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2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第一讲 直 线 与 圆 理


专题六

解析几何

第一讲 直线与圆

1.两直线平行. (1)设直线 l1,l2 是两条不重合的直线,斜率都存在,分别为 k1,k2,则有 l1∥l2?k1 =k2. (2)设直线 l1,l2 是两条不重合的直线,斜率都不存在,则有 l1∥l2. 2.两直线垂直. (1)设直线 l1,l2 的斜率都存在,分别为 k1

,k2,则 l1⊥l2?k1k2=-1. (2)若直线 l1,l2 的斜率一个为 0,另一个斜率不存在,则 l1⊥l2.

1.两点间的距离公式. 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离为|P1P2|= (x2-x1) +(y2-y1) . 2.点到直线的距离公式. 点(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d= |Ax0+By0+C| . A2+B2 3.两条平行直线间的距离. |C2-C1| 平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 间的距离 d′= 2 . A +B2
2 2

1.直线与圆的位置关系及其判定. (1)几何法. 设圆心到直线 l 的距离为 d,圆的半径为 r,则 直线与圆相离?d>r;
1

直线与圆相切?d=r; 直线与圆相交?d<r. (2)代数法.
? ?Ax+By+C=0, ? 2 2 2消元后得一元二次方程的判别式Δ 的值,则 ?(x-a) +(y-b) =r ?

直线与圆相离?Δ <0; 直线与圆相切?Δ =0; 直线与圆相交?Δ >0. 2.圆与圆的位置关系. (1)几何法. 设两圆的圆心距为 d,半径分别为 r1,r2,则 两圆外离?d>r1+r2; 两圆外切?d=r1+r2; 两圆相交?|r1-r2|<d<r1+r2; 两圆内切?d=|r1-r2|(r1≠r2); 两圆内含?0≤d<|r1-r2|(r1≠r2). (2)代数法.
? ?(x-a1) +(y-b1) =r1, ? 则 2 2 2 ?(x-a2) +(y-b2) =r2, ?
2 2 2

两圆外离或内含?方程组无解; 两圆外切或内切?方程组有一组实数解; 两圆相交?方程组有两组不同的实数解. 3 . 设 空 间 两 点 A(x1 , y1 , z1) , B(x2 , y2 , z2) , 则 A , B 两 点 间 距 离 为 d = (x2-x1) +(y2-y1) +(z2-z1) .
2 2 2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(×) (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.(×)
2

(4)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示.(×) (5)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1) =(x-x1)(y2-y1)表示.(√) (6)方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 A=C≠0,B=0,D +E - 4AF>0.(√)
2 2 2 2

1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 3x+2y=0 垂直,则 l 的方程是(D) A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0

2 2 解析:由题可得 l 斜率为 ,∴l:y-2= (x+1),即 2x-3y+8=0 .故选 D. 3 3 2.(2015·山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y-2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为(D) 5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4
2 2

解析:由已知,得点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线 的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为 k,则反射光线所 在直线的方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有 d= |-3k-2-2k-3| 4 3 =1,解得 k=- 或 k=- ,故选 D. 2 3 4 k +1 3.圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为(B) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
2 2 2 2

4. (2015·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m -1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为(x-1) +y =2. 解析:直线 mx-y-2m-1=0 经过定点(2,-1). 当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径最大,此时半径 r 满足 r =(1-2) +(0+ 1) =2.
3
2 2 2 2 2

一、选择题 1.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于(D) A.2 B.1 C.0 D.-1 解析:解法一 将选项分别代入题干中观察,易求出 D 符合要求.故选 D. 解法二 ∵直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,∴a(a+2)=-1.∴a=-1.故 选 D. 2.(2015·江苏卷改编)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y -2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为(A) A.(x-1) +y =2 B.(x-1) +(y-1) =2 C.x +(y-1) =2 D.(x-2) +(y-1) =2 解析:直线 mx-y-2m-1=0 经过定点(2,-1). 当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径最大,此时半径 r 满足 r =(1-2) +(0+ 1) =2. 3.(2015·北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(D) A.(x-1) +(y-1) =1 B.(x+1) +(y+1) =1 C.(x+1) +(y+1) =2 D.(x-1) +(y-1) =2 解析:圆的半径 r= (1-0) +(1-0) = 2,圆心坐标为(1,1),所以圆的标准 方程为(x-1) +(y-1) =2. 4.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x +y =2 的位置关系一定是(C) A.相离 C.相交但直线不过圆心 B.相切 D.相交且直线过圆心 1 ≤ < 2=r,且 1+k 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析:解法一 圆心 C(0,0)到直线 kx-y+1=0 的距离为 d= 圆心 C(0,0)不在该直线上.

1

解法二 直线 kx-y+1=0 恒过定点(0, 1), 而该点在圆 C 内, 且圆心不在该直线上. 故 选 C. 5.已知圆的方程为 x +y -6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为(B) A.10 6 B.20 6
4
2 2

C.30 6

D.40 6
2 2 2 2

解析:由 x +y -6x-8y=0,得(x-3) +(y-4) =25, 圆心为(3,4),半径为 5.

又点(3, 5)在圆内, 则最长弦|AC|=10, 最短的弦|BD|=2· 25-(3-3) -(4-5) =2 24=4 6, 1 ∴S 四边形 ABCD= ×10×4 6=20 6. 2

2

2

6.(2015·新课标Ⅱ卷)已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为(B) A. 5 3 B. 21 3 2 5 C. 3 4 D. 3

解析:在坐标系中画出△ABC(如图),利用两点间的距离公式可得|AB|=|AC|=|BC|= 2(也可以借助图形直接观察得出),所以△ABC 为等边三角形.设 BC 的中点为 D,点 E 为外 2 2 3 2 2 心,同时也是重心.所以|AE|= |AD|= ,从而|OE|= |OA| +|AE| = 3 3 故选 B. 二、填空题 7.(2014·陕西卷)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为 x +(y-1) =1. 解析:因为圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,所以圆心坐标为(0,1).所以圆的标 准方程为:x +(y-1) =1. 8.(2014·湖北卷)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相 等的四段弧,则 a +b =2. 解析:依题意,设 l1 与单位圆相交于 A,B 两点,则∠AOB=90°.如图,当 a=1,b= -1 时满足题意,所以 a +b =2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 21 1+ = , 3 3

5

三、解答题 9.已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使以 l 被圆 C 截得 的弦长 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 解析:圆 C 化成标准方程为(x-1) +(y+2) =9. 假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b), 由于 CM⊥l,∴kCMkl=-1,
2 2 2 2

b+2 ×1=-1, a-1

∴a+b+1=0,得 b=-a-1.① 直线 l 的方程为 y-b=x-a,即 x-y+b-a=0. |b-a+3| |CM|= , 2 ∵以 AB 为直径的圆 M 过原点, ∴|MA|=|MB|=|OM|. ∴|MB| =|CB| -|CM| =9- 3 由①②得 a= 或 a=-1, 2 3 5 当 a= 时,b=- , 2 2 此时直线 l 的方程为 x-y-4=0; 当 a=-1 时,b=0, 此时直线 l 的方程为 x-y+1=0. 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y-1) =4 和圆 C2:(x-4) +(y -5) =4.
2 2 2 2 2 2 2

|b-a+3| |b-a+3| 2 2 2 2 2 =|OM| =a +b ,即 9- =a +b .② 2 2

2

2

6

(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分 别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求 所有满足条件的点 P 的坐标. 解析:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y =k(x-4),即 kx-y-4k=0. 由垂径定理,得圆心 C1 到直线的距离 d= 结合点到直线距离公式,得 2 -?
2

?2 3?2 ? =1, ? 2 ?

|-3k-1-4k| =1. k2+1

7 2 化简,得 24k +7k=0,解得 k=0 或 k=- . 24 7 所以直线 l 的方程为:y=0 或 y=- (x-4),即 y=0 或 7x+24y-28=0. 24 (2)设点 P 坐标为(m,n),直线 l1,l2 的方程分别为:

y-n=k(x-m),y-n=- (x-m)(k≠0), k
1 1 即:kx-y+n-km=0,- x-y+n+ m=0.

1

k

k

因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等,由垂 径定理,得圆心 C1 到直线 l1 与圆心 C2 到直线 l2 的距离相等.

故有

?-4-5+n+1m? ? k ? |-3k-1+n-km| ? k ?
k2+1
= 1



k2

+1

化简得(2-m-n)k=m-n-3 或(m-n+8)k=m+n-5,
7

关于 k 的方程有无穷多解,有
? ?2-m-n=0, ? ?m-n+8=0, ? 或? ?m-n-3=0 ?m+n-5=0, ? ?

1? ? 3 13? ?5 解得点 P 坐标为?- , ?或? ,- ?. 2? ? 2 2 ? ?2 经检验,以上两点满足题目条件. 11.已知过点 A(-1,0)的动直线 l 与圆 C:x +(y-3) =4 相交于 P,Q 两点,M 是 PQ 中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于点 N. (1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2)当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程. 1 解析:(1)∵l 与 m 垂直,且 km=- ,∴kl=3. 3 故直线 l 方程为 y=3(x+1),即 3x-y+3=0.
2 2

∵圆心坐标(0,3),满足直线 l 方程. ∴当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),即 kx-y+k=0, |-3+k| 4 ∵PQ=2 3,CM= 4-3=1,则由 CM= =1,得 k= . 2 3 k +1 ∴直线 l:4x-3y+4=0. 故直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0.

8


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