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1.4.2正弦函数,余弦函数的性质第二课时


复习回顾
? 1.上一节我们学了y=sinx和y=cosx的最小 正周期为2π ? 2.y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数。 ? 3.

y ? A sin(?x ? ? )(或y ? A cos(?x ? ? )),? ? 0
2?

? 的周期为 T ?

?

?y=sinx和y=cosx除了周期性和 奇偶性还有别的性质吗?

y=sinx和y=cosx的定义域和值域

? 由图易知y=sinx和y=cosx的定义域都 为R,值域都为 ? 1,1

?

?

? 上都是增函数,其值从-1增大到1; ? 在每一个闭区间

? 上都是减函数,其值从1减小到-1

? 上都是增函数,其值从-1增大到1; ? 在每一个闭区间

? 上都是减函数,其值从1减小到-1

解析式

y=sin x(k∈Z)

y=cos x(k∈Z)


最值



x ? ? ? 2k? , ymin ? ?1 2

当 ?



1.正弦曲线(余弦曲线)是轴对称 图形吗?

[小问题·大思维]

提示:是.有无数条对称轴,凡是过最 高或最低点且垂直于 x 轴的直线均为对称 π 轴,方程为 x=2+kπ(x=kπ),k∈Z.

2.正弦曲线(余弦曲线)是中心对

称图形吗?

提示:是.曲线与 x 轴的交点都是对称中

π 心,对称中心的坐标为(kπ,0)[(2+kπ,0)], k∈Z.

函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性

y=sinx R

k ?Z

y=cosx R

k ?Z

[-1,1]


[-1,1]


? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? 增 ? 2 ? 2 ?
3? ?? ? ? 2 k ? , ? 2 k ? ? ? 2 ?2 ?减



?2k? , ? ? 2k? ? 减

?? ? ? 2k? ,2k? ?增



最值

对称

? x ? ? ? 2k? , ymin ? ?1 2

?? ? ? k ? , 0 ? ? 对称中心 ? ? k ? , 0 对称中心 ? ?2 ? x ? ? k ? 对称轴 x ? k? 对称轴 2

例3 下列函数有最大值、最小值吗?如果 有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么 . (1)y=cosx+1,x∈R; (2)y=解 : (1) 使函数 y =cos x+ 1, x ∈ R 取得最 3sin2x,x∈R.

大值的x的集合,就是使函数 y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合 {x|x=2kπ,k∈Z} 取最小值时x的集合 {x|x=(2k+1)π,k∈Z}

(2)令z=2x,使函数y=-3sinz,z∈R取得最大 ? 值的z的集合是 ? ? ? z | z ? ? ? 2k? , k ? Z ? 2 ? ? 由

4 因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x ? 的集合 ? ? ? x | x ? ? ? k? , k ? Z ? 4 ? ? ? ? 取得最小值的x的集合 x | x ? ? k? , k ? Z ? ? ? 4 ? ?

2 x ? z ? ? ? 2k? 2 ? x?? ? k?

?

例4 利用三角函数的单调性,比较下列各 组数的大小: ? ? ? ? ? ? ?1? sin ? ? ? 与sin ? ? ? ; ? 18 ? ? 10 ? ? 23? ? ? 17? ? ? 2 ? cos ? ? ? 与cos ? ? ?. 5 ? 4 ? ? ? 分析:利用三角函数的单调性比较两个同 名三角函数值的大小,可以用诱导公式将 已知角化为同一单调区间内的角,然后再 比较大小.

解:(1)因为

?

?
2

??

?
10

??

?
18

?0

正弦函数y=sinx在区间 ? ? ? , 0 ? 上是增函数, ? ? 2 ? ? 所以

sin( ?

?

18

) ? sin( ?

?

10

)

且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以 ? 3?
4 5 ? 17? ? ? 23? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? 4 ? 5 ? ? ? cos ? cos

17? ? ? 17? ? cos ? ? ? cos ? ? cos 4 ? 4 ? 4 ? 3? ? ?? 因为 0 ? 4 5

(2) cos ? ? 23? ? ? cos 23? ? cos 3? ? ? 5 5 5 ? ?

例5 求函数 的单调递增区间 1 ? 令z ? x ? 函数y=sinz的单调递增区间是

?? ?1 y ? sin ? x ? ? , x ? ? ?2? , 2? ? 3? ?2

1 ? ? ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 25? 2 3 2 ? ?? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z

2 3 ? ? ? ? - +2k? , ? 2k? ? ? 2 ? 2 ?

?

? 5? ? ? ?只有k ? 0时满足,故所求增区间 为?, ? ? 3 3?

又? x ?[?2? ,2? ]

3

3

[悟一法]

求三角函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)或y =Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的单调区间时, 一定要注意函数中A与ω的符号. 一般来说,对于

y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0) ,如果 ω<0,可以利用正弦函数为奇函数将
负号拿到函数符号外面,对于 y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0),如果 ω<0,可以利用余弦函数为偶函数将 负号直接调整.


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