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数学教案(参数方程与普通方程互化)


课题:参数方程与普通方程互化 教学过程: 一、复习引入: 问题:观察下列两组集合,说出集合 A 与集合 B 的关系(共性) 二、讲解新课: 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: (1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数 (2) 三角法:利用三角恒等式消去参数 (3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 化参数方程为普

通方程为 F ( x, y) ? 0 :在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围, 确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。 2、常见曲线的参数方程 (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ?

? x ? r cos? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

(2)圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为: ?

? x ? x0 ? r cos? ? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

(3)椭圆

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
2

s ?x ? a c o ? ( ? 为参数) ? ? ?y ? bs i n

(4)双曲线

? ?x ? a s e c ( ? 为参数) ? ? ?y ? b t a n

? x ? 2 Pt 2 (5)抛物线 y ? 2Px 参数方程 ? (t 为参数) ? y ? 2 Pt
(6)过定点 P( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程

? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数)

典型例题 1、 将下列参数方程化为普通方程
2 ? ? x ? t ? 2t (1) ? 2 ? ?y ? t ? 2

(2) ?

? x ? sin ? ? cos? ? y ? sin 2?
1 ? x ? 2(t ? ) ? ? t (5) ? ? y ? 3(t 2 ? 1 ) ? t2 ?

t ?1 ? x? ? ? t?2 (3) ? ? y ? 2t ? t?2 ?
变式训练 1

2 ? x ? ? ? 1? t2 (4) ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

1 ? ?x ? t ? 2、 (1)方程 ? t ? ?y ? 2
A、一条直线

表示的曲线

B、两条射线
2

C、一条线段

D、抛物线的一部分

(2)下列方程中,当方程 y ? x 表示同一曲线的点

?x ? t A、 ? 2 ?y ? t

2 ? ? x ? sin t B、 ? ? ? y ? sin t

?x ? 1 ? 1 C、 ? ?y ? t

1 ? xos2t ? ?x ? D、 ? 1 ? cos2t ? y ? tant ?

例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。 (1) ?

? ?x ? 1 ? 2 t ? ?y ? 3 ? 4 t

(t 是参数)

(2)

x ? 2c o ? s y?cos 2?
x? t 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 y? 1 ? 2t 2

( ? 是参数)

(3)

(t 是参数)

变式训练 2。P 是双曲线 ?

? x ? 4 sin ? (t 是参数)上任一点, F1 , F2 是该焦点: ? y ? 3 tan?

求△F1F2 的重心 G 的轨迹的普通方程。 例 3、已知圆 O 半径为 1,P 是圆上动点,Q(4,0)是 x 轴上的定点,M 是 PQ 的中点,当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时, 求点 M 的轨迹的参数方程。 变式训练 3:
2 2 已知 P( x, y) 为圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 上任意一点,求 x ? y 的最大值和最小值。

三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 五、课后作业:见教材 53 页 2.3.4.5


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