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高三第一轮复习第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件


第二讲
命题及其关系、充分条件与 必要条件

知识梳理
1.命题的概念: 一般地,在数学中,我们把用语言、符号
或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题 其中: 判断为真的语句叫真命题。 判断为假的语句叫假命题。 2.判断一个语句是不是命题,看它是否符合以下两个 条件:①是陈述句(反问句) ②可以判断真假 若p,则q(如果p,那么q ) (只要p,就有q) 3.命题的形式:
其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.

4.四种命题 互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题

的结论和条件,这两个命题叫做互逆命题。
互否命题: 一个命题的条件和结论分别是另一个命题

的条件的否定和结论的否定,这两个命题叫做互否 命题。
互为逆否命题:一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的结论的否定和条件的否定,这两个命题叫做互 为逆否命题。

5.四种命题的形式 原命题:若p,则q 逆命题: 若q,则p

否命题: 若┐p,则┐q

逆否命题: 若┐q,则┐p

注意:命题的否定形式与否命题的区别:
条件不动,将命题的结论否定; 命题的否定:

否命题: 将命题的条件和结论均否定。 即对于原命题:若p , 则q
否命题: 若┐p , 则┐q

命题的否定: 若 p , 则┐q

6.四种命题的关系
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 无关 无关 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题为互逆或互否命题,它们真假性没有关系.

证明命题的方法
?方法一:直接法,从命题的条件p出发,经 推理直接得出结论p,证明其为真命题; ?方法二:等价法,证明命题(若p,则q) 的等价命题——逆否命题(若┐q,则┐q) 为真,则原命题也为真; ?方法三:反证法,证明命题的否定(若p ,则┐q)为假命题,从而间接地证明了命 题(若p,则q)为真命题。

7充分条件与必要条件: ①、推断符号“ ? ”的含义 p ? q 或q ? p 我们约定:若p则q为真,记作:

p ? q 或q ? ? p 若p则q为假,记作: ②、充分条件与必要条件:一般地,如果已知 p ? q 那么就说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.

a = 0 ? ab = 0 ③、充分条件与必要条件的含义: 一方面要使结论ab=0成立,只要 有条件a =0就足够了,
“足够” 因此称a =0是ab=0的充分 就是“充分”的意思, 条件。 另一方面如果ab≠0,也不可能有a =0,也就是要使

a =0,必须具备 ab=0 的条件,因此我们称ab=0是
a =0的 必要条件。

④条件的分类

若p ? q, 但p ? ? q 若p ? ? q, 但p ? q 若p ? q, 且q ? p 即p ? q 若p ? ? q, 但p ? ? q

p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件

p是q的既不充分又不必 要条件

各类条件的理解
①从命题角度看 ㈠若p则q是真命题,那么p是q的 充分条件

q是p的 必要条件. ㈡若p则q是真命题,若q则p为假命题,那么p是 q 的 充分不必要条件,q是p 必要不充分条件.
㈢若p则q,若q则p都是真命题,那么p是q的
充要条件

㈣若p则q,若q则p都是假命题,那么p是q的既不充分
也不必要条件,q是p既不充分也不必要条件.

各类条件的理解
②从集合角度看 分 2)若A ? B且B ? A,则称p是q的必要不充分条件 大 必 2) 1) A B B A 要
3)若A ? B且B ? A ,则称p是q的既充分也不必要条件 4)若A ? B且B ? A,既A=B,则称p是q的充要条件
A
3)

设:A ? {x | x满足条件p} B ? {x | x满足条件q} 小 1)若A ? B且B ? A,则称p是q的充分不必要条件 充

,

B

A =B
4)


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