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变换视角再谈一道解析几何题


变换视角再谈一道解析几何题
文[1]给出并证明了如下问题: 过点 P(m,n)的直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正半轴于 A、B 两点,则△ AOB 周长的最小值为 2(m ? n ? 2mn) 。 笔者读后受其启发,对结论的证法做了些探究,发现又别于文[1]的较 实质证法(见证法 2) ,较简洁直接的证法(见证法) ,将其整理成文,供读 者参考。 证法一:设直线 l

与 x 轴的锐角为 ? (如图 1) ,则
a ? m ? n ? cot? b ? n ? m ? tan?

(0<θ < )

? 2

周长 L ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? m ? n ? n cot ? ? m tan ? ? (m ? n cot ? ) 2 ? (n ? m tan ? ) 2
? m ? n ? n cot ? ? m tan ? ? m n ? cos ? sin ?

? 2(m ? n) ? (m ? n) ?

2n cos2 2 sin n tan

?

?
2

m(cos ? sin ) 2 2 ? 2 2

?

?

cos

?

2

cos2

?

2

? sin 2

?

2

? 2(m ? n) ? (m ? n) ?

?
2

m(1 ? tan ) 2 ? 1 ? tan

?

?

2

n(1 ? tan ) 2m tan 2 ? 2 ? 2(m ? n) ? ? ? tan 1 ? tan 2 2

?

?

? 2(m ? n) ? 2 2mn
n(1 ? tan ) 2m tan 2 ? 2 , tan? ? 2m n ? n 时, 当且仅当 ? ? 2 2m ? n tan 1 ? tan 2 2

?

?

上式取等号,

故周长 L 的最小值是 2(m ? n) ? 2 2mn
2m n ? n 2m ? n 2 ? 而 tan? ? ? 2m n ? n 2 1 ? tan2 1? ( ) 2 2m ? n 2 tan 2·

?

?

2( 2m n ? n)(2m ? n) (2m ? 2n ? 2m n)(2m ? 2m n)

此时直线 l 的斜率
k?
a ? m? b ? n?

2( 2m n ? n)(2m ? n) (2m ? 2n ? 2m n)(2m ? 2m n)
2( 2m n ? n)(2m ? n) 2m( 2m n ? n)(2m ? n)

n(2m ? 2n ? 2m n)(2m ? 2m n)

(2m ? 2n ? 2m n)(2m ? 2m n)

直线方程易求,此处从略 证法二: (如图 2)作△AOB 的旁切图,与两坐标轴相切于点 C、D,设△AOB 周长为 L,圆的半径为 r,圆心为 M(r,r) , 则 L ? OA ? OB ? AB
? (OA ? AP) ? (OB ? BP) =(OA ? AD) ? (OB ? BC)
? OD ? OC ? r ? r ? 2r

其中 P 是直线 l 与圆 M 切点

这正是对该问题作出的一种几何解释,下面用数形结合的思想方法来 求解这个几何问题 设题设直角三角形 AOB 的旁切圆方程为 ( x ? r ) 2 ? ( y ? r ) 2 ? r 2 因点 P(m,n) 在此圆的切线上,其到圆心距离大于等于半径, 故 (m ? r ) 2 ? (n ? r ) 2 ? r 2 ,

整理得 r 2 ? 2(m ? n)r ? m2 ? n 2 ? 0 , 解得 r ? m ? n ? 2mn
或r ? m ? n ? 2mn

由此知直角三角形的周长 L 与旁切圆半径满足条件:
L ? 2(m ? n ? 2mn)

从证明过程可知,上述不等式取等号的充要条件是旁切圆与直线 l 相交 于点 P(m,n) 。 注:上述求解过程中得到了另一个半径范围是此直角三角形内切圆半 径的最大值 r ? m ? n ? 2mn ,实际上,回头审视所谓旁切圆方程,其建立旁 切圆方程用到条件满足内切圆的条件,因此,它代表了两个圆的方程,得 到两个不同的范围是必然的。

参考文献: [1]中周志国,在探究中发现,发现中探究,数学教学,2012(7) :19-20 [2]罗建中,一次出人意料的探究之旅,数学通报,2011(4) :29-30


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