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1-4专题4 转化与化归思想


高考调研

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第一部分 论





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第一部分

论方法

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专题4

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转化与化归思想

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第一部分

专题4

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转化与化归思想 就是把那些待解决或难解决的问题,通过某种手段,使之转 化为一类已解决或易解决的问题,最终使原问题获解.使用化归 思想的原则是:化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知. 转化与化归思想高考中占有十分重要的地位,数学问题的解 决,总离不开转化与化归,它几乎可以渗透到所有的数学内容和 解题过程中.
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类型一 直接转化

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【典例 1】

2an 已知在数列{an}中,a1=1,an+1= ,求数 an+2

列{an}的通项公式.

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2an 1 1 1 【解析】 ∵an+1= ,a1=1,∴an≠0,∴ = + , an+2 an+1 an 2 1 1 即 - = . an+1 an 2 1 1 1 又 a1=1,则 =1,∴{ }是以 1 为首项, 为公差的等差数 a1 an 2 列. 1 1 1 n 1 2 ∴ = +(n-1)× = + ,∴an= (n∈N*). an a1 2 2 2 n+1 1

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【对点练 1】

求下列函数的值域:

(1)y=sinx+cosx; (2)y=sin2x-cosx+1; cosx (3)y= ; 2cosx+1 1+sinx (4)y= . 3+cosx

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【解析】

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π (1)∵y=sinx+cosx= 2sin(x+ ), 4

∴函数的值域为[- 2, 2]. (2)∵y=sin2x-cosx+1 12 9 =2-cos x-cosx=-(cosx+2) +4,
2

9 ∴函数的值域为[0, ]. 4

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cosx y (3)由 y= ,得 cosx= . 2cosx+1 1-2y ∵|cosx|≤1, y 1 ∴解不等式| |≤1,得 y≤ 或 y≥1. 3 1-2y 1 ∴函数的值域为(-∞, ]∪[1,+∞). 3

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1+sinx (4)由 y= ,得 sinx-ycosx=1-3y, 3+cosx 即 1+y2· sin(x-φ)=1-3y. 1-3y ∴sin(x-φ)= 2 . 1+y 1-3y ∵|sin(x-φ)|≤1,∴| 2|≤1. 1+y 平方化简得 y· (4y-3)≤0. 3 3 ∴0≤y≤4,即函数值域为[0,4].
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类型二 换元法

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【典例 2】

求函数 y=(4-3sinx)(4-3cosx)的最小值.

【答题模板】

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【解析】

y=16-12(sinx+cosx)+9sinxcosx,令 t=sinx+

t2-1 cosx,则 t∈[- 2, 2]且 sinxcosx= 2 . t2-1 1 2 ∴y=16-12t+9× = (9t -24t+23). 2 2 4 7 故当 t=3时,ymin=2.

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【对点练 2】 (2014· “北约”自主招生)已知 x+y=-1,且 1 x,y 都是负数,求 xy+xy的最值.

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【解析】

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设 x=-sin2α(sin2α≠0),y=-cos2α(cos2α≠0),

1 1 1 2 4 1 2 2 则 xy+xy=sin αcos α+sin2αcos2α=4sin 2α+sin22α=4(sin22α+ 16 sin22α). 16 ∵sin 2α+ 2 在 sin22α∈(0,1]上是减函数, sin 2α
2

1 1 16 ∴sin 2α=1 时,取得最小值,∴xy+ 的最小值为 (1+ ) xy 4 1
2

17 =4.
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【典例 3】

若关于 x 的方程 9x+(4+a)· 3x+4=0 有解,则

实数 a 的取值范围是________. 【答题模板】 可采用换元法,令 t=3x,将问题转化为关于 t 的方程有正解进行解决.

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【解析】

设 t=3x,则原命题等价于关于 t 的方程

t2+(4+a)t+4=0 有正解,分离变量 a 得 4 4 a+4=-(t+ ),∵t>0,∴-(t+ )≤-4. t t ∴a≤-8,即实数 a 的取值范围是(-∞,-8].

【答案】

(-∞,-8]

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【对点练 3】 设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+ y 的最大值是________.
【解析】 令 2x+y=t,则 y=t-2x.

则 4x2+y2+xy=1 变形为 6x2-3tx+t2-1=0. 8 Δ=9t -4· 6· (t -1)≥0,t ≤ . 5
2 2 2

2 10 2 10 2 10 ∴- ≤t ≤ ,即 2x+y 的最大值是 . 5 5 5

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类型三 数形结合法

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2-sinx 【典例 4】 求函数 f(x)= 的值域. 2+cosx 2-sinx 【解析】 函数 f(x)= , 可看作点(2,2), (-cosx, sinx) 2+cosx
两点连线的斜率. 点(-cosx,sinx)的轨迹为 x2+y2=1.

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函数值域即为(2,2)与单位圆 x2+y2=1 上点连线斜率的范围, 由图可知,过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在,不妨设为 k. ∴切线方程为 y-2=k(x-2),即 kx-y-2k+2=0. |2-2k| 4± 7 ∴满足 2=1,解之得 k= 3 . 1+k 4- 7 4+ 7 ∴函数 f(x)的值域为[ , ]. 3 3
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【对点练 4】 设 f(x)= 1+x2,求证:对于任意实数 a,b, a≠b,都有|f(a)-f(b)|<|a-b|.

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【解析】 设 A(x1,1),B(x2,1),
2 则|OA|= 1+x2 1,|OB|= 1+x2,|AB|=|x1-x2|. 2 在△AOB 中,||OA|-|OB||<|AB|,即有| 1+x2 1- 1+x2|<|x1-

x2|,所以|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,即|f(a)-f(b)|<|a-b|.

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类型四 构造法

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【典例 5】

在三棱锥 P-ABC 中,PA=BC=2 34,PB=

AC=10, PC=AB=2 41, 则三棱锥 P-ABC 的体积为________. 【答题模板】 用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积 时,无法求出三棱锥的高.但若换个角度来思考,注意到三棱锥 的三对棱两两相等,我们可以构造一个特定的长方体,将问题转 化为长方体中的某个问题.

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【解析】

如图所示,把三棱锥 P-ABC 补成一个长方形

AEBG-FPDC, 易知三棱锥 P-ABC 的各棱分别是长方体的面对 角线,不妨令 PE=x,EB=y,EA=z,则由已知有:

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?x2+y2=100, ? 2 2 ?x +z =136, ?y2+z2=164, ?

?x=6, ? 解得?y=8, ?z=10. ?

所以 VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC 1 =VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6×8×10-4× ×6×8×10=160. 6 故所求三棱锥 P-ABC 的体积为 160.

【答案】

160

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【对点练 5】

已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都

在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到 截面 ABC 的距离为________.

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【解析】

先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥,再利用正方 体的性质解题.如图,满足题意的正三棱锥 P-ABC 可以是正方 体的一部分, 其外接球的直径是正方体的体对角线, 且面 ABC 与
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体对角线的交点是体对角线的一个三等分点,所以球心到平面 1 1 ABC 的距离等于体对角线长的6,故球心到截面 ABC 的距离为6 3 ×2 3= . 3
【答案】 3 3

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类型五 等价转化法

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【典例 6】 设 f(x)为定义在(-∞,3]上的减函数,已知 f(a2 -sinx)≤f(a+1+cos2x)对于 x∈R 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

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【解析】

由函数的单调性定义去掉函数符号 f,进而将参

数 a 与变量 x 的关系式进行分离,再转化为求函数的最值. 原式等价于 a+1+cos2x≤a2-sinx≤3,对 x∈R 恒成立
2 ? ?a ≤3+sinx, ?? 2 2 ? ?a -a≥1+cos x+sinx,

① 对 x∈R 恒成立. ②

令 t(x)=3+sinx,则

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①对 x∈R 恒成立?a2≤[t(x)]min=2.③ 12 9 9 令 g(x)=1+cos x+sinx=-(sinx-2) +4≤4,
2

9 ②对 x∈R 恒成立?a -a≥ .④ 4
2

由③④可得所求实数 a 的取值范围是 1- 10 - 2≤a≤ . 2

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【对点练 6】
x ? ?π ,x≥0, ? x ? ?e ,x<0,

(2014· 山 东 原 创 卷 四 ) 已 知 函 数 f(x) =

若对任意的 x∈[1-2a,2a-1],不等式 f[a(x+1)-

x]≥[f(x)]a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

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【答题模板】 本题是一道函数与不等式的综合问题,主要 考查函数的单调性、指数的运算性质、不等式恒成立的知识.解 题时先利用指数的运算性质得到[f(x)]a=f(ax), 再利用函数的单调 性将不等式恒成立进行转化,最后求出 a 的取值范围.本题易犯 的错误是没有注意到区间[1-2a,2a-1]中 a 的取值范围,造成答 案错误,功亏一篑.

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x ? ?π ,x≥0, 由题设知, f(x)=? x ? ?e ,x<0,

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【解析】

因为 1-2a<2a-1,

1 所以 a> .当 x≥0 时, ax≥0, 当 x<0 时,ax<0,可得[f(x)]a=f(ax), 2 因此,原不等式等价于 f[a(x+1)-x]≥f(ax),因为 f(x)在 R 上是 增函数,所以 a(x+1)-x≥ax,即 x≤a 恒成立,又 x∈[1-2a,2a 1 1 -1],所以 2a-1≤a,解得 a≤1.又 a>2,故 a∈(2,1]. 1 【答案】 ( ,1] 2

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类型六 坐标法

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【典例 7】 正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,并且平面 ABCD⊥平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动.若 CM=BN=a(0<a< 2). (1)求 MN 的长度; (2)当 a 为何值时,MN 的长度最短.

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【答题模板】 代入两点间 建立空 利用二次函 得到点M, 的距离公式, 间直角 ―→ ―→ ―→ 数的性质求 N的坐标 得到MN长 坐标系 得最小值 度的代数式

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【解析】 因为平面 ABCD⊥平面 ABEF,且交线为 AB,BE ⊥AB,所以 BE⊥平面 ABCD,所以 BA,BC,BE 两两垂直.

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取 B 为坐标原点,BA,BE,BC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为|BC|=1,|CM|=a,点 M 在坐标平面 zBx 上且在正方形 ABCD 的对角线上, 2 2 所以点 M( a,0,1- a). 2 2 因为点 N 在坐标平面 xBy 上且在正方形 ABEF 的对角线上, 2 2 |BN|=a,所以点 N( a, a,0). 2 2
第36页

第一部分

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(1)由空间两点间的距离公式,得 |MN| = 2 2 2 2 2 2 ? 2 a- 2 a? +?0- 2 a? +?1- 2 a-0?2 =

a2- 2a+1,即 MN 的长度为 a2- 2a+1. (2)由(1)得|MN|= a - 2a+1= 2 当 a= (满足 0<a< 2)时, 2 2 MN 的长度最短,最短为 2 .
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2

22 1 ?a- 2 ? +2,

22 1 ?a- ? + 取得最小值,即 2 2

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【对点练 7】 (2014· 江苏)

→ 如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP= → → → → → 3PD,AP· BP=2,则AB· AD的值是________.

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【答题模板】 出 P 点坐标;

(1)建立平面直角坐标系,设∠BAD=θ,写

→ → (2)利用AP· BP=2,求出 cosθ 的值; → → (3)根据数量积定义计算AB· AD的值.

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【解析】

以 AB 为 x 轴,A 点为坐标原点建立平面直角坐

标系,设∠BAD=θ,如图所示.

第40页

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则 A(0,0),B(8,0),C(5cosθ+8,5sinθ). → → → → ∵CP=3PD,∴|CP|=3|PD|. ∴P(5cosθ+2,5sinθ). → → ∴AP=(5cosθ+2,5sinθ),BP=(5cosθ-6,5sinθ). → → ∵AP· BP=2,即 13-20cosθ=2, 11 ∴cosθ=20.

第41页

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11 → → → → ∴AB· AD=|AB|· |AD|· cosθ=8×5× =22. 20

【答案】

22

第42页

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类型七 参数法

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【典例 8】 已知直线 l 过点 A(2,3)且与 x 轴,y 轴的正半轴 分别交于 M,N 两点,则当|AM|· |AN|最小时,直线 l 的方程为 ________.

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【解析】

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π 设∠AMO 为 θ,则 θ∈(0, ), 2

3 2 ∴|AM|=sinθ,|AN|=cosθ. 6 12 ∴|AM|· |AN|=sinθ· cosθ=sin2θ≥12. π 当且仅当 sin2θ=1,即 θ= 时取“=”号. 4 此时 kl=-1,∴l 的方程为 x+y-5=0.

【答案】

x+y-5=0

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x2 【对点练 8】 (2014· 江苏镇江二模)已知点 A(0,2)及椭圆 + 4 y2=1 上任意一点 P,则|PA|的最大值为________.
【解析】 设 P(2cosθ,sinθ),则

|PA|= 4cos2θ+?2-sinθ?2 = 2 2 28 -3?sinθ+3? + 3 ≤ 28 2 21 3= 3 ,

第45页

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2 当且仅当 sinθ=- 时取“=”号. 3

【答案】

2 21 3

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类型八 正难则反

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【典例 9】

已知函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区

间[-1,1]上至少存在一个实数 x0,使 f(x0)>0,求实数 p 的范围.

第47页

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【答题模板】 若p∈I,则在[-1,1] 若在[-1,1]上对任 逆否命题 上至少存在一个实 ――→ 意实数x,f?x?≤0, 数x0,使f?x0?>0 则p∈?RI 数形结合 f?-1?≤0, ――→ ―→ 求得?RI ―→ 求得I f?1?≤0

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【解析】

记 p 的范围是 I,原题可作为命题:若 p∈I,则

函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]上至少存在一 个实数 x0,使 f(x0)>0. 等价命题为: 函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[- 1,1]上对任意的 x 都有 f(x)≤0,则 p∈?RI.

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由对任意的 x 都有
2 ? ?2p -p-1≥0, ? 2 ? ?2p +3p-9≥0

? ?f?-1?≤0, f(x)≤0 ,结合图形知 ? ? ?f?1?≤0

?

3 3 ?p≤-3 或 p≥2, 即?RI={p|p≤-3 或 p≥2},

3 3 所以 I=(-3, ),故所求的 p 的范围为(-3, ). 2 2

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π 【对点练 9】 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b= 2
2

π π 2 y -2x+3,c=z -2x+6.求证:a,b,c 中至少有一个大于 0.
2

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【证明】 假设 a,b,c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0, π 2 π 2 则 a+b+c≤0.而 a+b+c=x -2y+2+y -2z+3+z -2x+
2

π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3, 6 ∵π-3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0. 这与 a+b+c≤0 矛盾. 因此 a,b,c 中至少有一个大于 0.
第52页

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