 5 2 ?1 ? 5 )( x ? )?0. 2 2

…15 分

?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ,即 x ? ? 或x ? . 2 2 2

5 ?1 5 ?1 …20 分 )?( , ?? ) . 2 2 [解法二] 由1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ?? ) 上为增函数,故原不等式等价于
故原不等式解集为 (??, ?

x12 ? 3 x10 ? 5 x8 ? 3 x 6 ? 1 ? 2 x 4 ? 2 .


…5 分

2 1 ? ? x 6 ? 3 x 4 ? 3 x 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1)3 ? 2( x 2 ? 1) , x2 x6 1 1 ( 2 ) 3 ? 2( 2 ) ? ( x 2 ? 1) 3 ? 2( x 2 ? 1) , x x

…10 分

2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准( A 卷)第 5 页(共 6 页)

令 g (t ) ? t 3 ? 2t ,则不等式为

g(

1 ) ? g ( x 2 ? 1) , x2
…15 分 ( x2 ? ?

显然 g (t ) ? t 3 ? 2t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于

1 ? x2 ? 1, 2 x 5 ?1 即 ( x 2 ) 2 ? x 2 ? 1 ? 0 ,解得 x 2 ? 2
故原不等式解集为 (??, ?

5 ?1 舍去), 2

5 ?1 5 ?1 …20 分 )?( , ?? ) . 2 2 点 B,C 在 y 轴上,圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面 15.如题 15 图,P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,
积的最小值. [解] 设 P ( x0 , y0 ), B(0, b), C (0, c ) ,不妨设 b ? c .

y0 ? b , x x0 化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,
直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

?1 ,

…5 分

2 2 2 故 ( y0 ? b) 2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2 x0b( y0 ? b) ? x0 b ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b 2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同 理 有

( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . ? 2 y0 , ? x0 ,则 所以 b ? c ? bc ? x0 ? 2 x0 ? 2

…10 分

题 15 图

(b ? c)2 ?

2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0 . ( x0 ? 2) 2

2 因 P ( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则

(b ? c ) 2 ?

2 4 x0 2 x0 . ,b ? c ? 2 ( x0 ? 2) x0 ? 2 1 x0 4 所以 S?PBC ? (b ? c) ? x0 ? ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ?4 2 x0 ? 2 x0 ? 2

…15 分

? 2 4 ?4 ?8. 当 ( x0 ? 2) 2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 .
因此 S ?PBC 的最小值为 8. …20 分

2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准( A 卷)第 6 页(共 6 页)


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